高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程 獲獎作品2

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知向量n＝(1,0，－1)與直線l垂直，且l經(jīng)過點A(2,3,1)，則點P(4,3,2)到l的距離為()\f(3,2) \f(\r(2),2)\f(\r(3),2) \f(3\r(2),2)解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2,0，－1)，又n與l垂直，所以P到l的距離為eq\f(|－2，0，－1·1，0，－1|,\r(12＋－12))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：B2．已知△ABC的頂點A(1，－1,2)、B(5，－6,2)、C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD的長等于()A．3 B．4C．5 D．6解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－5,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,4，－3)，∴|ACeq\o(|,\s\up6(→))＝5，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(20,5)＝4，∴高BD＝eq\a\vs4\al(\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(AB,\s\up6(→))|2－|\o(AD,\s\up6(→))|2))))＝eq\r(41－16)＝5.答案：C3.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是\f(1,2) \f(\r(2),4)\f(\r(2),2) \f(\r(3),2)解析：建立如右圖所示坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))則eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，由題意知eq\o(DA1,\s\up6(→))為平面ABC1D1的法向量，∴O到平面ABC1D1的距離為d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up6(→))·\o(A1O,\s\up6(→))|,|\o(DA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4).答案：B4．如圖所示，在幾何體A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，點E為CD中點，則AE的長為()

\r(2) \r(3)C．2 \r(5)解析：Aeq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(E,\s\up6(→))，∵|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝|Beq\o(C,\s\up6(→))|＝1＝|Ceq\o(E,\s\up6(→))|，且Aeq\o(B,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))·Ceq\o(E,\s\up6(→))＝Beq\o(C,\s\up6(→))·Ceq\o(E,\s\up6(→))＝0.又∵Aeq\o(E,\s\up6(→))2＝(Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(E,\s\up6(→)))2，∴Aeq\o(E,\s\up6(→))2＝3，∴AE的長為eq\r(3).故選B.答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是________．解析：如右圖，以BC邊上的垂線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系取BC中點D，則PD的長即為所求，由A(0,0,0)，P(0,0,8)，D(0,4,0)，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋－82)＝4eq\r(5).答案：B6．已知過點P(1,0,0)的兩條直線l1與l2，l1平行于向量s1＝(0,1，－1)，l2平行于向量s2＝(1,1,0)，則點P1(0,1,0)到直線l1與l2確定的平面π的距離為________．解析：設(shè)平面π的法向量n＝(x，y，z)，由s1·n＝s2·n＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－z＝0,x＋y＝0)).取x＝1，則y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．又因eq\o(PP1,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，所以點P1到平面π的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PP1,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)三、解答題(每小題10分，共20分)7．單位正方體ABCD－A1B1C1D1中，求點B1到直線AC的距離解析：方法一：建立坐標(biāo)系如圖，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2))，∴點B1到直線AC的距離為d＝eq\a\vs4\al(\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(AB1,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))))2)))＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2).方法二：連接AB1，B1C，AC，則△AB1C為正三角形，邊長為eq\r(2)，而B1到AC的距離就是正三角形一邊上的高d＝h＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).8.如右圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形．E、F分別是AB、PD的中點．若PA＝AD＝3，CD＝eq\r(6).求點F到平面PCE的距離．解析：如右圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，\f(3,2)))，C(eq\r(6)，3,0)．設(shè)平面PCE的法向量為n＝(x，y，z)，eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0，3))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，3，0)).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EP,\s\up6(→))＝0,n·\o(EC,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)x＋3z＝0,\f(\r(6),2)x＋3y＝0)).取y＝－1，得n＝(eq\r(6)，－1,1)．又eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，－\f(3,2)))，故點F到平面PCE的距離為d＝eq\f(|\o(PF,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－\f(3,2))),2\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中點，試問在A1B上是否存在一點E(不與端點重合)使得點A1到平面AED的距離為eq\f(2\r(6),3)？解析：以點C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，設(shè)eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))，λ∈(0,1)，則E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，設(shè)n＝(x，y，z)為平面AED的一個法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD,\s\up6(→))＝0,n·\o(AE,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋z＝0,2λ－1x＋21－λy＋2λz＝0))，取x＝1，則y＝eq\f(1－3λ,1－λ)，z＝2，即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(