2022年四川省綿陽市三臺縣西平中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年四川省綿陽市三臺縣西平中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線x﹣y+m=0與圓x2+y2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)必要不充分條件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜0 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1參考答案：C【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線和圓相交的條件求出m的取值范圍，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2=2，圓心為（1，0），半徑r=，若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則圓心到直線的距離d=，即|1+m|＜2，得﹣2＜1+m＜2，得﹣3＜m＜1，則﹣3＜m＜1的一個(gè)必要不充分條件是m＜1，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用直線和圓相交的等價(jià)條件求出m的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．2.已知向量、滿足，則的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.已知兩條不重合的直線和兩個(gè)不重合的平面有下列命題：①若，則； ②若則③若是兩條異面直線，則④若則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C略4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．πR3 D．參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可得，幾何體是一個(gè)底面半徑、高均為R的圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，即可求出幾何體的體積．【解答】解：由三視圖可得，幾何體是一個(gè)底面半徑、高均為R的圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，則V==．故選：A．5.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是（

）A.③④ B.①② C.②④ D.①③④參考答案：A【分析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤；,,則,故②錯(cuò)誤,③正確；顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).6.意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：，即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等都有著廣泛的應(yīng)用．若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2019項(xiàng)的和為（

）A.672 B.673 C.1346 D.2019參考答案：C【分析】求出已知數(shù)列除以2所得的余數(shù)，歸納可得是周期為3的周期數(shù)列，求出一個(gè)周期中三項(xiàng)和，從而可得結(jié)果.【詳解】由數(shù)列各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得為，所以是周期為3的周期數(shù)列，一個(gè)周期中三項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以?shù)列的前2019項(xiàng)的和為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，考查了遞推關(guān)系求數(shù)列各項(xiàng)的和，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)或求數(shù)列的和：（1）項(xiàng)的序號較小時(shí)，逐步遞推求出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.7.曲線y=在點(diǎn)（﹣1，1）處的切線方程為(

)A．y=2x+3 B．y=2x+1 C．y=﹣2x﹣1 D．y=﹣2x參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=﹣1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．【解答】解：y′==∴y′|x=﹣1=2而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1）∴曲線y=在點(diǎn)（﹣1，1）處的切線方程為y=2x+3．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8.命題“”的否定為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D【知識點(diǎn)】命題及其關(guān)系A(chǔ)2的否定為【思路點(diǎn)撥】根據(jù)存在量詞全稱量詞關(guān)系求得。9.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a2013+a2015=dx，則a2014（a2012+2a2014+a2016）的值為（）A．π2 B．2π C．π D．4π2參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；定積分．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】求定積分可得a2013+a2015=π，由等比數(shù)列的性質(zhì)變形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值計(jì)算可得．【解答】解：由定積分的幾何意義可得dx表示圓x2+y2=4在第一象限的圖形的面積，即四分之一圓，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016=+2a2013?a2015=（a2013+a2015）2=π2故選：A【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及定積分的求解，屬中檔題．10.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．+ B．1+ C． D．1參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)已知可得該幾何體是一個(gè)四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，分別求出它們的體積，相加可得答案．【解答】解：根據(jù)已知可得該幾何體是一個(gè)四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，四分之一圓錐的底面半徑為1，高為1，故體積為：=，三棱柱的底面是兩直角邊分別為1和2的直角三角形，高為1，故體積為：×1×2×1=1，故組合體的體積V=1+，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為

．參考答案：12.若等差數(shù)列{an}的公差為2，且a5是a2與a6的等比中項(xiàng)，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n的值等于

．參考答案：6【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】由題意可得，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得a1，結(jié)合已知公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)可求，判斷數(shù)列的單調(diào)性和正負(fù)，即可得到所求和的最小值時(shí)n的值．【解答】解：由a5是a2與a6的等比中項(xiàng)，可得a52=a2a6，由等差數(shù)列{an}的公差d為2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，an=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n=6．故答案為：6．13.已知某錐體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該錐體的體積為

．參考答案：

2略14.定義一個(gè)對應(yīng)法則．現(xiàn)有點(diǎn)與，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，按定義的對應(yīng)法則．當(dāng)點(diǎn)在線段AB上從點(diǎn)A開始運(yùn)動到點(diǎn)B結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)所經(jīng)過的路線長度為

