第三章 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算

第三章

靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算基本要求：

理解恰當(dāng)選取分離體和平衡方程計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的方法和技巧，會(huì)根據(jù)幾何組成尋找解題途徑。

掌握內(nèi)力圖的形狀特征和繪制內(nèi)力圖的方法，

靜定平面剛架、多跨梁、三鉸拱、平面桁架及組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。熟練掌握疊加法作彎矩圖。容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：“靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析無非就是選取隔離體，建立平衡方程，以前早就學(xué)過了，沒有新東西”切忌：淺嘗輒止主要內(nèi)容

靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的基本方法靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算舉例靜定結(jié)構(gòu)特性幾何特性：無多余聯(lián)系的幾何不變體系靜力特征：僅由靜力平衡條件可求全部反力內(nèi)力靜定結(jié)構(gòu)分類1、靜定梁；2、靜定剛架；3、三鉸拱；4、靜定桁架；5、靜定組合結(jié)構(gòu)；單跨靜定梁受力分析5.疊加法作彎矩圖1.單跨梁支反力2.截面法求指定截面內(nèi)力3.作內(nèi)力圖的基本方法4.彎矩、剪力、荷載集度之間的微分關(guān)系6.分段疊加法作彎矩圖單跨梁受力分析方法1.單跨梁支座反力FXMFYL/2L/2FP例.求圖示梁支反力A解:內(nèi)力符號(hào)規(guī)定:彎矩以使下側(cè)受拉為正剪力繞作用截面順時(shí)針轉(zhuǎn)為正軸力拉力為正2.截面法求指定截面內(nèi)力KC例:求跨中截面內(nèi)力解:(下側(cè)受拉)3.作內(nèi)力圖的基本方法例:作圖示粱內(nèi)力圖內(nèi)力方程式:彎矩方程式剪力方程式軸力方程式解:MFQ4.彎矩、剪力、荷載集度之間的微分關(guān)系1.無荷載分布段(q=0),FQ圖為水平線,M圖為斜直線.微分關(guān)系:M圖FPl自由端無外力偶則無彎矩.截面彎矩等于該截面一側(cè)的所有外力對(duì)該截面的力矩之和FQ圖FP例:作內(nèi)力圖鉸支端無外力偶則該截面無彎矩.M圖FQ圖FPFPFPFP2.均布荷載段(q=常數(shù)),FQ圖為斜直線,M圖為拋物線,且凸向與荷載指向相同.FQ=0的截面為拋物線的頂點(diǎn).1.無荷載分布段(q=0),FQ圖為水平線,M圖為斜直線.M圖FQ圖例:作內(nèi)力圖M圖FQ圖2.均布荷載段(q=常數(shù)),FQ圖為斜直線,M圖為拋物線,且凸向與荷載指向相同.1.無荷載分布段(q=0),FQ圖為水平線,M圖為斜直線.3.集中力作用處,FQ圖有突變,且突變量等于力值;M圖有尖點(diǎn),且指向與荷載相同.M圖FQ圖FPl/4FP/2FP/2M圖FQ圖A支座的反力大小為多少,方向怎樣?M圖FQ圖FPl/2FPFPFP/22.均布荷載段(q=常數(shù)),FQ圖為斜直線,M圖為拋物線,且凸向與荷載指向相同.1.無荷載分布段(q=0),FQ圖為水平線,M圖為斜直線.3.集中力作用處,FQ圖有突變,且突變量等于力值;M圖有尖點(diǎn),且指向與荷載相同.4.集中力偶作用處,M圖有突變,且突變量等于力偶值;FQ圖無變化.M圖FQ圖無荷載集中力FC集中力偶mC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在FQ=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有尖角在剪力突變的截面在緊靠C的某一側(cè)截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征Mmax所在截面的可能位置在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載在C處有突變F在C處有突變m在C處無變化C總口訣一分二定三連線；注意正負(fù)和突變；彎矩斜率是剪力；形狀大小多檢驗(yàn)。剪力圖無荷區(qū)間水平線；均布荷載斜率現(xiàn)；力偶似乎不管用；集中力處有突變。彎矩圖無荷區(qū)間直線行；均布荷載拋物形；力偶作用要突變；集中力處是尖角。簡(jiǎn)易法簡(jiǎn)易法繪制內(nèi)力圖的一般步驟1）、求支反力；3）、定點(diǎn)；2）、分段；（控制截面點(diǎn)的位置：集中力作用處、集中力偶作用處、分布荷載起始點(diǎn)、支座處、桿與桿的連接點(diǎn)）4）、連線。FP

