《概率》全章節(jié)復習與鞏固

II）由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為，隨機變量是取值為：0，－1,1，因此所以X的分布列為則【變式3】A、B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率A1對B1A2對B2A3對B3現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η，（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ、Eη。【答案】（1）ξ、η的可能取值分別為3，2，1，0，，根據(jù)題意知ξ+η=3，所以。（2）因為ξ+η=3，所以類型三、條件概率【高清課堂：條件概率事件的相互獨立性408736例題1】例3．5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：（1）第1次抽到理科題的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；（3）在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題概率【思路點撥】本題考查古典概型、條件概率．（1）和（2）中利用解決，（3）利用條件概率公式解決．【解析】設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB．（1）．（2）．（3）．【總結(jié)升華】（1）求條件概率的關(guān)鍵就是要抓住事件A作為條件和事件A與B同時發(fā)生這兩件事，然后具體問題具體對待。（2）本題第（3）問可用下面的方法求解：用n（A）表示事件A中包含的基本事件個數(shù)，則n（A）=12，n（AB）=6，故．舉一反三：【變式1】某學校一年級共有學生100名，其中男生60人，女生40人；來自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生，問該女生來自北京的概率是多少？【答案】用A表示“任選一人是女生”，B表示“任選一人來自北京”，依題意知北京的學生有8名女生，這是一個條件概率問題，即計算P（B｜A）．由于，，∴．【變式2】盒中裝有5件產(chǎn)品，其中3件一等品，2件二等品，從中不放回地抽取產(chǎn)品，每次抽取1件，求：（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率；（2）取兩次，第二次取得一等品的概率；（3）取兩次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率?！敬鸢浮渴录嗀i為“第i次取到一等品”，其中i=1，2，（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率為；（2）取兩次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到二等品，可得；（3）取兩次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，即。類型四、二項分布例4、某人參加射擊，擊中目標的概率是。①設(shè)為他射擊6次擊中目標的次數(shù)，求隨機變量的分布列；②設(shè)為他第一次擊中目標時所需要射擊的次數(shù)，求的分布列；③若他只有6顆子彈，若他擊中目標，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)的分布列。【思路點撥】由已知，某人射擊6次相當于6次獨立重復試驗，他射擊6次擊中目標的次數(shù)ξ滿足，，因此，隨機變量ξ服從二項分布；第一次擊中目標時所需要射擊的次數(shù)η滿足，因此η服從幾何分布?！窘馕觥竣匐S機變量服從二項分布，而的取值為0,1,2,3,4,5,6，則故的分布列為：0123456P②設(shè)表示他前次未擊中目標，而在第次射擊時擊中目標，則的取值為全體正整數(shù)1,2,3,…則的分布列為1234……P……③的取值為1,2,3,4,5,6，表示前次未擊中，而第次擊中，∴，；而表示前5次未擊中，第6次可以擊中，也可以未擊中∴∴的分布列為：123456P【總結(jié)升華】求離散型隨機變量分布列要注意兩個問題：一是求出隨機變量所有可能的值；二是求出取每一個值時的概率.舉一反三：【變式1】在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽樣時，抽到次品數(shù)ξ的分布列；（2）放回抽樣時，抽到次品數(shù)η的分布列.【解析】η也可以取0，1，2，3，放回抽樣和不放回抽樣對隨機變量的取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析.（1）隨機變量ξ取值為0，1，2P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列為ξ012P（2）隨機變量η取值為0，1，2，3P(η=k)=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列如下，η0123PC0.83C0.82·0.2C0.8·0.22C0.23【變式2】從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率．（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列．【解析】（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”．則互斥，且，故于是．解得；（2）的可能取值為．若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其二等品有件，故，，．所以的分布列為012【變式3】某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：6789100現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為.(=1\*ROMANI)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率；(=2\*ROMANII)求的分布列；【解析】(Ⅰ)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率為；(Ⅱ)的可能取值為7、8、9、10；分布列為：78910P0.040.210.390.36類型五、正態(tài)分布例5.如圖所示，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．【思路點撥】由正態(tài)曲線的圖像可知，該曲線的對稱軸為x=20，最大值為，因此，μ=20，由可求得的值．【解析】從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對稱，最大值是，所以μ=20．由，解得．于是概率密度函數(shù)的解析式是，x∈（－∞，+∞）．總體隨機變量的期望是μ=20，方差是．【總結(jié)升華】利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的實質(zhì)性兩點：一是對稱軸x=μ，一是最值．這兩點確定以后，相應(yīng)參數(shù)縱、便