第4章-向量組的線性相關(guān)性

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第四章向量組的線性相關(guān)性§4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關(guān)性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間2§4.1向量組及其線性組合三維空間的向量:有向線段。建立空間直角坐標(biāo)系后，它由一點(diǎn)P或一個(gè)三元數(shù)組(x,y,z)唯一確定。

我們還定義了向量的加法(即平行四邊形法則)和向量的數(shù)乘兩種運(yùn)算。3

在建立空間直角坐標(biāo)系后，由于向量與三元數(shù)組(又稱坐標(biāo))的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。用坐標(biāo)計(jì)算向量的加法與數(shù)乘就特別方便。

由于解線性方程組等實(shí)際的需要，我們要把三維空間中的向量進(jìn)行推廣(把幾何向量代數(shù)化)。直接把n元的數(shù)組叫做(代數(shù)中的)向量，向量加法與數(shù)乘運(yùn)算的定義直接平移三維向量坐標(biāo)的運(yùn)算。4定義n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維行向量或n

維列向量,其中稱為該行(列)向量的第i個(gè)分量.行向量與列向量統(tǒng)稱為向量.

分量全是實(shí)數(shù)(復(fù)數(shù))的向量稱為實(shí)(復(fù))向量,n

維實(shí)(復(fù))向量的全體記為.以后如無特殊說明,向量均指實(shí)向量.

約定:所討論的向量如無說明均指列向量,而行向量用列向量的轉(zhuǎn)置表示.

向量的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算同矩陣的這兩種運(yùn)算一樣.或5

由若干個(gè)同維數(shù)的列(行)向量組成的集合稱為一個(gè)向量組.如無特殊說明,向量組總是指只含有限個(gè)向量的向量組.

如:m×n的矩陣A全體列向量是含n

個(gè)m維列向量的向量組,簡(jiǎn)稱A的列組;全體行向量是含m個(gè)n維的行向量組,簡(jiǎn)稱A的行組.

再如:解的全體是一個(gè)含無窮多個(gè)n維列向量的向量組.定義6觀察如圖三維空間中的向量,必有不可能7對(duì)于向量組,表達(dá)式稱為向量組A的一個(gè)線性組合.又如果是向量組A的一個(gè)線性組合,即則稱向量可由向量組A線性表示.定義8(1)向量可由向量組線性表示存在數(shù)使上面方程組有解.即有解學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)換就可以了!注意:符號(hào)混用另外,如果解唯一,則表示方法是唯一的.如果……(按定義)(轉(zhuǎn)換為方程組)(用矩陣的秩)9(2)如果向量組中的每個(gè)向量都可由向量組線性表示,則稱向量組B可由向量組A線性表示.有解(改寫為矩陣)(轉(zhuǎn)換為矩陣方程)(用矩陣的秩)一個(gè)向量組表示另一向量組就是矩陣乘法的關(guān)系!10(3)如果向量組與向量組可以相互表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).向量組A與向量組B等價(jià)(1)向量組的等價(jià)關(guān)系是不是等價(jià)關(guān)系?(用矩陣的秩)(2),A的行組與B

的行組等價(jià)嗎?關(guān)于線性表示的三種情況關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換11例1解記

問為何值時(shí),不能由A線性表示;能由A唯一表示;能由A有無窮多種表示,并求所有表示方法.設(shè)向量組A:向量只需討論解的情況.這就是P76例12.結(jié)論是時(shí),方程組無解,不能由A表示.時(shí),方程組有唯一解,可由A唯一表示.12時(shí),方程組有無窮多解,可由A無窮多種表示.通解為所有表示方法:其中k為任意實(shí)數(shù).即13例2(P87例3)