aFPlabABABlqql2

2應(yīng)熟記常用單跨梁的彎矩圖BAFlabFablBAqlql2

8mBAablml

alm

blmml例:作內(nèi)力圖M圖FQ圖M圖FQ圖鉸支座有外力偶,該截面彎矩等于外力偶.無剪力桿的彎矩為常數(shù).自由端有外力偶,彎矩等于外力偶練習(xí):利用上述關(guān)系作彎矩圖,剪力圖FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP練習(xí):利用上述關(guān)系作彎矩圖,剪力圖FPFPFPFP5.疊加法作彎矩圖注意:是豎標(biāo)相加,不是圖形的簡(jiǎn)單拼合.練習(xí):ll6.分段疊加法作彎矩圖l/2l/2Cl/2l/2練習(xí):分段疊加法作彎矩圖1.多跨靜定梁的組成

附屬部分--不能獨(dú)立承載的部分?；静糠?-能獨(dú)立承載的部分?；⒏疥P(guān)系層疊圖多跨靜定梁受力分析練習(xí):區(qū)分基本部分和附屬部分并畫出關(guān)系圖2.多跨靜定梁的內(nèi)力計(jì)算拆成單個(gè)桿計(jì)算,先算附屬部分,后算基本部分.例:作內(nèi)力圖qlllll2l4l2lqlqlqlqlql例:作內(nèi)力圖qlllll2l4l2lqlqlqlqlql

內(nèi)力計(jì)算的關(guān)鍵在于:正確區(qū)分基本部分和附屬部分.熟練掌握單跨梁的計(jì)算.3.多跨靜定梁的受力特點(diǎn)簡(jiǎn)支梁(兩個(gè)并列)多跨靜定梁連續(xù)梁為何采用多跨靜定梁這種結(jié)構(gòu)型式?例.對(duì)圖示靜定梁,欲使AB跨的最大正彎矩與支座B截面的負(fù)彎矩的絕對(duì)值相等,確定鉸D的位置.CDx解:x與簡(jiǎn)支梁相比:彎矩較小而且均勻.從分析過程看:附屬部分上若無外力,其上也無內(nèi)力.桁架結(jié)構(gòu)（trussstructure）

桁架內(nèi)力分析主桁架縱梁

橫梁經(jīng)抽象簡(jiǎn)化后，桿軸交于一點(diǎn)，且“只受結(jié)點(diǎn)荷載作用的直桿、鉸結(jié)體系”的工程結(jié)構(gòu).特性：只有軸力，而沒有彎矩和剪力。軸力又稱為主內(nèi)力。上弦桿下弦桿豎桿斜桿跨度桁高

弦桿腹桿節(jié)間d次內(nèi)力的影響舉例實(shí)際結(jié)構(gòu)中由于結(jié)點(diǎn)并非是理想鉸，同時(shí)還將產(chǎn)生彎矩、剪力，但這兩種內(nèi)力相對(duì)于軸力的影響是很小的，故稱為次內(nèi)力。桿號(hào)起點(diǎn)號(hào)終點(diǎn)號(hào)桁架軸力剛架軸力124-35.000-34.966246-60.000-59.973368-75.000-74.9774810-80.000-79.9775130.0000.03263535.00035.00575760.00059.99787975.00074.991

根據(jù)桁架的幾何構(gòu)造特點(diǎn)，桁架可分為：簡(jiǎn)單桁架靜定平面桁架根據(jù)桁架的幾何構(gòu)造特點(diǎn)，桁架可分為：簡(jiǎn)單桁架根據(jù)桁架的幾何構(gòu)造特點(diǎn)，桁架可分為：聯(lián)合桁架根據(jù)桁架的幾何構(gòu)造特點(diǎn)，桁架可分為：聯(lián)合桁架根據(jù)桁架的幾何構(gòu)造特點(diǎn)，桁架可分為：復(fù)雜桁架1、結(jié)點(diǎn)法1）、定義：利用各結(jié)點(diǎn)的平衡條件求解桁架內(nèi)力的方法。2）、實(shí)質(zhì)：作用在結(jié)點(diǎn)上的各力組成一平面匯交力系。3）、注意點(diǎn)：

