概率論在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

PAGE5概率論在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用學(xué)院：班級：學(xué)號：班內(nèi)序號：姓名：概率論在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用隨著移動通信的快速大規(guī)模發(fā)展，通信領(lǐng)域所受到的門限也越來越高，所以目前，如何通過多學(xué)科間融合發(fā)展，來促進(jìn)通信這一現(xiàn)代事業(yè)向前推進(jìn)，成為了亟待解決的重中之重。而概率論與隨機(jī)過程這門數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程，更是與通信密切相關(guān)的學(xué)科之一。通信領(lǐng)域的信號處理在隨機(jī)過程方面有極大的依賴性；由于頻帶帶寬限制，如何通過概率論中的方法合理分配頻段也是今后將要考慮的重點(diǎn)。不難發(fā)現(xiàn)，概率論這門課程在通信領(lǐng)域有的極大的影響力與很強(qiáng)的重要性，因此也有人這樣總結(jié)：概率論功底達(dá)不到本科的通信就沒法學(xué)，隨機(jī)過程的功底達(dá)不到那通信方面的科研工作也沒法做。概率論在通信中主要應(yīng)用在信號學(xué)，即研究系統(tǒng)在干擾輸入信號系統(tǒng)的時候系統(tǒng)穩(wěn)定性抵抗以及利用干擾進(jìn)行信號傳播。實際系統(tǒng)的干擾信號很多時候都可以研究出來其分布，系統(tǒng)在這些干擾的作用下如何保證穩(wěn)定性，控制超調(diào)量，通過編碼的改進(jìn)控制錯誤的擴(kuò)散性等問題是很關(guān)鍵性的問題。另外有些通信方式要借助一些特定的人為干擾，例如高斯白噪聲（熱噪聲）。通信按照傳統(tǒng)的理解就是信息的傳輸。在當(dāng)今高度信息化的社會，信息和通信已成為現(xiàn)代社會的“命脈”。信息一種資源，只有通過廣泛地傳播與交流，才能產(chǎn)生利用價值，促進(jìn)社會成員之間的合作，推動社會生產(chǎn)力的發(fā)展，創(chuàng)造出巨大的經(jīng)濟(jì)效益。在通信系統(tǒng)的分析中，隨機(jī)過程是非常重要的數(shù)學(xué)工具，因為通信系統(tǒng)中的信號與噪聲都具有一定的隨機(jī)性，需要用隨機(jī)過程來描述。在自然界中，有一種現(xiàn)象，在發(fā)生之前只能知道該現(xiàn)象的各種可能性的發(fā)生結(jié)果，但是卻無法確認(rèn)具體將發(fā)生哪一個結(jié)果，這就是隨機(jī)現(xiàn)象。例如，有n臺性能完全相同的通信機(jī)，其工作條件也相同，用n部記錄儀，記錄各部通信機(jī)的輸出噪聲波形。測試的結(jié)果表明，在其中并不能找到兩個完全相同的波形。研究可以發(fā)現(xiàn)，通信機(jī)輸出的噪聲電壓隨時間的變化時不可預(yù)知的，這是一個隨機(jī)過程。而發(fā)送信號必須有一定的不可預(yù)知性，或者說隨機(jī)性，否則就失去了傳輸?shù)膬r值。另外，介入系統(tǒng)中的干擾與噪聲，信道特性的起伏，也是隨機(jī)變化的。本學(xué)期《通信電子電路》課程中接觸到的熱噪聲就是這樣的一個例子，熱噪聲是由電阻性元器件中的電子因熱運(yùn)動而產(chǎn)生的。另一個例子是在進(jìn)行移動通信時，電磁波的傳播路徑不斷變化，接收信號也是隨機(jī)變化的。因此，通信中的信源，噪聲以及信號傳輸特性都可使用隨機(jī)過程來描述。隨機(jī)過程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。隨機(jī)過程可以從兩個不同的角度來說明。一個角度是把隨機(jī)過程看成對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)果的時間過程的集合。比如在剛剛結(jié)束的模擬電子電路實驗中，利用擴(kuò)音器原理實現(xiàn)信號放大。而如果不加入外加信號，并且將示波器的分度調(diào)到最小，可以看到，示波器上顯示的波形是一個隨時間不規(guī)則變化的信號波形。由所學(xué)的原理可知，在不考慮實驗器材精密程度的前提下，這個不規(guī)則的信號很有可能就是由于系統(tǒng)內(nèi)電阻的熱噪產(chǎn)生的。另外一個角度來看，隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。換句話說，隨機(jī)過程在任意時刻的值是一個隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。這個角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述，也能更好地應(yīng)用于通信系統(tǒng)。下面，讓我們主要根據(jù)隨高斯機(jī)過程來看一看這一學(xué)科在通信領(lǐng)域的應(yīng)用。目前，高斯隨機(jī)過程被廣泛的應(yīng)用于構(gòu)建通信仿真系統(tǒng)中信號、噪聲和干擾的模型，在很多物理問題中的隨機(jī)現(xiàn)象都可以用高斯隨機(jī)過程進(jìn)行滿意的近似，如利用中心極限定理，散彈噪聲過程就是用高斯過程近似的。高斯過程最重要的用途就是模擬和分析通信系統(tǒng)中熱噪聲的影響，當(dāng)熱噪聲強(qiáng)度足夠大時，就可以掩蓋弱信號，并使系統(tǒng)對這些弱信號的識別變得極其困難。