高中數學人教B版第二章平面向量

三、平面向量★考試大綱★一、考綱點擊1、理解向量的基本概念和向量的基本運算；2、掌握共線、垂直、夾角；3、向量的坐標表示及運算。二、熱點提示本章的重點有向量的概念、運算及坐標表示，向量共線的條件極其坐標表示，向量的數量積運算的定義、運算律及其坐標表示，向量垂直的條件極其坐標表示?！锝虒W大綱★平面向量的實際背景及基本概念（1）了解向量的實際背景；（2）理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義；（3）理解向量的幾何表示。2．向量的線性運算（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；（2）掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；（3）了解向量線性運算的性質及其幾何意義。3．平面向量的基本定理及坐標表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算；（4）理解用坐標表示的平面向量共線的條件。4．平面向量的數量積（1）理解平面向量數量積的含義及其物理意義；（2）了解平面向量的數量積與向量投影的關系；（3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；（4）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。5．向量的應用（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；（2）會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題?！镏R梳理★一、基本概念1.向量：數學中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。數量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數量。2.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段三要素：起點、方向、長度。3.向量的長度（模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作。4.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是兩個平行向量，那么通常記作∥。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任一向量，都有∥。6.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是兩個相等向量，那么通常記作=。7.如圖，已知非零向量、，在平面內任取一點A，作=，=，則向量叫做與的和，記作，即。7.相反向量：①我們規(guī)定，與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作-。和-互為相反向量。②我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。③任一向量與其相反向量的和是零向量，即。④如果、是互為相反的向量，那么=-，=-，。⑤我們定義，即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。二、向量的加減向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。說明：1.對于零向量與任一向量，我們規(guī)定：+=+=2.公式及運算定律：①②≤③④三、向量的數乘向量的數乘：一般地，我們規(guī)定實數λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘。記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①②當λ＞0時，的方向與的方向相同；當λ＜0時，的方向與的方向相反；λ=0時，=運算定律：①②③④⑤四、共線定理共線定理：對于向量（≠）、，如果有一個實數λ，使=，那么與共線。相反，已知向量與共線，≠，且向量的長度是向量的長度的μ倍，即||=μ||，那么當與同方向時，有=；當與反方向時，有=。則得如下定理：向量向量（≠）與共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使=。五、平面向量基本定義平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。補充結論：已知向量、是兩個不共線的兩個向量，且m、n∈R，若，則m=n=0。正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。六、向量夾角向量與的夾角：已知兩個非零向量和。作，，則（0°≤θ≤180°）叫做向量與的夾角。當θ=0°時，與同向；當θ=180°時，與反向。如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作。七、向量的坐標表示1.兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）。即若，，則，2.實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標。即若，則_x_y_L_P2_P_P13.當且僅當x1y2_x_y_L_P2_P_P14.定比分點坐標公式：當時，P點坐標為①當點P在線段P1P2上時，點P叫線段P1P2的內分點，λ＞0②當點P在線段P1P2的延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，λ＜-1；當點P在線段P1P2的反向延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，-1＜λ＜0.22.從一點引出三個向量，且三個向量的終點共線，則，其中λ+μ=1數量積（內積）：1.已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作·即·=。其中θ是與的夾角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數量積為0。2.·的幾何意義：數量積·等于的長度與在的方向上的投影的乘積。3.數量積的運算定律：①·=·②（λ）·=λ（·）=·（λ）③（+）·=·+·④⑤⑥4.兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。即。則：①若，則，或。如果表示向量的有向線段的起點和中點的坐標分別為、，那么，②設，，則5.設、都是非零向量，，，θ是與的夾角，根據向量數量積的定義及坐標表示可得：★考點精講★一、向量的主要理論1.向量的坐標運算(1)設，則：，，，,,.(2)設，則：,2.共線定理3.數量積1、，2、在方向上的投影為：，3、，4、，5、.4.垂直條件1、，2、，3、.5.夾角二、向量主要題型1.向量共線的求解（1）列方程組由，設出，列出方程組，求出即可。（2）用坐標運算由，直接算出即可。例1已知點，及，.求點和的坐標。例2平面向量中，已知，，且，則向量______。2.向量垂直的求解1、。2、。例3已知，，其中．