（1）一般結(jié)點(diǎn)上的未知力不能多余兩個(gè);（2）可利用比例關(guān)系求解各軸力的鉛直、水平分量。FNBAFNlylxlAFNFxFyB桁架的內(nèi)力計(jì)算結(jié)點(diǎn)法

以只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的隔離體為研究對(duì)象，用匯交力系的平衡方程求解各桿內(nèi)力的方法例1.求以下桁架各桿的內(nèi)力-3334.819190-3334.819190-33-8-3334.8-33-819190-8kN37.5-5.4-3334.8-33-837.5-5.419190-5.4-8-33-3334.8以結(jié)點(diǎn)作為平衡對(duì)象，結(jié)點(diǎn)承受匯交力系作用。按與“組成順序相反”的原則，逐次建立各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，則桁架各結(jié)點(diǎn)未知內(nèi)力數(shù)目一定不超過獨(dú)立平衡方程數(shù)。由結(jié)點(diǎn)平衡方程可求得桁架各桿內(nèi)力。小結(jié)：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱或反對(duì)稱的荷載作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形（也稱為反應(yīng)）必然對(duì)稱或反對(duì)稱，這稱為對(duì)稱性。在用結(jié)點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，注意以下三點(diǎn)，可使計(jì)算過程得到簡(jiǎn)化。1.對(duì)稱性的利用

如果結(jié)構(gòu)的桿件軸線對(duì)某軸（空間桁架為某面）對(duì)稱，結(jié)構(gòu)的支座也對(duì)同一條軸對(duì)稱的靜定結(jié)構(gòu)，則該結(jié)構(gòu)稱為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。FAyFBy

對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱荷載作用,內(nèi)力和反力均為對(duì)稱:E點(diǎn)無荷載,紅色桿不受力FAyFBy

對(duì)稱結(jié)構(gòu)受反對(duì)稱荷載作用,內(nèi)力和反力均為反對(duì)稱:垂直對(duì)稱軸的桿不受力對(duì)稱軸處的桿不受力3.零桿零內(nèi)力桿簡(jiǎn)稱零桿。FN2=0FN1=0FN=0FN=02.結(jié)點(diǎn)單桿

以結(jié)點(diǎn)為平衡對(duì)象能僅用一個(gè)方程求出內(nèi)力的桿件，稱為結(jié)點(diǎn)單桿。利用這個(gè)概念，根據(jù)荷載狀況可判斷此桿內(nèi)力是否為零。FP/2FP/2FPFPFP判斷結(jié)構(gòu)中的零桿特殊結(jié)點(diǎn)：（1）L形結(jié)點(diǎn)：在不共線的兩桿結(jié)點(diǎn)上，若無外荷載作用，則兩桿內(nèi)力均為零。內(nèi)力為零的桿稱為零桿。FN1=FN2=0FN2FN1FN1=FN2FN3=0FN1FN2FN3FN1=FN2FN3=FN4FN1FN2FN3FN4（2）T形結(jié)點(diǎn)：三桿結(jié)點(diǎn)無外荷載作用時(shí)，如其中兩桿在一條直線上，則共線的兩桿內(nèi)力性質(zhì)相同，而第三桿內(nèi)力為零。（3）X形結(jié)點(diǎn)：四桿結(jié)點(diǎn)無外荷載作用時(shí)，如其中兩桿在一條直線上，另外兩桿在另一條直線上，則同一直線上的兩桿內(nèi)力性質(zhì)相同。（4）K形結(jié)點(diǎn)：四桿結(jié)點(diǎn)無外荷載作用時(shí)，如其中兩桿在一條直線上，另外兩桿在此直線同側(cè)且交角相等，則非共線兩桿內(nèi)力大小相等而符號(hào)相反。FN3=-FN4FN1FN2FN3FN4截面法

