工程電磁場導(dǎo)論第三次課

工程電磁場導(dǎo)論第三次課第一頁，共二十頁，2022年，8月28日（一）矢量場的環(huán)量

例：磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場與電流的關(guān)系。

第二頁，共二十頁，2022年，8月28日引入環(huán)量概念。矢量場對于閉合曲線L的環(huán)量定義為該矢量對閉合曲線L的線積分，記為：（1)如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)量恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。（2)如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)量不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。第三頁，共二十頁，2022年，8月28日旋度概念的提出：矢量場的環(huán)量給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，當(dāng)閉合曲線L所圍的面積趨于零時(shí)，矢量場對回路L的環(huán)量與旋渦源對于L所圍的面積的通量成正比，即：

（二）矢量場的旋度(Rotation)

JFn第四頁，共二十頁，2022年，8月28日矢量場旋度定義為：矢量場在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為包含M點(diǎn)在內(nèi)的小面元邊界的環(huán)量與小面元比值極限的最大值，其方向?yàn)闃O限取得最大值時(shí)小面積元的法線方向，即：第五頁，共二十頁，2022年，8月28日根據(jù)線積分的計(jì)算公式，不難得到旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:第六頁，共二十頁，2022年，8月28日利用旋度的定義式，可得到一般曲線和曲面積分之間的變換關(guān)系式，即Stokes定理

環(huán)量積分＝旋度的面積分（三）、環(huán)量與旋度之間的聯(lián)系－Stokes定理

第七頁，共二十頁，2022年，8月28日方向相反大小相等結(jié)果抵消第八頁，共二十頁，2022年，8月28日旋度的計(jì)算公式圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系下旋度的計(jì)算公式：球坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算公式第九頁，共二十頁，2022年，8月28日§1.5矢量場的旋度

第十頁，共二十頁，2022年，8月28日（一）、無源場對于矢量場A，如果在場域中每一點(diǎn)處恒有散度為零，即：則稱A為無源場。

性質(zhì)一：在無源場中穿過場域V中任何一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等。

性質(zhì)二：無源場存在矢勢。六、無源場和無旋場第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日（二）、無旋場對于矢量場A，如果在場域中每一點(diǎn)處恒有旋度為零，即：則稱A為無旋場。

性質(zhì)一：在無旋場中，A沿場域V的任何閉合路徑L的環(huán)量為零。即：

性質(zhì)二：無旋場可以表示為某標(biāo)量場的梯度場。第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日（三）、調(diào)和場散度和旋度都等于零的矢量場，稱為調(diào)和場。根據(jù)其無旋性可得：根據(jù)其無源性可得：引入Laplacian算子第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日拉普拉斯方程和泊松方程若矢量場僅為無旋場，例如連續(xù)分布的體電荷內(nèi)部，任意點(diǎn)的散度不為零，須引入泊松方程第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日對于矢量場必需考慮如下問題：（1）場的特性：矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3）場的唯一性：如何唯一的確定一個(gè)矢量場？六、Helmholtz定理第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日1矢量場的Helmholtz定理

空間區(qū)域V上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無源矢量場的疊加，即：

其中為無旋場，為無源場。第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日Helmholtz定理明確回答了上述三個(gè)問題。即任一矢量場由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中一部分是無源場，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發(fā)，滿足：第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日證明：一個(gè)標(biāo)量場的梯度必?zé)o旋，一個(gè)矢量場的旋度必?zé)o散。第十八頁，共二十頁，20