高中數(shù)學(xué)北師大版3第一章計(jì)數(shù)原理排列 第1章2排列的應(yīng)用

第2課時(shí)排列的應(yīng)用1．進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解．(重點(diǎn))2．掌握幾種有限制條件的排列問題的處理方法，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單的實(shí)際問題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理排列的綜合應(yīng)用閱讀教材P10“例2”“例3”“例4”部分，完成下列問題．1．解簡單的排列應(yīng)用題的基本思想2．解簡單的排列應(yīng)用題，首先必須認(rèn)真分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有順序．如果是的話，再進(jìn)一步分析，這里n個(gè)不同的元素指的是什么，以及從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的每一種排列對(duì)應(yīng)的是什么事情，然后才能運(yùn)用排列數(shù)公式求解．1．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【解析】從2,4中取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，有2種取法；再從其余四個(gè)數(shù)中取出三個(gè)數(shù)排在前三位，有Aeq\o\al(3,4)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這樣的四位偶數(shù)共有2×Aeq\o\al(3,4)＝48個(gè)．【答案】482．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的活動(dòng)．若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯活動(dòng)，則選派方案共有________種．【解析】翻譯活動(dòng)是特殊位置優(yōu)先考慮，有4種選法(除甲、乙外)，其余活動(dòng)共有Aeq\o\al(3,5)種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×Aeq\o\al(3,5)＝240種選派方案．【答案】240[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]無限制條件的排列問題(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？【精彩點(diǎn)撥】(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；(2)給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本，各人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．【自主解答】(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以共有60種不同的送法．(2)由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的每本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5＝125，所以共有125種不同的送法．1．沒有限制的排列問題，即對(duì)所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對(duì)簡單，分清元素和位置即可．2．對(duì)于不屬于排列的計(jì)數(shù)問題，注意利用計(jì)數(shù)原理求解．[再練一題]1．(1)將3張電影票分給10人中的3人，每人1張，共有________種不同的分法．(2)從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員，文娛委員與體育委員，不同的選法共有______種．【解析】(1)問題相當(dāng)于從10張電影票中選出3張排列起來，這是一個(gè)排列問題．故不同分法的種數(shù)為Aeq\o\al(3,10)＝10×9×8＝720.(2)從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員，文娛委員與體育委員，應(yīng)有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60.【答案】(1)720(2)60排隊(duì)問題7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？(1)老師甲必須站在中間或兩端；(2)2名女生必須相鄰而站；(3)4名男生互不相鄰；(4)若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站．【精彩點(diǎn)撥】解決此類問題的方法主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．【自主解答】(1)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數(shù)為：Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(2)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)種，視為一種元素與其余5人全排，有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)．(3)先站老師和女生，有站法Aeq\o\al(3,3)種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，則插入方法Aeq\o\al(4,4)種，所以共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．(4)7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420(種)．解決排隊(duì)問題時(shí)應(yīng)注意的問題1．對(duì)于相鄰問題可以采用捆綁的方法，將相鄰的元素作為一個(gè)整體進(jìn)行排列，但是要注意這個(gè)整體內(nèi)部也要進(jìn)行排列．2．對(duì)于不相鄰問題可以采用插空的方法，先排沒有限制條件的元素，再將不相鄰的元素以插空的方式進(jìn)行排列．3．對(duì)于順序給定的元素的排列問題只需考慮其余元素的排列即可．4．“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先．[再練一題]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排隊(duì)方案有多少種．(1)甲不站中間，也不站兩端；(2)甲、乙兩人必須站兩端．【解】(1)分兩步，首先考慮兩端及中間位置，從除甲外的6人中選3人排列，有Aeq\o\al(3,6)種站法，然后再排其他位置，有Aeq\o\al(4,4)種站法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(4,4)＝2880種不同站法．(2)甲、乙為特殊元素，先將他們排在兩頭位置，有Aeq\o\al(2,2)種站法，其余5人全排列，有Aeq\o\al(5,5)種站法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240種不同站法．[探究共研型]數(shù)字排列問題探究1偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字有何特征？從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同數(shù)字能組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【提示】偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定能被2整除．先從2,4中任取一個(gè)數(shù)字排在個(gè)位，共2種不同的排列，再從剩余數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排在十位，共4種排法，故從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字，能組成2×4＝8(種)不同的偶數(shù)．探究2在一個(gè)三位數(shù)中，身居百位的數(shù)字x能是0嗎？如果在0～9這十個(gè)數(shù)字中任取不同的三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，如何排才能使百位數(shù)字不為0?