差分法和變分法解決平面問題

差分法和變分法解決平面問題第一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊界問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。

§5-1差分公式的推導(dǎo)

第二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法第三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值。 fxo差分法第四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，第五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網(wǎng)格，分別∥x、y軸。網(wǎng)格交點稱為結(jié)點，h稱為步長。第六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)第七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結(jié)點1、3，拋物線差分公式結(jié)點3，結(jié)點1，第八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。從上兩式解出o點的導(dǎo)數(shù)公式，第九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

應(yīng)用泰勒級數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式第十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為。線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。對結(jié)點1，得：第十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對結(jié)點3，得：

式(d)稱為向后差分公式。

線性的向前或向后差分公式，主要用于對時間導(dǎo)數(shù)的公式中。第十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 穩(wěn)定溫度場中的溫度場函數(shù)T(x，y)應(yīng)滿足下列方程和邊界條件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)

例1第十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日穩(wěn)定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導(dǎo)熱系數(shù)。第十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 現(xiàn)在我們將式(a)、(b)、(c)轉(zhuǎn)化為差分形式。應(yīng)用圖5－1網(wǎng)格，和拋物線差分公式，第十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已知，則

(d)第十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

由于所以得

這時，邊界點2的是未知的，對2點須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。(e)第十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

例2

穩(wěn)定溫度場問題的差分解。設(shè)圖中的矩形域為6m×4m，取網(wǎng)格間距為h=2m，布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點a、b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017第十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：對a、b列出方程如下：解出

（度）.第十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日1.比較導(dǎo)數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。2.應(yīng)用拋物線差分公式(5-2)，試導(dǎo)出三階導(dǎo)數(shù)的差分公式。思考題第二十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5-2

應(yīng)力函數(shù)的差分解按求解第二十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（3）求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）:

按求解第二十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：第二十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日相容方程(e)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，第二十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(e)方程時，需要求出邊界點和邊界外一行結(jié)點（虛結(jié)點）的值。 為了求虛結(jié)點的值，需要求出邊界點的、值。相容方程第二十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件第二十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑴應(yīng)力邊界條件用表示取出坐標(biāo)的正方向作為邊界線s的正向（圖中為順時針向），當(dāng)移動時，為正，而為負(fù)，∴外法線的方向余弦為邊界條件第二十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得第二十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。再將式(f)對s積分，從固定的基點A到邊界任一點B，得第二十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日通過分部積分從A到B積分，得邊界條件(h)⑵由全微分求邊界點的

第三十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑶∵A為定點，、和、、均為常數(shù)，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應(yīng)力，∴可取 故邊界結(jié)點的和導(dǎo)數(shù)值，由式(g)、(h)簡化為邊界條件第三十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊界上y向面力的主矢量改號;第三式表示從A到B邊界上面力對B點的力距，圖中以順時針向為正。因此，可以按物理意義直接求邊界條件和第三十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點的值;由式(i)的前兩式，可求出邊界點的、值，然后再求出邊界外一行虛結(jié)點的值。邊界條件第三十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日求解步驟（2）由邊界結(jié)點的、值，求出邊界外一行虛結(jié)點的值；（1）在邊界上選定基點A，令，然后計算邊界上各結(jié)點的、、；4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟第三十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列式(e)的方程，聯(lián)立求各結(jié)點的值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點的應(yīng)力。（4）求出邊界外一行虛結(jié)點的值；第三十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日思考題1、將應(yīng)力函數(shù)看成是覆蓋于區(qū)域A和邊界s上的一個曲面，則在邊界上，各點的值與從A（基點）到B面力的合力距有關(guān)，的一階導(dǎo)數(shù)值與A到B的面力的合力（主矢量）有關(guān)；而在區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力分量與曲面的曲率、扭率有關(guān)。第三十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。第三十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網(wǎng)格如圖。第三十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 首先考慮對稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計算工作量。 按照物理意義，求出邊界點上的和其導(dǎo)數(shù)值（如書中所示）：

第三十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日─AB間y向面力主矢量號，─AB間x向面力主矢量，

─AB間面力對B點力矩，注意符號為正.第四十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5.求出應(yīng)力，如AM線上各點應(yīng)力，并繪出分布圖。4.求出邊界外一行虛結(jié)點的