截取桁架的某一局部作為隔離體，由平面任意力系的平衡方程即可求得未知的軸力。對(duì)于平面桁架，由于平面任意力系的獨(dú)立平衡方程數(shù)為3，因此所截?cái)嗟臈U件數(shù)一般不宜超過3m6mABFPFPFPFPFP1234試用截面法求圖示桁架指定桿件的內(nèi)力。2.5FP2.5FPmmnnFN1=-3.75FPFN2=3.33FPFN3=-0.50FPFN4=0.65FP截面單桿截面法取出的隔離體，不管其上有幾個(gè)軸力，如果某桿的軸力可以通過列一個(gè)平衡方程求得，則此桿稱為截面單桿?？赡艿慕孛鎲螚U通常有相交型和平行型兩種形式。

相交情況FPFPFPFPFPFPa為截面單桿平行情況FPFPb為截面單桿FPFPFPFN2FN1FN3FAyFPFP用截面法靈活截取隔離體123截面選取的技巧截面選取的技巧結(jié)點(diǎn)法和截面法的聯(lián)合應(yīng)用求解桁架例、求圖示桁架1、2、3、4桿的內(nèi)力G剛架是由梁柱組成的含有剛結(jié)點(diǎn)的桿件結(jié)構(gòu)l剛架梁桁架彎矩分布均勻可利用空間大一.剛架的受力特點(diǎn)靜定剛架受力分析靜定剛架的分類:二.剛架的支座反力計(jì)算簡(jiǎn)支剛架懸臂剛架單體剛架(聯(lián)合結(jié)構(gòu))三鉸剛架(三鉸結(jié)構(gòu))復(fù)合剛架(主從結(jié)構(gòu))1.單體剛架(聯(lián)合結(jié)構(gòu))的支座反力(約束力)計(jì)算例1:求圖示剛架的支座反力方法:切斷兩個(gè)剛片之間的約束,取一個(gè)剛片為隔離體,假定約束力的方向,由隔離體的平衡建立三個(gè)平衡方程.解:例2:求圖示剛架的支座反力解:例3:求圖示剛架的支座反力解:例4:求圖示剛架的約束力解:例5:求圖示剛架的反力和約束力解:1)取整體2)取DBE部分2.三鉸剛架(三鉸結(jié)構(gòu))的支座反力(約束力)計(jì)算例1:求圖示剛架的支座反力方法:取兩次隔離體,每個(gè)隔離體包含一或兩個(gè)剛片,建立六個(gè)平衡方程求解--雙截面法.解:1)取整體為隔離體2)取右部分為隔離體例2:求圖示剛架的支座反力和約束力解:1)取整體為隔離體2)取右部分為隔離體3)取整體為隔離體例3:求圖示剛架的約束力解:1)取AB為隔離體2)取AC為隔離體3)取AB為隔離體例4:求圖示剛架的反力和約束力解:1)取BCE為隔離體2)取整體為隔離體3)取BCE為隔離體3.復(fù)合剛架(主從結(jié)構(gòu))的支座反力(約束力)計(jì)算方法:先算附屬部分,后算基本部分,計(jì)算順序與幾何組成順序相反.解:1)取附屬部分2)取基本部分例1:求圖示剛架的支座反力

若附屬部分上無外力,附屬部分上的約束力是否為零?思考題:圖示體系支反力和約束力的計(jì)算途徑是怎樣的?習(xí)題:求圖示體系約束力.習(xí)題:求圖示體系約束力.三.剛架指定截面內(nèi)力計(jì)算

與梁的指定截面內(nèi)力計(jì)算方法相同.例1:求圖示剛架1,2截面的彎矩解:連接兩個(gè)桿端的剛結(jié)點(diǎn),若結(jié)點(diǎn)上無外力偶作用,則兩個(gè)桿端的彎矩值相等,方向相反.四.剛架彎矩圖的繪制做法:拆成單個(gè)桿,求出桿兩端的彎矩,按與單跨梁相同的方法畫彎矩圖.1.無荷載分布段(q=0),FQ圖為水平線,M圖為斜直線.2.均布荷載段(q=常數(shù)),FQ圖為斜直線,M圖為拋物線,且凸向與荷載指向相同.3.集中力作用處,FQ圖有突變,且突變量等于力值;M圖有尖點(diǎn),且指向與荷載相同.4.集中力偶作用處,M圖有突變,且突變量等于力偶值;FQ圖無變化.少求或不求反力繪制彎矩圖1.彎矩圖的形狀特征（微分關(guān)系）2.剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡3.外力與桿軸關(guān)系(平行,垂直,重合)4.特殊部分(懸臂部分,簡(jiǎn)支部分)5.區(qū)段疊加法作彎矩圖

