2022年上海開(kāi)元中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022年上海開(kāi)元中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，若lga1，lga2，lga4也成等差數(shù)列，a5=10，則{an}的前5項(xiàng)和S5=（）A．40 B．35 C．30 D．25參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由lga1，lga2，lga4也成等差數(shù)列，可得2lga2=lga1+lga4，因此=a1a4，又a5=10=a1+4d，聯(lián)立可得a1，d，z再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵lga1，lga2，lga4也成等差數(shù)列，∴2lga2=lga1+lga4，∴=a1a4，即=a1（a1+3d），d≠0，∴d=a1．又a5=10=a1+4d，聯(lián)立解得a1=d=2．則{an}的前5項(xiàng)和S5=×2=30，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.,,則時(shí)的值是(

)A.

B.或

C.或

D.或參考答案：D略3.已知，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略4.閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．15參考答案：D【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【專(zhuān)題】圖表型．【分析】根據(jù)所給s、i的值先執(zhí)行T=2i﹣1，s=s×T，i=i+1，然后判斷i與4的關(guān)系，滿(mǎn)足條件算法結(jié)束，不滿(mǎn)足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，從而到結(jié)論．【解答】解：因?yàn)閟=1，i=1，執(zhí)行T=2×1﹣1=1，s=1×1=1，i=1+1=2；判斷2＜4，執(zhí)行T=2×2﹣1=3，s=1×3=3，i=2+1=3；判斷3＜4，執(zhí)行T=2×3﹣1=5，s=3×5=15，i=3+1=4；此時(shí)4≥4，滿(mǎn)足條件，輸出s的值為15．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)中的直到型循環(huán)，直到型循環(huán)是先執(zhí)行后判斷，不滿(mǎn)足條件進(jìn)入循環(huán)，滿(mǎn)足條件算法結(jié)束．5.從等腰直角的斜邊上任取一點(diǎn)，則為銳角三角形的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．B．C．D．參考答案：D根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知選項(xiàng)D正確。7.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（1）對(duì)于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題（3）回歸直線(xiàn)的斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則回歸直線(xiàn)方程為=1.23x+0.08（4）m=3是直線(xiàn)（m+3）x+my﹣2=0與直線(xiàn)mx﹣6y+5=0互相垂直的充要條件；（5）若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2＜成立的概率是；（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】寫(xiě)出命題的否定判斷（1）；寫(xiě)出原命題的逆否命題并判斷真假判斷（2）；直接求出回歸直線(xiàn)方程判斷（3）；利用充分必要條件的判定方法判斷（4）；求出幾何概型的概率判斷（5）．【解答】解：（1）對(duì)于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故（1）錯(cuò)誤；（2）命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”的逆否命題是：“已知x，y∈R，若x=2且y=1，則x+y=3”是真命題，∴原命題是真命題，故（2）正確；（3）∵回歸直線(xiàn)方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，且回歸直線(xiàn)的斜率的估計(jì)值為1.23，∴5=+1.23×4，解得=0.08，∴這組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性回歸方程是=1.23x+0.08，故（3）正確；（4）由m（m+3）﹣6m=0，解得m=0或m=3，∴m=3是直線(xiàn)（m+3）x+my﹣2=0與直線(xiàn)mx﹣6y+5=0互相垂直的充分不必要條件，故（4）錯(cuò)誤；（5）如圖，a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2＜成立的概率是，故（5）錯(cuò)誤．∴正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查命題的否定和逆否命題，考查了線(xiàn)性回歸方程的求法，訓(xùn)練了幾何概型概率的求法，是中檔題．8.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)平行四邊形，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，利用體積公式得到結(jié)果．【解答】解：由三視圖知幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)平行四邊形，有兩個(gè)等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1組成的平行四邊形，四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為1，∴四棱錐的體積是．故選B．9.已知直線(xiàn)l:y=x與圓C:(x－a)2+y2=1，則“a=”是“直線(xiàn)l與圓C相切”的 （

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】計(jì)算題；作圖題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】這個(gè)幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)四棱錐組合而成，從而求兩個(gè)體積之和即可．【解答】解：這個(gè)幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)四棱錐組合而成，半個(gè)圓錐的體積為××π×1×=；四棱錐的體積為×2×2×=；故這個(gè)幾何體的體積V=；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的空間想象力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于|q|＜1（q為公比）的無(wú)窮等比數(shù)列{an}（即項(xiàng)數(shù)是無(wú)窮項(xiàng)），我們定義Sn（其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和）為它的各項(xiàng)的和，記為S，即S=Sn=，則循環(huán)小數(shù)0.的分?jǐn)?shù)形式是．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的極限．【專(zhuān)題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用S=Sn=，即可求出循環(huán)小數(shù)0.的分?jǐn)?shù)形式．【解答】解：0.=++…+==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的極限，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．12.若函數(shù)，已知，則_________．參考答案：3【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)，再代入求【詳解】因?yàn)椋裕虼斯蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