設(shè)n維向量組構(gòu)成的矩陣為

,證明n階單位矩陣E的列組可由向量組A線性表示的的充要條件是

(即A是行滿矩陣).證上述問題等價(jià)地問有沒有解.該題已經(jīng)作為例題講過了,這就是P81的第19題.14，例3向量組A與向量組B等價(jià)嗎?解法一又易知,故等價(jià).15解法二最簡(jiǎn)階形一樣(不計(jì)零行),故等價(jià).16例4(P108習(xí)題5)已知證明(1)能線性表示;(2)不能由線性表示.證如果則與條件矛盾.(2)要證(1)要證

第四章向量組的線性相關(guān)性§4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關(guān)性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間18§4.2向量組的線性相關(guān)性看看三維空間中的向量(如圖)設(shè)可表為,說明這三個(gè)向量任何一個(gè)都不能由其它兩個(gè)向量線性表示,說明它們是異面的.這三個(gè)向量在一個(gè)平面內(nèi)(共面).19

我們把上面這種向量之間的最基本的關(guān)系予以推廣,并換一種叫法.定義向量可由其余的向量線性表示,則稱該向量組線性相關(guān);否則,如果任一向量都不由其余向量線性表示,則稱該向量組線性無關(guān)(或獨(dú)立).設(shè)向量組如果其中一個(gè)

該定義不是用數(shù)學(xué)式子表達(dá)的,不便于理論推導(dǎo).如何改成數(shù)學(xué)表達(dá)式?20等價(jià)定義如果存在不全為零的數(shù)使得則稱該向量組線性相關(guān).否則,如果設(shè)便能推出則稱該向量組線性無關(guān).按后者不妨設(shè)則符合前面定義.反之,按前者不妨設(shè)又符合后者定義.等價(jià)嗎?21存在不全為零的數(shù)使即有非零解.與以前類似，還是轉(zhuǎn)換！向量組線性相關(guān)(按定義)(轉(zhuǎn)化為方程組)上面方程組有非零解.(用矩陣的秩)22(P88例5)問向量組和的線性相關(guān)性?的線性相關(guān).的線性無關(guān).例123t

取何值時(shí),下列向量組線性相關(guān)?解記當(dāng)t=5時(shí),上面向量組線性相關(guān).例224設(shè)線性無關(guān),問滿足什么時(shí),線性相關(guān).向量組:

分析:這是一個(gè)向量組表示另一向量組的問題,首先要把它改寫成矩陣乘積的形式.則例325設(shè)(要討論上面方程組何時(shí)有非零解)由于故26上面方程組有非零解當(dāng)時(shí),線性相關(guān).27另證:由于是列滿秩矩陣,故線性相關(guān)上面秩<3殊途同歸28

證明向量組線性無關(guān).證利用條件設(shè)法推出即可.設(shè)(1)

(1)式左乘得(1)式成為(2)(2)式左乘同理推出例429(參見P90定理5)(1)“部分相關(guān),則整體相關(guān).反之…”觀察知相關(guān),從而相關(guān).設(shè)要證相關(guān).使用方便的一些推論30(2)“個(gè)數(shù)大于維數(shù)必相關(guān)”A的列組是4個(gè)3維向量,必相關(guān).設(shè)要證A的列組線性相關(guān).31(3)

無關(guān),

相關(guān)則可由A

唯一表示.這由有唯一解.又說明:如果一個(gè)向量可用無關(guān)組表示,則表法必然是唯一的.為以后引用方便,給它起個(gè)名子叫唯一表示定理.32寫成矩陣乘積:從而(4)向量組B可由向量組A表示,則(后者的A,B是矩陣)存在矩陣C使得B=AC為以后引用方便,給它起個(gè)名子叫表示不等式.33(5)如果一個(gè)向量組能由向量個(gè)數(shù)比它少的向量組表示,則必相關(guān).(Steinitz定理)則必相關(guān)如果可由表示,又m>n,則B