根據(jù)例題1:作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖練習(xí):作彎矩圖例題1:作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖練習(xí):作彎矩圖練習(xí):作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖練習(xí):作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖例題2:作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖練習(xí):作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖例題3:作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖練習(xí):作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖例四:作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖練習(xí):試找出圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖的錯(cuò)誤練習(xí):試找出圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖的錯(cuò)誤做法:

逐個(gè)桿作剪力圖,利用桿的平衡條件,由已知的桿端彎矩和桿上的荷載求桿端剪力，再由桿端剪力畫剪力圖.五.由做出的彎矩圖作剪力圖注意:剪力圖畫在桿件任一側(cè)均可,必須注明符號(hào)和控制點(diǎn)豎標(biāo).MQ練習(xí):作剪力圖QM由做出的彎矩圖作剪力圖例:作剪力圖MQ做法:

逐個(gè)桿作軸力圖,利用結(jié)點(diǎn)的平衡條件,由已知的桿端剪力和求桿端軸力,再由桿端軸力畫軸力圖.六.由做出的剪力圖作軸力圖注意:軸力圖畫在桿件那一側(cè)均可,必須注明符號(hào)和控制點(diǎn)豎標(biāo).N由做出的剪力圖作軸力圖MQ練習(xí):作軸力圖QMN例:作圖示結(jié)構(gòu)的M,Q,N圖例:作圖示結(jié)構(gòu)的M,FQ,FN圖MFQFN§3-5組合結(jié)構(gòu)受力分析下面討論組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。

所謂組合結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)中既有梁式桿，又有只受軸力作用的二力桿。梁式桿的任一截面有彎矩、剪力和軸力作用。即：由梁式桿和桁架桿（鏈?zhǔn)綏U）組成的結(jié)構(gòu)。實(shí)例與計(jì)算簡(jiǎn)圖（1）下?lián)问轿褰切挝菁?a)鋼筋混凝土角鋼(b)實(shí)例計(jì)算簡(jiǎn)圖(a)加勁梁上圖a為拱橋的計(jì)算簡(jiǎn)圖，其中由多根鏈桿組成鏈桿拱，再與加勁梁用鏈桿連接。組成整個(gè)結(jié)構(gòu)。當(dāng)跨度較大時(shí)，加勁梁可換成加勁桁架，如上圖b所示。(b)加勁桁架（2）拱橋的計(jì)算簡(jiǎn)圖（3）計(jì)算原則1）在用截面法取隔離體時(shí)，不能隨意切斷梁式桿，可以切斷二力桿，也可以拆開鉸結(jié)點(diǎn)。2）先計(jì)算鏈桿的內(nèi)力，然后依據(jù)荷載和所求得的鏈桿軸力求梁式桿的內(nèi)力M、FQ、FN。FPECBFxBFyBFNEDFPADECB例3-5-1

作圖示組合結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖。解：結(jié)構(gòu)對(duì)稱荷載對(duì)稱。（1）求支座反力如圖示。（2）求FNDE，取截面I－I以左為隔離體。C1kN/mBADEFG06kN6kNII3m3m3m3m0.5m0.7m結(jié)點(diǎn)DFNDFFNDAD15kN0.733.0806（3）求梁式桿的內(nèi)力M、FQ、FN。取FC段作隔離體：求：MF153.0130.25F1kN/m3mFQCFCFQFCMFFNFCFNCF150.25m??求FC桿的剪力和軸力3.0130.2515F1kN/m3mFQCFCFQFC0.75kN.mFNFCFNCF150.25m取AF段作隔離體：152.53.0130.25A1kN/m3mFQFAFFNAFFNFA152.50.75kN.mFQAF0.25m152.53.0130.25A1kN/m3mFQFAFFNAFFNFA152.50.75kN.mFQAF0.25mM圖(kN?m)0.750.750.75CAFFQ圖(kN)1.2461.2461.7441.744CAFFN圖(kN)15.1615.214.95CAF14.91（4）結(jié)構(gòu)內(nèi)力如下圖示。15kN-3.5kN15.4kNCBADEFG06kN6kN考慮：剪力圖和軸力圖在F點(diǎn)的變化。

