2021-2022學(xué)年河北省保定市定州中山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題

2021-2022學(xué)年河北省保定市定州中山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)和的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)的反函數(shù)為，即，函數(shù)的圖象向左平移兩個(gè)單位可得，即函數(shù)的解析式為，故選B．

2.2014年巴西世界杯某項(xiàng)目參賽領(lǐng)導(dǎo)小組要從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中甲、乙只能從事前三項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有

(

) A．18種

B．36種

C．48種

D．72種參考答案：D略3.表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖．則甲得分的中位數(shù)與乙得分的中位數(shù)之和為（）A．56分 B．57分 C．58分 D．59分參考答案：B【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，先把甲、乙運(yùn)動(dòng)員得分按從小到大的順序排列，求出它們的中位數(shù)，再求和．【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得；甲運(yùn)動(dòng)員得分按從小到大的順序排列為4，14，14，24，25，31，32，35，36，36，39，45，49，∴它的中位數(shù)是32；乙運(yùn)動(dòng)員得分按從小到大的順序排列為8，12，15，18，23，25，26，32，33，34，41，∴它的中位數(shù)是25；∴32+25=57．故選：B．4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，命題：①；②；③；④；⑤．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A、1 B、2C、3D、4參考答案：B5.橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率．【分析】由橢圓C：可知其左頂點(diǎn)A1（﹣2，0），右頂點(diǎn)A2（2，0）．設(shè)P（x0，y0）（x0≠±2），代入橢圓方程可得．利用斜率計(jì)算公式可得，再利用已知給出的的范圍即可解出．【解答】解：由橢圓C：可知其左頂點(diǎn)A1（﹣2，0），右頂點(diǎn)A2（2，0）．設(shè)P（x0，y0）（x0≠±2），則，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故選B．6.設(shè)～N(0,1),且P(<1.623)=p,那么P(-1.623)的值是A

p

B

-p

C

0.5-p

D

p-0.5

參考答案：D7.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值與最大值的和為（

）A.7 B.8 C.13 D.14參考答案：D可行域如圖所示，當(dāng)動(dòng)直線過(guò)時(shí)，；當(dāng)動(dòng)直線過(guò)時(shí)，，故的最大值與最小值的和為14，選D.8.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，則對(duì)于函數(shù)的描述正確的是A.在上為減函數(shù)

B.在上為減函數(shù)C.在處取得最大值

D.在處取得最小值參考答案：B9.如圖①，一個(gè)圓錐形容器的高為，內(nèi)裝有一定量的水.如果將容器倒置，這時(shí)所形成的圓錐的高恰為(如圖②)，則圖①中的水面高度為.A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.觀察，則歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則

A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知?jiǎng)t=

。參考答案：12.已知常數(shù)θ∈(0，)，則(tanθ)>(cotθ)x–8不等式的解集是

。參考答案：x≤–2或5≤x<13.已知A(-5，6)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為B(7，-4)，則直線的方程是________.參考答案：14.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服種選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為______

參考答案：15.在下列命題中：①若向量a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則向量a、b一定不共面；③若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁?，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc．其中正確命題的個(gè)數(shù)為__________參考答案：0略16.已知拋物線方程為的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為

參考答案：417.已知x，y滿足約束條件，若z=ax+y的最大值為4，則a=．參考答案：2【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．則A（2，0），B（1，1），若z=ax+y過(guò)A時(shí)取得最大值為4，則2a=4，解得a=2，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為4，滿足條件，若z=ax+y過(guò)B時(shí)取得最大值為4，則a+1=4，解得a=3，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直線y=﹣3x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為6，不滿足條件，故a=2；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法，確定目標(biāo)函數(shù)的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(13分)為了應(yīng)對(duì)新疆暴力恐怖活動(dòng)，重慶市警方從武警訓(xùn)練基地挑選反恐警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，如果這三項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)通過(guò)即可入選.假定某基地有4名武警戰(zhàn)士（分別記為、、、）擬參加挑選，且每人能通過(guò)體能、射擊、爆破的概率分別為.這三項(xiàng)測(cè)試能否通過(guò)相互之間沒(méi)有影響．（1）求能夠入選的概率； （2）規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到5000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望（期望精確到個(gè)位）．參考答案：（I）設(shè)A通過(guò)體能、射擊、爆破分別記為事件M，N，P則能夠入選包含以下幾個(gè)互斥事件：.（Ⅱ）記表示該訓(xùn)練基地入選人數(shù)，則得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)為，又可能的取值為0，1，2，3，4.，

，，

，01234P

∴訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列為：5000100001500020000

19.已知函數(shù)f（x）=x2+alnx（a為實(shí)常數(shù)）（Ⅰ）若a=﹣2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求導(dǎo)f′（x）=2x+=（x＞0），當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．分①a≥﹣2，②﹣2e2＜a＜﹣2，③a≤﹣2e2，三種情況得到函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)性，進(jìn)而得到[f（x）]min；（3）由題意可化簡(jiǎn)得到（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為g（1）=﹣1．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（0，+∞），則f′（x）=2x﹣=（x＞0）由于f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；（2）f′（x）=2x+=（x＞0），當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非負(fù)（僅當(dāng)a=﹣2，x=1時(shí)，f′（x）=0），故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（1）=1．②若﹣2e2＜a＜﹣2，當(dāng)x=時(shí)，f′（x）=0；當(dāng)1≤x＜時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）是減函數(shù)；當(dāng)＜x≤e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．故[f（x）]min=f（）=ln（﹣）﹣．③若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（僅當(dāng)a=﹣2e2，x=e時(shí)，f'（x）=0），故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（e）=a+e2．綜上可知，當(dāng)a≥﹣2時(shí)，f（x）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣2時(shí)，f（x）的最小值為ln（﹣）﹣，相應(yīng)的x值為；當(dāng)a≤﹣2e2時(shí)，f（x）的最小值為a+e2，相應(yīng)的x值為e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），則，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，故g（x）的最小值為g（1）=﹣1，所以a的取值范圍是[﹣1，+∞）．20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)，且在處的切線方程為（1）求的解析式；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，恒有（3）證明：若且則參考答案：解（1）,切線斜率，ks5u在處的切線方程為,即

(4分)（2）令

當(dāng)時(shí)，;時(shí)，故即.（10分）（3）先求在處的切線方程，由(1)知,

略21.如右圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（1）.求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）.若點(diǎn)P到點(diǎn)M距離是到點(diǎn)N距離的