13.擲均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個(gè)投擲過(guò)程中擲出反面的次數(shù)總是小于正面次數(shù)的概率是

．參考答案：略14.某個(gè)容量為的樣本的頻率分布直方圖見(jiàn)右圖，則在區(qū)間上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)為

．參考答案：文30略15.對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義運(yùn)算，已知，則下列運(yùn)算結(jié)果為的序號(hào)為

。（填寫(xiě)所有正確結(jié)果的序號(hào)）

①②③④⑤參考答案：①③，,

得。

代入所求各式即可。16.已知cos（﹣α）=，則sin2α=．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)．【分析】先利用差角的余弦公式展開(kāi)，再兩邊平方，即可求得sin2α的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=∴cosα+sinα=兩邊平方得：（1+2sinαcosα）=∴sin2α=故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查差角的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，解題的關(guān)鍵是利用差角的余弦公式展開(kāi)，再兩邊平方．17.已知的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，則常數(shù)a的值為

．參考答案：，所以由得，從而點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．（1）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)的斜率；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（3）已知函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，x1，x2，且x1＜x2，若對(duì)任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1），易得函數(shù)在所求點(diǎn)的斜率．（2）當(dāng)f′（x）≥0，函數(shù)單增，f′（x）≤0時(shí)單減，令f′（x）=0的點(diǎn)為極值點(diǎn)．（3）由題意屬于區(qū)間[x1，x2]的點(diǎn)的函數(shù)值均大于f（1），由此計(jì)算m的范圍．解答： 解：（1）當(dāng)，故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)的斜率為1．

（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，1﹣m）1﹣m（1﹣m，1+m）1+m（1+m，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（1﹣m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．函數(shù)f（x）在x=1﹣m處取得極小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，函數(shù)f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=．

（3）由題設(shè)，，∴方程有兩個(gè)相異的實(shí)根x1，x2，故，∵m＞0解得m，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，故x2＞．①當(dāng)x1≤1＜x2時(shí)，f（1）=﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）=0，不符合題意，②當(dāng)1＜x1＜x2時(shí)，對(duì)任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，則，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值為0，于是對(duì)任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m2﹣＜0，解得，∵由上m，綜上，m的取值范圍是（，）．點(diǎn)評(píng)：本題較為復(fù)雜，主要考查了直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值問(wèn)題，注意掌握知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系．19.本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多．某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租車(chē)不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙人互相獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游（各租一車(chē)一次）．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為、；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為、；兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．（Ⅰ）分別求出甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車(chē)的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和小于6元的概率．參考答案：本小題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等概念及相關(guān)概率計(jì)算，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．解：（Ⅰ）分別記甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車(chē)為事件A、B，則，．答：甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車(chē)的概率分別為、．（Ⅱ）記甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和小于6元為事件C，則．答：甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和小于6元的概率為20.已知等比數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的遞減數(shù)列，且.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由已知等式結(jié)合通項(xiàng)公式解出公比，再結(jié)合遞減數(shù)列取舍，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）由，得，解得或.數(shù)列為遞減數(shù)列，且首項(xiàng)為，..（2），.兩式相減得，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.若數(shù)列滿(mǎn)足且，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，則可以用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.已知.（1）若是(0,+∞)上的增函數(shù)，求k的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).參考答案：(1)(2)三個(gè)零點(diǎn)【分析】(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，再證，.【詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設(shè)，，時(shí)，遞減，時(shí)，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，，一方面，，且在遞減，所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，，設(shè)，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).因此，當(dāng)時(shí)在和各有一個(gè)零點(diǎn)，將這兩個(gè)零點(diǎn)記為，，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；②當(dāng)時(shí)，遞減，則，而，故；一方面，因?yàn)?，又，且在遞增，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，根據(jù)得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有一個(gè)零點(diǎn).又，故有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．在研究函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢(shì)，得出結(jié)論．22.（本題滿(mǎn)分13分）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，并稱(chēng)數(shù)列是的控制數(shù)