可見高跨比越小，軸力FNDE越大，屋架的軸力也越大。（5）討論（看書）影響下?lián)问轿褰切切谓M合屋架的主要因素有兩個(gè)。1)高跨比f/l軸力FNDE可用三鉸拱的推力公式計(jì)算：2)

f1與f2的關(guān)系當(dāng)f確定后，內(nèi)力狀態(tài)隨f1與f2

的比例關(guān)系不同而變，從上圖給出的結(jié)果可以看出：①下弦桿軸力的變化幅度不大，但是上弦桿彎矩的變化幅度很大；②當(dāng)f1減小時(shí)，上弦負(fù)彎矩增大。當(dāng)f1=0時(shí)，上弦全部為負(fù)彎矩，此時(shí)成為“下?lián)问狡叫邢医M合結(jié)構(gòu)”。上弦彎矩有如支在A和F兩點(diǎn)的伸臂梁。

③當(dāng)f1

加大時(shí)，上弦正彎矩增大。當(dāng)f2=0時(shí)，上弦全部為正彎矩，此時(shí)成為“帶拉桿的三鉸拱式屋架”。上弦彎矩有如支在A、C兩點(diǎn)的簡(jiǎn)支梁。④當(dāng)f1=0.45~0.5f

時(shí)，上弦結(jié)點(diǎn)F處的負(fù)彎矩與兩個(gè)節(jié)間的最大正彎矩，在數(shù)值上將大致相等，且數(shù)值比兩種極限情形小得多。所有情況參見上頁(yè)圖。例3-5-2作圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。5kN5kN5kN3m4=12m8m3m(a)ACGFEBDIINEGNDFNDG2.73kN7.5kNED7.28kN2.51kN10.61kN7.5kN7.5kN2.73kN7.5kN21.84kN·m解：1、支反力計(jì)算(與三鉸剛架相同)FyA=FyB=7.5kN

()，F(xiàn)xA=-FxB

=2.73kN()2、用截面法先求鏈桿內(nèi)力取左半部分考慮。FyDG=-7.5kN，F(xiàn)xDG=-7.5kN，F(xiàn)NDG=-10.61kNFNEG=7.28kN，F(xiàn)NDF=-2.51kN利用以上結(jié)果可作出梁式桿FQ圖和FN圖。7.28kN2.51kN7.5kN

2.73kNED7.5kN

A+－FQ圖7.282.737.5kNED7.5kN

－FN

圖A7.57.53、用結(jié)點(diǎn)法求其他鏈桿內(nèi)力。FxFC=FyFC=-2.51kN，F(xiàn)NFC

=-3.55kNFNFG

=2.51kN，F(xiàn)NGC=0.22kN4、利用對(duì)稱性可作出另一梁桿的內(nèi)力圖。例3-5-3作圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。3m3m3m3m2m2m4mABCDEFG10kNFxAFyAFxBII解：1、求支座反力

FyA=10kN()FxA=8.18kN()

FxB=8.18kN()DEFG10kNCFNDEFxDEFyDEFxCFyC隔離體圖2、取截面I-I，切開C鉸和DE桿，截面以右為隔離體。將

FNDE在D點(diǎn)分解為

FxDE和FyDE。求得：FxDE=-12.86kNFyDE=-17.14kNFxC=-FxDE=12.86kN

FyC=10+FyDE=-7.14kNDEFG10kNCFNDEFxDEFyDEFxCFyC隔離體圖3、取E結(jié)點(diǎn)分析求得：FNEC=-3.03kN，