必相關(guān).34(6)“短的無關(guān),則長(zhǎng)的也無關(guān)”.反之…是無關(guān)的.也是無關(guān)的.35(P109習(xí)題16,P110習(xí)題17)(題目看書)(16)(17)如果無關(guān),則對(duì)任一n維向量必相關(guān).從而,可由線性表示(且表法唯一).反之,單位坐標(biāo)向量可由表示,由(16)題知它是線性無關(guān)的.例6(同P87例3)36重新證P108習(xí)題5(以前已作為例題講過)見P90例7(看書)例7

第四章向量組的線性相關(guān)性§4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關(guān)性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間38§4.3

向量組的秩

對(duì)于一個(gè)給定的向量組(可以含無窮多向量),如何把握向量之間的線性關(guān)系(即哪些向量可由另外一些向量線性表示?)

希望:在一個(gè)向量組中能找到個(gè)數(shù)最少的一部分向量,其余的向量都可由這些向量線性表示.這樣的部分組要滿足什么條件？39(1)線性無關(guān),

(2)A中任意r+1個(gè)向量(如果有的話)都線性相關(guān).定義1如果在向量組A中找到r個(gè)向量滿足則稱向量組A0是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組.(P91定義5)(2)A中任一向量都可由A0表示.(P92等價(jià)定義)定義2(1)線性無關(guān),

如果在向量組A中找到r個(gè)向量滿足則稱向量組A0是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組.40定義

向量組A的最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r(顯然是唯一的)稱為向量組A

的秩.仍記為r(A).只含零向量的向量組無最大無關(guān)組,規(guī)定其秩為0.41回答:

(1)向量組的最大無關(guān)組唯一嗎?

(2)如果向量組的秩為r,則其任一

r

個(gè)線性無關(guān)的向量都是其最大無關(guān)組嗎?(3)向量組與其任一最大無關(guān)組等價(jià)嗎?(4)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組等價(jià)嗎?(5)等價(jià)向量組的秩相等嗎?42例1求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組和該向量組的秩.

同理,等也是最大無關(guān)組.在求解過程中考慮:向量組的秩與它構(gòu)成矩陣的秩有何關(guān)系?易求得說明A中有一個(gè)2階子式不為零.如取前兩列前兩行:那么,從而線性無關(guān).再看A的任意三列,因?yàn)樗匀我馊卸际蔷€性相關(guān)的.根據(jù)定義就是一個(gè)最大無關(guān)組43(P91定理6)三秩相等定理44例2求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組并把其余向量用該最大無關(guān)組表出.接例1,已求得一個(gè)最大無關(guān)組為要求用表出,這相當(dāng)于要解方程組解45你能將求最大無關(guān)組和把其余向量用該最大無關(guān)組表出一步完成嗎?類似可求用表出.解46例3(P94例11)求向量一個(gè)最無關(guān)組,并把其余向量用該最大無關(guān)組表出.矩陣的秩=線性無關(guān)嗎?是最大無關(guān)組嗎?4748再深入:則與同解即與同解說明:矩陣的初等行變換不改變列之間的線性關(guān)系.比如(移項(xiàng)便知)相關(guān)(無關(guān))相關(guān)(無關(guān))前面的做法,也可依此理論為依據(jù)(本質(zhì)一樣).49右邊的最大無關(guān)組左邊的最大無關(guān)組50

為什么以前我們把矩陣與向量組以及它們的秩混用同一符號(hào),有了三秩相等定理就能理解了.

但是,如果向量組是無窮向量組符號(hào)就不能混用了.有限向量組中的有關(guān)結(jié)論都可推廣到無窮向量組.這部分內(nèi)容請(qǐng)同學(xué)們自學(xué).見P93定理3’和P94例題10.說明:

第四章向量組的線性相關(guān)性§4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關(guān)性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間52§4.4

線性方程組解的結(jié)構(gòu)本節(jié)主要討論(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大無關(guān)組(又稱為基礎(chǔ)解系)

如何求?齊次方程組(假設(shè)有無窮多解)(1)解集的特點(diǎn)?53首先回答第一問題(P96性質(zhì)1和性質(zhì)2)記Ax=0的解集為(1)