．參考答案：15.從的映射，則的原象為

.參考答案：16.已知曲線y=3x﹣lnx，則其在點(diǎn)（1，3）處的切線方程是．參考答案：2x﹣y+1=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)（1，3）和斜率寫出切線的方程即可．【解答】解：由函數(shù)y=3x﹣lnx知y′=3﹣，把x=1代入y′得到切線的斜率k=2，則切線方程為：y﹣3=（x﹣1），2x﹣y+1=0．故答案為：2x﹣y+1=0．17.數(shù)列滿足,,是的前項(xiàng)和,則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2015?鷹潭一模）選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π），射線θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣與曲線C1交于（不包括極點(diǎn)O）三點(diǎn)A、B、C．（I）求證：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）當(dāng)φ=時(shí)，B，C兩點(diǎn)在曲線C2上，求m與α的值．參考答案：考點(diǎn)： 簡單曲線的極坐標(biāo)方程；圓的參數(shù)方程．

專題： 直線與圓．分析： （Ⅰ）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等變換化簡|OB|+|OC|為4cosφ，=|OA|，命題得證．（Ⅱ）當(dāng)φ=時(shí)，B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（2，），（2，﹣）．再把它們化為直角坐標(biāo)，根據(jù)C2是經(jīng)過點(diǎn)（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點(diǎn)B，C的直線方程為y=﹣（x﹣2），由此可得m及直線的斜率，從而求得α的值．解答： 解：（Ⅰ）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）則|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）當(dāng)φ=時(shí)，B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（2，），（2，﹣）．化為直角坐標(biāo)為B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是經(jīng)過點(diǎn)（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點(diǎn)B，C的直線方程為y=﹣（x﹣2），故直線的斜率為﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）點(diǎn)評： 本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線的傾斜角和斜率，屬于基礎(chǔ)題．19.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，.（Ⅰ）若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD平面B1C1D；（Ⅱ）若二面角B1—DC—C1的大小為60°，求AD的長.

參考答案：解析：解法一：（Ⅰ）∵，∴，又由直三棱柱性質(zhì)知，∴平面ACC1A1.∴……①由D為中點(diǎn)可知，，∴即……②由①②可知平面B1C1D，又平面B1CD，故平面平面B1C1D.

（Ⅱ）由（1）可知平面ACC1A1，如圖，在面ACC1A1內(nèi)過C1作，交CD或延長線或于E，連EB1，由三垂線定理可知為二面角B-1—DC—C1的平面角，∴

由B1C1=2知，，設(shè)AD=x，則∵的面積為1，

∴，解得，即解法二：（Ⅰ）如圖，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）.即由，得；由，得；又，∴平面B1C1D.又平面B1CD，∴平面平面B1C1D.

（Ⅱ）設(shè)AD=a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0，a），，設(shè)平面B1CD的法向量為.則由，令z=-1，得，又平面C1DC的法向量為，則由，即，故

20.班上有四位同學(xué)申請A，B，C三所大學(xué)的自主招生，若每位同學(xué)只能申請其中一所大學(xué)，且申請其中任何一所大學(xué)是等可能的．（1）求恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)的概率；（2）求申請C大學(xué)的人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）記“恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)”為事件M，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生中k次的概率計(jì)算公式能求出恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)的概率．（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）記“恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)”為事件M，則P（M）==，∴恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)的概率為．（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列為：X01234PE（X）=4×=．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．21.某手機(jī)廠商推出一次智能手機(jī)，現(xiàn)對500名該手機(jī)使用者（200名女性，300名男性）進(jìn)行調(diào)查，對手機(jī)進(jìn)行打分，打分的頻數(shù)分布表如下：（1）完成下列頻率分布直方圖，并比較女性用戶和男性用戶評分的方差大?。ú挥?jì)算具體值，給出結(jié)論即可）；（2）根據(jù)評分的不同，運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶，在這20名用戶中，從評分不低于80分的用戶中任意取3名用戶，求3名用戶評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.參考答案：（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.（Ⅱ）運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取名用戶，評分不低于分有人，其中評分小于分的人數(shù)為，從人人任取人，記評分小于分的人數(shù)為，則取值為，；；.所以的分布列為

或.22.已知，（Ⅰ）求函數(shù)（）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足，而，求BC邊上的高AD長