FNEF＝-21.21kN即有：FxEC=-2.14kN，

FyEC＝-2.14kNFxEF=FxEC=-15kN4、據(jù)此作出內(nèi)力圖(如下頁(yè)圖)DEFG10kNCFNDEFxDEFyDEFxCFyC隔離體圖nn也可以取nn截面，求EF、EC桿的內(nèi)力（更簡(jiǎn)單）。ABCDEFG10kN8.18kN10kN8.18kN3016.3616.36M圖(kN·m)ABCDEFG10kN8.18kN10kN8.18kN54.68FQ圖(kN)+8.188.18104.68---++-ABCDEFG10kN15FN

圖(kN)107.14-21.21-21.42-3.03-§3-6三鉸拱受力分析

三鉸拱式結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程建設(shè)中：橋梁、渡槽、屋架等。

三鉸拱的構(gòu)造特征為：桿軸通常為曲線，三個(gè)剛片(包括基礎(chǔ))用不在同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相連組成三鉸拱結(jié)構(gòu)。三鉸拱的受力特征為:在豎向荷載作用下，拱腳處產(chǎn)生水平推力;因此，拱軸任一截面軸力FN比較大，彎矩較小。有時(shí)用拉桿來承受水平推力，稱為拉桿拱。通常認(rèn)為：具有水平推力的結(jié)構(gòu)為“拱結(jié)構(gòu)”。按計(jì)算特點(diǎn)拱結(jié)構(gòu)分為“靜定拱”和“超靜定拱”兩種形式?！叭q拱”是典型的靜定拱。主要參數(shù)：高跨比f/l—與拱的受力狀態(tài)密切相關(guān)。軸線形式：拋物線、圓弧線、懸鏈線。后面將證明，“承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載作用的三鉸拱的合理軸線是拋物線”。拱分為“平拱”和“斜拱”。在此，主要研究“平拱”

。(下頁(yè)圖為三鉸拱的兩種形式)(拉桿)l(跨度)f(矢高)(拱腳)ABC(拱頂)

通常

在1～1/10之間變化，的值對(duì)內(nèi)力有很大影響。l(跨度)f(矢高)(拱腳)C(拱頂)FVABFPAFHFHFVB一、三鉸拱內(nèi)力計(jì)算的數(shù)解法下面以圖示三鉸拱為例加以說明。f=4mCAJBKFP1=15kNFP2=5kNyJykyFHAFVAFHBxFVB4m4m4m4ml/2l/2解：拱軸方程為1.支座反力整體平衡4m4m4m4ml/2l/2CAJBKFP1=15kNFP2=5kN代梁考慮拱AC部分平衡：下面求支座水平推力。上式中，為代梁C截面彎矩。f=4mAFHAFVAKFP1=15kNCyk4m4ml/2分析FH

的表達(dá)式可知：(1)推力FH與拱軸的曲線形式無關(guān)，而與拱高f成反比，即：拱愈低水平推力FH愈大。(2)荷載向下時(shí)，F(xiàn)H為正值，推力是向內(nèi)的。(3)當(dāng)f0時(shí)，F(xiàn)H，此時(shí)三鉸共線，稱為幾何瞬變體系。后面的計(jì)算將證明：在豎向荷載作用下，因水平推力的存在，將使得：(1)三鉸拱的基礎(chǔ)比簡(jiǎn)支梁的基礎(chǔ)要堅(jiān)固；(2)三鉸拱截面上的彎矩比簡(jiǎn)支梁的彎矩小(使拱更能充分發(fā)揮材料的作用，適用于較大的跨度和較重的荷載)；(3)拱的截面內(nèi)軸力較大，且一般為壓力(利用受壓性能好的材料)。小結(jié)：支座反力FVA、FVB、FHA、FHB與拱軸形狀無關(guān)，只與三個(gè)鉸A、B、C及荷載的相對(duì)位置和荷載的大小有關(guān)。將本例題數(shù)據(jù)代入得：2.彎矩計(jì)算公式求任意截面D的彎矩。由AD段隔離體可得：AFHAFVAFP1DyDxDFNDFQDMDd1AFoVADMoDd1FP1FoQD代梁由上式可見，因?yàn)橛型屏Υ嬖?，三鉸拱任一截面之彎矩小于代梁中相應(yīng)截面的彎矩。即：求MK求MJ下面求K、J截面的彎矩MK和MJ。A10kN12.5kN15kNyK=3mMKK4mB10kN7.5kNyJ=3mMJJ4m5kN3.求FQ、FN的計(jì)算公式拱軸任意截面D切線與水平線夾角為φ。相應(yīng)代梁中，設(shè)為正方向。AFHAFVAFP1DFHφφADFP1代梁FNDFQDbaa2+b2下面用上述公式求FQK、FNK。xK＝4m

