2021-2022學(xué)年北京第一六五中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年北京第一六五中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.向量，，若，則實(shí)數(shù)x的值為A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示，即可求出?！驹斀狻肯蛄?，，，即解得．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示。2.arccot(–)–arcsin(–)的值等于（

）（A）0

（B）

（C）π

（D）參考答案：D3.如圖，二面角的大小是60°，線段，，AB與所成的角為30°，則AB與平面所成的角的余弦值是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B過點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線．垂足為D連結(jié)AD，易知AD⊥l，故∠ADC為二面角α﹣l﹣β的平面角為60°又由已知，∠ABD=30°連結(jié)CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角，設(shè)AD=2，則AC=，CD=1AB==4，BC=，∴cos∠ABC=．故選：B

4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由，可得兩式相減可得公比的值，由可得首項(xiàng)的值，結(jié)合可得，，展開后利用基本不等式可得時(shí)取得最小值，結(jié)合為整數(shù)，檢驗(yàn)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?兩式相減化簡(jiǎn)可得，公比，由可得，，則，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得，取整數(shù)，均值不等式等號(hào)條件取不到，則，驗(yàn)證可得，當(dāng)時(shí)，取最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.5.（5分）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?，+∞）的是（） A． B． C． D． y=x2+x+1參考答案：C考點(diǎn)： 函數(shù)的值域．專題： 計(jì)算題．分析： ；y=＞0；；，可判斷解答： 可得函數(shù)的值域故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相反向量的概念及其應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6.已知直線ax+by+c=0的圖形如圖所示，則（）A．若c＞0，則a＞0，b＞0 B．若c＞0，則a＜0，b＞0C．若c＜0，則a＞0，b＜0 D．若c＜0，則a＞0，b＞0參考答案：D【考點(diǎn)】I1：確定直線位置的幾何要素．【分析】把直線的方程化為斜截式，判斷斜率的符號(hào)和直線在y軸上的截距上的符號(hào)，即可得出結(jié)論．【解答】解：由直線ax+by+c=0可得y=﹣x﹣．根據(jù)圖象可得﹣＜0，﹣＞0．∴若c＜0，則a＞0，b＞0．故選：D．7.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：B∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故選：B．

8.（5分）如圖是函數(shù)f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx（a、c是不等于1的正實(shí)數(shù)），則a、b、c的大小關(guān)系是（）A． a＞b＞c

B．c＞a＞b

C．b＞a＞c

D．c＞b＞a參考答案：B考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合．分析：由已知中圖示的函數(shù)f（x）=ax、g（x）=xb、h（x）=logcx的圖象，我們結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可以分別判斷出參數(shù)a，b，c的范圍，進(jìn)而得到答案．解答：由已知中可得：函數(shù)f（x）=ax中，0＜a＜1函數(shù)g（x）=xb中，b＜0函數(shù)h（x）=logcx中，c＞1故c＞a＞b故選B點(diǎn)評(píng)：本題考察的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握三個(gè)基本函數(shù)中參數(shù)（底數(shù)或指數(shù)）對(duì)函數(shù)圖象形狀的影響是解答本題的關(guān)鍵．9.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A．[2,3）

B．(1,3)

C．(2,3)

D．[1,3]參考答案：A10.對(duì)于向量及實(shí)數(shù)，給出下列四個(gè)條件：

①且；

②

③且唯一；

④其中能使與共線的是

A．①②

B．②④

C．①③

D．③④參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f（x）=ln（x﹣2）的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：（2，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）的解析式，真數(shù)大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．故答案為：（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．12.如圖為一半徑為3米的水輪,水輪圓心O距水面5米，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)6圈，水輪上的固定點(diǎn)P到水面距離y(米)與時(shí)間x(秒)滿足關(guān)系式的函數(shù)形式，當(dāng)水輪開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)P點(diǎn)位于距離水面最近的A點(diǎn)處，則A=Δ;b=Δ;ω=Δ；Δ.參考答案：A=3;b=5;ω=；略13.已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍是____________.參考答案：0<a<2/3略14.計(jì)算:

;若,則

．參考答案：15.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．參考答案：25【分析】先作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用的幾何意義求的最大值.【詳解】實(shí)數(shù)滿足約束條件的可行域如圖：的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與直線的距離的5倍，顯然到直線的距離最大，聯(lián)立得A(2,4),所以所求最大值為5×．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知，且，則的值為__________.參考答案：略17.已知，且為第一象限角，則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，小島A在港口P的南偏西60°方向，距離港口81nmile處．甲船從A出發(fā)，

沿AP方向以9nmile/h的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東75°方向，以9nmile/h的速度駛離港口．現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，（1）出發(fā)后3h兩船之間的距離是多少？（2）出發(fā)后幾小時(shí)乙船在甲船的正東方向？參考答案：解：（1）設(shè)出發(fā)后3h甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，則PC＝54，PD＝27．由題意，可知∠CPD＝135°．

在△PCD中，CD2＝PC2＋PD2－2PC·PDcos∠CPD………………2分

＝542＋(27)2－2×54×27×(－)＝272×10＝7290．

所以CD＝27．………………………3分

所以出發(fā)后3h兩船相距27nmile．………………4分

（2）設(shè)出發(fā)后xh乙船位于甲船的正東方向，此時(shí)甲船到達(dá)E點(diǎn)，乙船到達(dá)F點(diǎn)，則∠PEF＝30°，∠PFE＝15°，PE＝81－9x，PF＝9x．

在△PEF中，＝．即＝．…………7分

解得x＝3．……………9分

答：出發(fā)后3h兩船相距27nmile，出發(fā)后3h乙船在甲船的正東方向．…10分略19.（本題共兩小題，每小題5分，共10分）（1）化簡(jiǎn)．（2）計(jì)算．參考答案：20.（12分）已知函數(shù)f（x）=lg，a，b∈（﹣1，1）．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性；（3）求證：f（a）+（b）=f（）．參考答案：考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）求解＞0，﹣1＜x＜1得出定義域，（2）運(yùn)用定義判斷f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），（3）f（a）+（b）=f（）．運(yùn)用函數(shù)解析式左右都表示即可得證．解答： 函數(shù)f（x）=lg，a，b∈（﹣1，1）．（1）∵＞0，﹣1＜x＜1∴函數(shù)f（x）的定義域：（﹣1，1）．（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．（3）證明：∵f（a）+f（b）=lg+lg=lg，f（）=lg=lg，∴f（a）+（b）=f（）．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)的定義，奇偶性的求解，恒等式的證明，屬于中檔題，關(guān)鍵是利用好函數(shù)解析式即可．21.設(shè)函數(shù)(a≠0).(1)若不等式的解集為(－1,3)，求的值；(2)若，，，求的最小值.參考答案：(1)由的解集是知是方程的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得.(2)得，∵，，∴；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值是.22.（16分）已知函數(shù)f（x）=lg（ax﹣bx），a＞1＞b＞0（1）求f（x）的定義域；（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸；（3）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．參考答案：考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．專題： 計(jì)算題．分析： （1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零求解．（2）當(dāng)函數(shù)在定義域上單調(diào)時(shí)，則不存在，當(dāng)函數(shù)在定義域上不單調(diào)時(shí)，則存在，所以要證明函數(shù)是否單調(diào)，可用定義法，也可用導(dǎo)數(shù)法研究．（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數(shù)的最小值非負(fù)即可，由（2）可知是增函數(shù)，所以只要f（1）≥0即可．解答： （1）由ax﹣bx＞0得，由于所以x＞0，即f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2；f（x1）﹣f（x2）=∵a＞1＞b＞0，∴y=ax在R上為增函數(shù)，y=bx在R上為減函數(shù)，∴∴，即又∵y=l