正態(tài)隨機(jī)過程，也稱高斯隨機(jī)過程，是通信領(lǐng)域中最重要也是最常見的一種過程。在實踐中觀察到的大多數(shù)噪聲都是高斯型的，例如，通信系統(tǒng)中的主要噪聲，即熱噪聲，就是一種高斯隨機(jī)過程。如果過程的任意n維（n=1,2,3……）分布均服從正態(tài)分布，剛稱它為正態(tài)過程或高斯過程。其n維正態(tài)概率刻度函數(shù)表示如下EQ\o\ac(○,1)式中：，；為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即EQ\o\ac(○,2)為行列式中元素bjk的代數(shù)余因子；bjk歸一化的協(xié)方差函數(shù)，即EQ\o\ac(○,3)通常情況下，通信信道中的噪聲均值a=0。因此，在噪聲均值為零時，噪聲的平均功率等于噪聲的方差。即有Pn=R(0)=D[n(t)]=σ2。這個結(jié)論是非常有用的，在通信系統(tǒng)的性能分析中，常常會通過求自相關(guān)函數(shù)或方差的方法來計算噪聲的功率。重要性質(zhì)：（1）由式EQ\o\ac(○,1)可以看出，高斯過程的n維分布只依賴各個隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。（2）廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因為，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時間起點(diǎn)無關(guān)，幫它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。（3）如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，即對所有，有，這時式1簡化為EQ\o\ac(○,4)這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨(dú)立的。（4）高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。以上幾個性質(zhì)在對高斯過程進(jìn)行數(shù)學(xué)處理與計算時下分有用。比如，在分析一個過程通過線性系統(tǒng)的情況時，若是非高斯過程，輸入過程的統(tǒng)計特性并不能簡單地推出輸出過程的統(tǒng)計特性。而對于高斯過程，根據(jù)輸入過程的統(tǒng)計特性并不能簡單地推出輸出過程的統(tǒng)計特性。而對于高斯過程，根據(jù)性質(zhì)（4）可知線性時不變系統(tǒng)的輸出過程也是高斯過程，又由性質(zhì)（1）可知，高斯過程的完全統(tǒng)計描述只需要它的數(shù)字特征，即均值與相關(guān)函數(shù)，所以剩下的工作就是簡單地求出輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù)。如果高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為EQ\o\ac(○,5)其中，和都分別為高斯隨機(jī)變量的均值和方差。在通信系統(tǒng)的性能分析中，常需要計算高斯隨機(jī)變量小于或等于某一取值的概率，它等于概率密度的積分。我們把正態(tài)分布的概率密度的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)，它可表示為：EQ\o\ac(○,6)這個積分無法用閉合形式計算，我們一般把這個積分式與可以在數(shù)學(xué)手冊上查出函數(shù)值的一些特殊函數(shù)聯(lián)系起來計算其值。例如，對上式進(jìn)行變量代換，令新積分變量，則有EQ\o\ac(○,7)式中表示誤差函數(shù)，其定義為，它是自變量遞增的函數(shù)，且有，，。也可以用互補(bǔ)誤差函數(shù)表示，即EQ\o\ac(○,8)式中：它是自變量遞減函數(shù)，且有，，。對于，互補(bǔ)誤差函數(shù)與高斯概率密度函數(shù)曲線尾部下面積成正比。當(dāng)x大時（實際應(yīng)用中只要），互補(bǔ)誤差函數(shù)可以近似為EQ\o\ac(○,9)另一種經(jīng)常用于表示高斯曲線尾部下的面積的函數(shù)記為Q(x)，其定義為EQ\o\ac(○,10)借助該函數(shù)可以計算概率。由以上式子我們可以得：利用互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)，不難得到Q（x）函數(shù)的性質(zhì)：，及。在今后分析通信系統(tǒng)的搞噪聲性能時，經(jīng)常會用到以上幾個特性簡明的函數(shù)，并且可以通過查Q（x）函數(shù)表或erf（x）函數(shù)表求出函數(shù)值。在沒有函數(shù)表的情況下，還可以利用誤差函數(shù)的近似公式求出函數(shù)值。以上就是高斯隨機(jī)過程的一些主要理論解釋及簡要概述其在哪方面應(yīng)用于通信領(lǐng)域。由于筆者能力有限，部分專業(yè)知識和概率更深層次的理解還不能達(dá)到一定的要求，所以只分析高斯隨機(jī)過程這一概率的基礎(chǔ)重要知識點(diǎn)的通信相關(guān)，對于其它兩門學(xué)科間的聯(lián)系與交叉，會在今后的學(xué)習(xí)中慢慢理解與體會?？偠灾?，要建構(gòu)通信系統(tǒng)隨機(jī)過程的模型以及實現(xiàn)對通信系統(tǒng)性能的評估