值。3.對每一內(nèi)點列差分方程，求出。2.由邊界點的導(dǎo)數(shù)值，求出邊界外一行

虛結(jié)點的值。第四十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

比較：材料力學(xué)解─AM上為直線分布，彈性力學(xué)解─AM上為曲線分布，

由此又說明，材料力學(xué)解法只適用于桿件。比較第四十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

（1）差分法是解微分方程邊值問題和彈性力學(xué)問題的有效方法。（2）差分法簡便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀 態(tài)。

差分法優(yōu)點：差分法評價第四十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問題或二維問題。（3）凡是近似解，在求導(dǎo)運算時會降低精度。如的誤差為，則應(yīng)力的誤差為。

缺點：差分法評價第四十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導(dǎo)出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法計算圖中A點的應(yīng)力分量。第四十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日§5－4彈性體的形變勢能

外力勢能彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。第四十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導(dǎo)出變分方程。彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：第四十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當(dāng)取時的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢能1.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：第四十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日形變勢能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。2.應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）第四十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系第五十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（3）對于平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題

單元體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)形變勢能第五十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的

內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能，或應(yīng)變

能，存貯于物體內(nèi)部。─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。形變勢能第五十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（5）整個彈性體的形變勢能是

(d)形變勢能第五十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日形變勢能對于平面應(yīng)變問題，將，。再將幾何方程代入，可用位移表示為（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形變勢能密度，可用形變表示為第五十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日3.形變勢能的性質(zhì)（1）是應(yīng)變或位移的二次泛函， 故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關(guān)。（4）對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力：

(g)形變勢能的性質(zhì)第五十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和，(h)第五十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系下，。2.試由式(e)導(dǎo)出式(g)。3.試列出極坐標(biāo)系中平面應(yīng)力問題的形變勢能公式，并與式(d)、(e)和(f)相比較。思考題第五十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其宗量為位移狀態(tài)函數(shù)

，。 現(xiàn)在來導(dǎo)出位移變分方程。第五十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移(a)其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足第五十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移應(yīng)滿足上的約束邊界條件，即

虛位移(b)（在上）。第六十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。(c)虛位移第六十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置

(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y；而因變量為函數(shù)，如位移，有

(d)⑵變分與微分的比較變分與微分第六十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(e)第六十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日由于微分和變分都是微量，所以a.它們的運算方式相同，如式(d)，(e)；b.變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(f)第六十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能由于虛位移引起虛應(yīng)變，外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

第六十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

形變勢能的變分，即實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功,

由于實際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,∴作為常力計算，故無系數(shù)。虛位移上功和能(j)第六十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）?！辔灰谱兎址匠?.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出第六十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式,得它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程第六十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日位移變分方程它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程─將式(j)的代入上式，得第六十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日其中─形變勢能的變分，如式(j)所示，─外力功的變分，如式(g)所示。位移變分方程（4）最小勢能原理─式(k)可寫成其中U─彈性體的形變勢能，如§5-4式(d),

W─彈性體的外力功，如§5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫成為第七十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日證明如下：位移變分方程第七十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運算，可得

綜合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移變分方程第七十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。第七十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日最小勢能原理：數(shù)學(xué)表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)第七十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（5）位移變分方程的又一形式─式(l)

中可化為

又一形式第七十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用分部積分公式和格林公式（其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向余弦），可將進(jìn)行轉(zhuǎn)換。又一形式第七十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日∵在上，虛位移，∴

對其余幾項進(jìn)行同樣的轉(zhuǎn)換，并代入式(),可得又一形式的位移變分方程：又一形式例如，對第一項計算，(s)第七十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日因，都是任意的獨立的變分，為了滿足上式,必須（在A中）(v)（在上）(w)又一形式第七十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。第七十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應(yīng)力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b,c。第八十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應(yīng)于實際平衡狀態(tài)的位移解答。第八十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試導(dǎo)出式(u)。3.試比較4.中變分方程

(1)-(5)的不同的物理解釋。4.試證明二階變分。思考題第八十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。§5-6位移變分法第八十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日(a)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

第八十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）(c)(b)瑞利-里茨法第八十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 ∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。 而，用來反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(d)第八十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日瑞利-里茨法位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程第八十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將式(d)，(f)代入(e)得因虛位移（位移變分）中的，是完全任意的、獨立的，為了滿足上式，必須:第八十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出，,從而得到位移的解答。第八十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