N(A)對(duì)線性運(yùn)算封閉.證54證(2)假設(shè)是N(A)的一個(gè)最大無關(guān)組,則(取任意實(shí)數(shù))即Ax=0的通解為記設(shè),由于是N(A)的最大無關(guān)組,有常數(shù)使得從而,設(shè)即由(1)x

是解,從而55通過下面的例子,針對(duì)一般的方程組例1回答所提問題.再討論第(2)和第(3)個(gè)問題56

可知道矩陣A的秩r，又說明原方程組只有r個(gè)獨(dú)立的方程且B的前r行對(duì)應(yīng)的方程組是與原方程同解的“最簡(jiǎn)”方程組.第一步:對(duì)系數(shù)矩陣A

初等行變換化最簡(jiǎn)階梯形B最簡(jiǎn)階梯形說明了什么？第二步：寫出同解的方程組(保留第一個(gè)未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊.右邊的又叫自由變量)自由變量的個(gè)數(shù)=?n–r(未知數(shù)的個(gè)數(shù)減獨(dú)立方程的個(gè)數(shù))57第三步:令自由變量為任意實(shí)數(shù)寫出通解，再改寫成向量形式是解嗎?線性無關(guān)嗎?任一解都可由表示嗎?是基礎(chǔ)解系嗎?基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)=?n–r(自由變量的個(gè)數(shù))第四步:寫出基礎(chǔ)解系58再來分析一下基礎(chǔ)解系的由來:第二步的同解方程組為第三步的通解為就是取代入同解方程組(1)中求得然后再拼成的解向量.類似的……59這就啟發(fā)我們,由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)正好等于自由變量的個(gè)數(shù)(這里3個(gè)).只要令為三個(gè)線性無關(guān)的向量.代入同解方程組(1)中求得然后再拼成解向量.必然是線性無關(guān)的,從而也是基礎(chǔ)解系.由此得到下面的解法二.60第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基礎(chǔ)解系:第四步:寫出通解61齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理(P98定理7)齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為設(shè)一個(gè)基礎(chǔ)解系為則通解為62例2設(shè),是的兩個(gè)不同的解向量,k

取任意實(shí)數(shù),則Ax=0的通解是63例3(P101例13)設(shè),證明證記則由說明都是的解因此移項(xiàng)64例4(P101例15)證明設(shè),首先證明利用這一結(jié)論注:第二個(gè)結(jié)論決不是同理可證!證65例5(P101習(xí)題27)設(shè)A為n

階方陣,證明(1)(2)(3)證66例6(P110習(xí)題24)求一個(gè)齊次方程組,使它的基礎(chǔ)解系為記之為AB=O,這相當(dāng)于要解矩陣方程,習(xí)慣把未知的A放在右邊,轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為,則取即可.解67下面討論:非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)以下總假設(shè)有解,而其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系為這里68性質(zhì)(P102性質(zhì)3,性質(zhì)4)(1)

設(shè)都是(1)的解,則是(2)的解.(2)

設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設(shè)是(1)的一個(gè)解(固定),則對(duì)(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:69非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理設(shè)是(1)的任一解,則(1)的通解為70例7即得方程組的一個(gè)解(P102例16)解71在對(duì)應(yīng)的齊次方程中取得齊次方程組的基礎(chǔ)解系于是所有通解72設(shè)是非齊次Ax=b

的解,則是Ax=0的解是Ax=b的解例873例9設(shè)是非齊次Ax=b

的兩個(gè)不同的解其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系,則Ax=b

的通解是(多選)74例10(P111習(xí)題29)設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知是它的三個(gè)解向量,且求該方程組的通解.解取,則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)=4–3=1故非齊次方程組的通解為

第四章向量組的線性相關(guān)性§4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關(guān)性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間76§4.5

向量空間集合對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指

設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義

維向量的全體是一個(gè)向量空間,記作