(1)求證：與互相垂直；(2)若與的長度相等，求的值(為非零的常數)．3.求向量夾角第一步，首先求出，第二步，根據夾角，求出夾角。4.計算模1、，2、求模先平方，求出平方，再開方計算。例4已知向量，向量，則的最大值是．5三點共線共線定理★高考精析★高考預測：在高考試題中，主要考查有關的基礎知識，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性質和運算法則，以及基本運算技能，考查學生掌握平面向量的和、差、數乘和數量積的運算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進行運算；第二，考察向量的坐標表示，及坐標形勢下的向量的線性運算；第三，經常和函數、曲線、數列等知識結合，考察綜合運用知識能力．在近幾年的高考中，每年都有兩道題目．其中小題以填空題或選擇題形式出現，考查了向量的性質和運算法則，數乘、數量積、共線問題與軌跡問題．大題則以向量形式為條件，綜合考查了函數、三角、數列、曲線等問題。第一課時向量的概念及線性運算重點難點聚焦重點：1．向量概念、相等向量概念、向量幾何表示；2．用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和向量與差向量；3．掌握實數與向量的積的定義、運算律、理解向量共線的充要條件。難點：1．向量概念的理解；2．向量的加法和減法的定義的理解；3．對向量共線的充要條件的理解題組設計再現題組1.對任意向量，下列命題正確的是（）．A.若滿足，且與同向，則B.C.D.若都是單位向量，則2.設是非零向量，是非零實數，則下列結論正確的是（）A.與的方向相反B.C.與的方向相同D.鞏固題組3.已知，則（）A.三點共線B.三點共線C.三點共線D.三點共線4.已知向量，是兩個非兩向量，在下列的四個條件中，能使，共線的條件是（）①且②存在相異實數使③（其中實數滿足）④已知梯形，其中A.①②B.①③C.②④D.③④提高題組5.若向量終點共線，則存在實數，且，使得反之，也成立。反饋題組6.平面向量、共線的充要條件是（）A．，方向相同B.，兩向量中至少有一個為零向量C.D.存在不全為零的實數，，，求的大值和最小值。是平面上一定點，是平面上不共線三點，動點滿足，則點的軌跡一定通過的（）外心B.垂心C.內心D.重心第二課時向量的正交分解及坐標表示新課標要求了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，理解這是應用向量解決實際問題的重要思想方法；3．理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算；4．會根據向量的坐標，判斷向量是否共線；5．掌握線段的定比分點坐標公式及線段的中點坐標公式。重點難點聚焦重點：1．平面內任一向量都可以用兩個不共線非零向量表示；2．平面向量的坐標運算；3．段的定比分點和中點坐標公式的應用難點：1．平面向量基本定理的理解；2．向量的坐標表示的理解及運算的準確性；高考分析及預策本節(jié)考點：1.平面向量基本定理；2.向量的正交分解；3.平面向量的坐標表示極坐標運算；4.兩向量共線的條件的坐標表示；5.利用共線求定比分點坐標．題組設計再現題組1．下列說法正確的是（）①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量．A.①②B.②③C.①③D.①②③2.已知點，，，，是判斷向量和的位置關系．鞏固題組3．在中，已知是中線上一點，且，則點的坐標為（）A.B.C.D.4.已知，，當為何值時，與平行？平行時，它們是同向還是反向？提高題組5．設向量，，，若表示向量的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量為（）A.B.C.D.6．如圖，已知，求線段中點和三等分點的坐標．反饋題組7．若向量與相等，已知，則的值為．8．已知點及求：⑴為何值時，在第二象限？⑵四邊形能否構成平行四邊形？若能，求出相應的值；若不能，請說明理由。第三課時數量積及其應用新課標要求1掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件重點難點聚焦重點：1．平面向量的數量積定義；2．平面向量數量積及運算規(guī)律；3．平面向量數量積的坐標表示．難點：1．平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用；2．平面向量數量積的坐標表示的綜合運用高考分析及預策本節(jié)的主要考點:兩個向量的夾角；平面向量的數量積的性質；向量數量積的運算律；用向量的坐標表示兩個向量垂直的條件；向量的長度、距離和夾角公式．題組設計再現題組1.為何值時，與垂直？2.已知，⑴求與的夾角；⑵求；⑶若，，求的面積鞏固題組3．若向量與的夾角為，，則向量的模為（）A.B.C.D.4．已知為的三個內角的對邊，向量，，若，且則角=．提高題組5．設兩個向量滿足：的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，求實數的范圍．6．已知向量且．⑴求及；⑵若的最小值是，求的值．反饋題組在中，若且，則的形狀是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．三邊均不相等的三角形8．已知向量．⑴當時，求的值；⑵求函數的值域．測試題選擇題1．已知是平面上的三個點，直線上有一點，滿足，則=（）A．B.C.D.2．設，則=（）A．B.C.D.3．已知向量，若，則等于（）A．B.C.D.4．已知兩點，點為坐標平面內的動點，滿足，則動點的軌跡方程為（）A．B.C.D.5．在中，，的面積，則與夾角的取值范圍是（）A．B.C.