2.伽遼金法（1）設(shè)定位移試函數(shù)如式(a)所示，但令

u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應(yīng)力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法第九十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將位移的變分，（式(d)）代入，同樣由于，為完全任意的和獨立的變分，得到伽遼金法（2）于是，由§5-5中式(u)可見，由于上的應(yīng)力邊界條件已滿足，設(shè)定的位移只需滿足下列變分方程第九十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將上式括號內(nèi)的應(yīng)力用位移來表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法第九十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 式(j)也是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，從上式解出，，便得到位移的解答。伽遼金法第九十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日試從位移函數(shù)的設(shè)定，應(yīng)滿足的變分方程和求解的計算工作量等方面對瑞利-里茨法和伽遼金法進(jìn)行比較。思考題第九十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束?！?-7位移變分法例題第九十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b)第九十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中）：(c)對式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件（當(dāng)或處積分為0），例題第九十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日且其中的，應(yīng)代入相應(yīng)的邊界方程。將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項。共建立兩個方程，求出和，得位移解答：例題(d)對于圖示的簡單問題，式(d)正好是其精確解。第九十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題(e)例2本題全部為位移邊界條件：第九十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日本題以y軸為對稱軸，∴

u應(yīng)為x的奇函數(shù),

v應(yīng)為x的偶函數(shù)。例題(f)設(shè)定位移勢函數(shù)為第一百頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日位移(g)已滿足對稱性條件(f)和全部邊界條件(e)。因全部為位移邊界條件且均已滿足，∴從§5－5式(u)可見，也可應(yīng)用伽遼金變分法。例題第一百零一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將位移(g)代入上式，求出得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法給出的結(jié)果相同。因，故伽遼金變分方程為例題(h)第一百零二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題第一百零三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題1設(shè)圖中的矩形域為，取網(wǎng)格間距為h=2m,布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值（度）如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點a,b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017第一百零四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：對a,b列出方程如下：解出第一百零五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題2用差分法計算圖中A和B點的應(yīng)力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65第一百零六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：為反映對稱性，取A為基點。令

邊界點的應(yīng)力函數(shù)值：邊界點的導(dǎo)數(shù)值：

由上式及，求出邊界外一行虛結(jié)點的值：

第一百零七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對1點列差分方程：代入各值，解出。再求出應(yīng)力分量：

第一百零八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題3

正方形的板塊，厚度，受一對集中力F的作用，如圖。試取，應(yīng)用差分法求解該問題的應(yīng)力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF第一百零九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：⑴本題具有的兩個對稱軸，為了反映對稱性，在y

向外荷載作用下，取

網(wǎng)格結(jié)點編號如圖所示。

第一百一十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑵計算各邊界結(jié)點處的、、值。在A點及J點，各取布置于兩側(cè)，以反映荷載的對稱性，按公式（其中即AB之間面力對B點的力矩，圖中以順時針方向為正）。第一百一十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日求出邊界上各結(jié)點的值，如下圖所示。 結(jié)點 A B CDEGHI J

00000000

讀者可檢驗，上述的值反映了邊界結(jié)點和邊界外一行虛結(jié)點上值的對稱性。

F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh第一百一十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑶計算邊界外一行結(jié)點的值。由得到

由得到第一百一十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑷對內(nèi)結(jié)點1、2、3、4分別列出下列類型的方程：0點：對結(jié)點1，對結(jié)點2，第一百一十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對結(jié)點3，對結(jié)點4，解出第一百一十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑸按照應(yīng)力公式及，求得AJ及EI截面上的應(yīng)力分量：第一百一十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題4

試證明，在同樣的應(yīng)變分量，和下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。例題第一百一十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，變換為解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢能是：例題(a)第一百一十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日代入，得顯然，方括號內(nèi)將式⑴中的，都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢能公式，

例題(c)第一百一十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日從式⑶可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能中的第一、二、三項均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第四項不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢能大于平面應(yīng)力的形變勢能U

。例題第一百二十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題5

圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變勢能將發(fā)生什么變化？例題CDEFAB第一百二十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：⑴當(dāng)AB線切開時，AB線上的應(yīng)力趨于0。而形變勢能是正定的，，當(dāng)這部應(yīng)力時，相應(yīng)的形變勢能也失去因此，板的總的形變勢能減少。 ⑵當(dāng)AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：例題第一百二十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日(b)AB線張開，出現(xiàn)裂紋。這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而(a)、(b)兩種狀態(tài)的外力勢能不變，因此，(b)的形變勢能小于(a)，即形變勢能將減少。例題(a)AB切開后，仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開。這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；第一百二十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題6