A12.5kNK左FoQK左＝12.5kN2)是代梁截面D的剪力，設(shè)為正方向。故可能大于零、等于零或小于零。

小結(jié)：

1)左半拱，右半拱。

12A12.5kNK右FoQK右＝-2.5kN15kN求FQJ右、FNJ右。xJ＝12m

-12J右B7.5kN二、三鉸拱的壓力線（自學(xué)）如果三鉸拱某截面D以左(或以右)所有外力的合力FRD已經(jīng)確定，則該截面的彎矩、剪力、軸力可按下式計(jì)算：FNDFQDFRDMDFRDFRDFP1CFP2ABDFRAFRB90。由此看出，確定截面內(nèi)力的問題歸結(jié)為確定截面一邊所有外力的合力之大小、方向及作用線的問題?！孛鍰形心到FRD作用線之距離?！狥RD作用線與截面D軸線切線的夾角。作壓力線的方法和步驟為：1）求三鉸拱的支座反力FHA、FVA、FHB、FVB，進(jìn)而求出反力FRA、FRB的大小和方向。FHAFVAFRA

2）作封閉的力多邊形，以確定拱軸各截面一邊外力合力的大小及方向。作力多邊形時(shí)應(yīng)按力的大小按比例繪制。

定義：三鉸拱每個(gè)截面一邊所有外力的合力作用點(diǎn)的連線，就稱為三鉸拱的壓力線。ABFP1CDFP2EFP3F1－22－31－22－3FP1FP2FP3FRBFRAoFRAFRB在上圖所示力多邊形中，射線1－2代表FRA與FP1合力的大小和方向；射線2－3代表FRA與FP1、FP2合力的大小和方向。3）畫壓力線過A作FRA的延長(zhǎng)線交FP1于D，過D作射線1－2的平行線交FP2于E，過E作射線2－3的平行線交FP3于F，則FB必為FRB的作用線。

小結(jié)：

1)壓力線一定通過鉸C。2)壓力線與拱軸形狀無關(guān)，只與三個(gè)鉸A、B、C及荷載的相對(duì)位置和荷載的大小有關(guān)。3)合力大小由力多邊形確定，合力作用線由壓力線確定。4)若荷載是豎向集中力，則壓力線為折線；若為均布荷載，壓力線為曲線。三、三鉸拱的合理軸線在給定荷載作用下，三鉸拱任一截面彎矩為零的軸線就稱為合理拱軸。

若用壓力線作為三鉸拱軸線，則任一截面彎矩都為零，故壓力線為合理拱軸。三鉸拱任一截面彎矩為令：得到：合理拱軸方程的表達(dá)式例3-6-1

求三鉸拱在均布荷載作用下的合理拱軸。qFHACBl/2fl/2FHFVAFVB代梁qxA解：可見合理拱軸為拋物線方程（結(jié)論1）。“承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載作用的三鉸拱的合理軸線是拋物線”書中兩個(gè)例題自學(xué)。必須記住以下兩個(gè)結(jié)論：（拱橋?qū)嵗?）三鉸拱在均勻水壓力作用下，其合理拱軸線為圓弧線，而軸力等于常數(shù)。（2）三鉸拱在填土重量作用下，其合理拱軸線為懸鏈線。在實(shí)際工作中，三鉸拱所受的荷載往往不是一種，此時(shí)選擇合理的拱軸線應(yīng)以主要荷載作用下的合理軸線作為拱的軸線。這樣，在一般荷載作用下拱仍會(huì)產(chǎn)生不大的彎矩。但是只要注意盡可能使拱的受力狀態(tài)接近無彎矩狀態(tài)。§3-7靜定結(jié)構(gòu)總論一、靜定結(jié)構(gòu)解答