【提示】在一個(gè)三位數(shù)中，百位數(shù)字不能為0，在具體排數(shù)時(shí)，從元素0的角度出發(fā)，可先將0排在十位或個(gè)位的一個(gè)位置，其余數(shù)字可排百位、個(gè)位(或十位)位置；從“位置”角度出發(fā)可先從1～9這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排百位，然后再從剩余9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字排十位與個(gè)位位置．探究3如何從26,17,31,48,19中找出大于25的數(shù)？【提示】先找出十位數(shù)字比2大的數(shù)，再找出十位數(shù)字是2，個(gè)位數(shù)字比5大的數(shù)即可．用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的(1)六位奇數(shù)？(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)？【精彩點(diǎn)撥】這是一道有限制條件的排列問題，每一問均應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排的原則．另外，還可以用間接法求解．【自主解答】(1)法一：從特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填個(gè)位，有Aeq\o\al(1,3)種填法，第二步再填十萬位，有Aeq\o\al(1,4)種填法，第三步填其他位，有Aeq\o\al(4,4)種填法，故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))六位奇數(shù)．法二：從特殊元素入手(直接法)0不在兩端有Aeq\o\al(1,4)種排法，從1,3,5中任選一個(gè)排在個(gè)位有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))六位奇數(shù)．法三：排除法6個(gè)數(shù)字的全排列有Aeq\o\al(6,6)個(gè)，0,2,4在個(gè)位上的六位數(shù)為3Aeq\o\al(5,5)個(gè)，1,3,5在個(gè)位上，0在十萬位上的六位數(shù)有3Aeq\o\al(4,4)個(gè)，故滿足條件的六位奇數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．(2)法一：排除法0在十萬位的六位數(shù)或5在個(gè)位的六位數(shù)都有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，0在十萬位且5在個(gè)位的六位數(shù)有Aeq\o\al(4,4)個(gè)．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．法二：直接法十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同．因此需分兩類：第一類：當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，符合條件的六位數(shù)有Aeq\o\al(5,5)個(gè)．第二類：當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，符合條件的六位數(shù)有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)個(gè)．故共有符合題意的六位數(shù)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．解排數(shù)字問題常見的解題方法1．“兩優(yōu)先排法”：特殊元素優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先填充．如“0”不排“首位2．“分類討論法”：按照某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類，然后按照分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行，要注意以下兩點(diǎn)：一是分類標(biāo)準(zhǔn)必須恰當(dāng)；二是分類過程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù)．4．“位置分析法”：按位置逐步討論，把要求數(shù)字的每個(gè)數(shù)位排好．[再練一題]3．用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)取不同的數(shù)字組數(shù)．(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比1325大的四位數(shù)？(3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)．【解】(1)符合要求的五位數(shù)可分為兩類：第一類，個(gè)位上的數(shù)字是0的五位數(shù)，有Aeq\o\al(4,5)個(gè)；第二類，個(gè)位上的數(shù)字是5的五位數(shù)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)個(gè)．故滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(個(gè))．(2)符合要求的比1325大的四位數(shù)可分為三類：第一類，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)個(gè)；第二類，形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)個(gè)；第三類，形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，無重復(fù)數(shù)字且比1325大的四位數(shù)共有：Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(個(gè))．(3)由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有Aeq\o\al(5,5)個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個(gè)有3Aeq\o\al(4,4)個(gè)數(shù)，∴240135的項(xiàng)數(shù)是Aeq\o\al(5,5)＋3Aeq\o\al(4,4)＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．[構(gòu)建·體系]1．6名學(xué)生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為()A．36 B．120C．720 D．240【解析】由于6人排兩排，沒有什么特殊要求的元素，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.【答案】C2．要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種 B．960種C．720種 D．480種【解析】從5名志愿者中選2人排在兩端有Aeq\o\al(2,5)種排法，2位老人的排法有Aeq\o\al(2,2)種，其余3人和老人排有Aeq\o\al(4,4)種排法，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝960種不同的排法．【答案】B3．用1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字排列組成一個(gè)七位數(shù)，要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù)，奇數(shù)位上必須是奇數(shù)，則這樣的七位數(shù)有________個(gè).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690010】【解析】先排奇數(shù)位有Aeq\o\al(4,4)種，再排偶數(shù)位有Aeq\o\al(3,3)種，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)＝144個(gè)．【答案】1444．兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起去公園游玩，購票后排隊(duì)依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為________．【解析】分3步進(jìn)行分析，①先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，②兩個(gè)小孩一定要排在一起，將其看成一個(gè)元素，考慮其順序有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，③將兩個(gè)小孩看作一個(gè)元素與兩位媽媽進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法．則共有2×2×6＝24種排法．【答案】245．從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