單位厚度的深梁，兩側(cè)邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。（取，并設(shè)）。例題qyxbuvbaaoq第一百二十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對稱于x軸，而反對稱于y軸。因此，位移分量u應(yīng)為、的奇函數(shù)，而v為x、y的偶函數(shù)，xy如圖所示?？梢栽O(shè)定位移勢函數(shù)如下：第一百二十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對稱和反對稱性條件。以下按瑞利-里茨法進(jìn)行計算。例題第一百二十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日假設(shè)只取u，v中一項，即將u和v代入形變勢能公式（平面應(yīng)力問題），得：例題第一百二十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

在本題中體力，在邊界上只有的均布荷載，。由此，瑞利-里茨方程成為

例題再積分求U，第一百二十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日邊界是，且，從到積分。再將U代入上式，得到兩個求的方程：第一百二十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日當(dāng)取，且時，上兩式方程簡化為由此解出,位移分量的解答是例題第一百三十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題7圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取，。例題第一百三十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日aabxyq第一百三十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，并應(yīng)反映圖示問題的對稱性。取第一百三十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日上式已反映了位移對稱于y軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。僅取各一項進(jìn)行運算，由于體力，面力只存在于AB邊（），因此求解的位移變分方程為：例題第一百三十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日當(dāng)，且取泊松系數(shù)時，形變勢能簡化為將u、v代入,例題（a）（b）第一百三十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日形變勢能U為將U及代入式(a)，(b)，得(c)(d)第一百三十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日從式(c)、(d)解出例題于是得到位移分量，再求應(yīng)力分量，取，得：第一百三十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題在對稱軸上，x=0，,在邊界，,第一百三十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應(yīng)力時，其應(yīng)力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應(yīng)取更多的項數(shù)進(jìn)行計算。第一百三十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

第五章習(xí)題提示和答案習(xí)題提示和答案5-1參見書中由低階導(dǎo)數(shù)推出高階導(dǎo)數(shù)的方法。5-2參見書中的方程。5-3注意對稱性的利用，取基點A如圖。答案見書中。5-4注意對稱性的利用,并相應(yīng)選取基點

A。答案見書中。第一百四十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-7按位移求微分方程的解法中，位移應(yīng)滿足:

(1)上的位移邊界條件，

(2)上的應(yīng)力邊界條件，(3)區(qū)域A中的平衡微分方程。習(xí)題提示和答案5-5注意對稱性的利用，本題有一個對稱軸。5-6注意對稱性的利用，本題有二個對稱軸。第一百四十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-8在拉伸和彎曲情況下，引用的表達(dá)式，再代入書中的公式。在扭轉(zhuǎn)和彎曲情況下，引用的表達(dá)式，再代入書中的公式。習(xí)題提示和答案用瑞利-里茨變分法求解時，設(shè)定的位移試函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足(1)上的位移邊界條件，而(2)和(3)的靜力條件由瑞利-里茨變分法來代替。第一百四十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-9對于書中圖5-15的問題，可假設(shè)

對于書中圖5-16的問題中，y軸是其對稱軸，x軸是其反對稱軸，在設(shè)定u、v試函數(shù)時，習(xí)題提示和答案第一百四十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日為滿足全部約束邊界條件，應(yīng)包含公共因子。此外，其余的乘積項中，應(yīng)考慮：u應(yīng)為x和y的奇函數(shù)，v應(yīng)為x和y的偶函數(shù)。第一百四十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-10答案見書中。第一百四十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-11在u,v

中各取一項,并設(shè)時,用瑞利-里茨法得出求解的方程是代入后,上兩式方程是解出習(xí)題提示和答案第一百四十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日習(xí)題提示和答案位移分量的解答為應(yīng)力分量為第一百四十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

第五章教學(xué)參考資料

（一）本章學(xué)習(xí)重點及要求

1.彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應(yīng)力、形變和位移。從數(shù)學(xué)上看，彈性力學(xué)問題可化為微分方程的邊值問題，通過求解，得出函數(shù)式的精確解答。教學(xué)參考資料第一百四十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。從彈性力學(xué)基本理論建立以來，為了解決工程實際問題，人們就探討了各種可供應(yīng)用的近似解法。彈性力學(xué)中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學(xué)參考資料第一百四十九頁，共一百六十七頁，