化工應(yīng)用數(shù)學(xué) 4第四章 量綱分析

第四章

量綱分析任課老師：程道建副教授

E-mail:chengdj@精品資料§1.單位(dānwèi)和量綱

單位：度量同一(tóngyī)物理量的大小。如長(zhǎng)度有m、cm、mm，時(shí)間有h、min、s。量綱（因次）：物理量的種類。如長(zhǎng)度用[L]，時(shí)間[T],質(zhì)量［M］，無(wú)論量的大小都用同一符號(hào)表示。量綱分析精品資料基本量綱：相互獨(dú)立的量綱，相互之間不能導(dǎo)出，而其它量的量綱可由基本量導(dǎo)出。一般取長(zhǎng)度［L］、時(shí)間(shíjiān)［T］、質(zhì)量［M］、溫度［Θ］導(dǎo)出量綱：其它物理量的量綱可由基本量綱導(dǎo)出，例如(lìrú)速度量綱［］，面積［］，壓強(qiáng)［］精品資料單位(dānwèi)、量綱、基本量綱、導(dǎo)出量綱舉例任何物理量都有量綱，基本量綱用大寫字母表示，如下表表1基本量綱每個(gè)基本量綱都有一個(gè)基本單位，該基本單位與單位制有關(guān)。下表為兩種主要單位制表2國(guó)際(guójì)單位制和英制單位基本量綱符號(hào)基本量綱符號(hào)

長(zhǎng)度物質(zhì)的量

質(zhì)量電荷

時(shí)間光照度

溫度基本量綱國(guó)際單位制(SI)英制基本量綱國(guó)際單位制(SI)英制長(zhǎng)度，米，英尺，溫度，攝氏度，或開爾文，華氏度，或蘭金溫度，質(zhì)量，千克，磅質(zhì)量，時(shí)間，秒，秒，物質(zhì)的量，摩爾，摩爾，不同單位制之間有嚴(yán)格的轉(zhuǎn)換方法去年考題：寫出任意5個(gè)基本單位及量綱精品資料為了便于描述物理量，復(fù)合單位應(yīng)運(yùn)而生，例如和。下表列出了常用前綴表3復(fù)合單位的前綴最后一種(yīzhǒnɡ)單位是導(dǎo)出單位。它是基本單位的衍生物并具有特定的名稱。如下表表4導(dǎo)出單位與量綱前綴符號(hào)乘數(shù)(數(shù)值)前綴符號(hào)乘數(shù)(數(shù)值)兆微千納厘皮毫物理量量綱SI單位物理量量綱SI單位體積壓力(=力/面積)速度加速度能量動(dòng)量()力()

(牛頓)瓦特單位、量綱(liànɡɡānɡ)、基本量綱(liànɡɡānɡ)、導(dǎo)出量綱(liànɡɡānɡ)舉例去年考題：推導(dǎo)五個(gè)導(dǎo)出單位及量綱精品資料量綱(liànɡɡānɡ)一致性:求和關(guān)系中的各量必須具有相同的量綱(liànɡɡānɡ)例：總能量=動(dòng)能+勢(shì)能(1)(2)(3)符號(hào)[=]表示“具有……的量綱(liànɡɡānɡ)”。2.求和關(guān)系中的各量必須具有相同的單位

兩條基本規(guī)則方程中各項(xiàng)可同時(shí)(tóngshí)用m、cm、mm但量綱都是［L］。去年考題：量綱一致性推導(dǎo)及無(wú)因次數(shù)群推導(dǎo)精品資料例子.鐘擺的量綱分析下面用量綱分析的方法得到鐘擺運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述(鐘擺模型如右圖)表5鐘擺參數(shù)希望利用小鐘擺模并由物理參數(shù)預(yù)測(cè)擺動(dòng)周期。我們(wǒmen)假設(shè)有下方程的形式的函數(shù)(4)或(5)由之前講到的兩條基本規(guī)則可知，上面函數(shù)的每一項(xiàng)必須為時(shí)間量綱。這就意味著式(5)應(yīng)該和質(zhì)量無(wú)關(guān)，因?yàn)闆](méi)有能消除質(zhì)量量綱的互補(bǔ)項(xiàng)！這樣，函數(shù)簡(jiǎn)化為(6)物理量符號(hào)量綱物理量符號(hào)量綱擺動(dòng)周期重力加速度鐘擺長(zhǎng)度擺幅無(wú)()鐘擺質(zhì)量精品資料如果長(zhǎng)度出現(xiàn)在式(6)中，則必須用除以消除長(zhǎng)度量綱，即(7)也就是說(shuō)，如果長(zhǎng)度出現(xiàn)在式(6)中，那么必然以的形式出現(xiàn)。這樣式(6)變?yōu)?8)又(9)

且，是無(wú)量綱的，因此(10)上式中量綱不能為函數(shù)提供任何信息。接下來(lái)，我們只需要測(cè)定不同和時(shí)鐘擺的行為了，而不需要去花費(fèi)時(shí)間考慮質(zhì)量的影響。這說(shuō)明量綱分析縮短了實(shí)驗(yàn)的進(jìn)程。而且，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析時(shí)，我們有理由相信可在固定擺幅的情況下將對(duì)作圖，這說(shuō)明量綱分析簡(jiǎn)化(jiǎnhuà)了數(shù)據(jù)分析過(guò)程。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擺幅較小時(shí)(),周期與擺幅無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)和之間為線性關(guān)系，斜率為。因此，任何擺鐘運(yùn)動(dòng)由以下簡(jiǎn)單的函數(shù)形式(11)

精品資料§2.量綱分析法量綱分析法是將物理現(xiàn)象所涉及的物理量組成無(wú)量綱綜合量。利用定理使無(wú)量綱綜合量構(gòu)成函數(shù)(hánshù)關(guān)系，該關(guān)系式反映了物理量之間的內(nèi)在規(guī)律，并使自變量的個(gè)數(shù)減到最少。精品資料無(wú)量綱綜合量：由n個(gè)物理量組合成的無(wú)量綱數(shù)稱之。用表示(biǎoshì)。例如：表示無(wú)量(wúliàng)綱綜合量，解出有理數(shù)m可得項(xiàng)。精品資料白金漢定理：設(shè)某個(gè)物理現(xiàn)象與n個(gè)物理量有關(guān)q1,q2,,qn，這n個(gè)物理量的函數(shù)關(guān)系(guānxì)為F(q1,q2,,qn)=0。若這n個(gè)物理量的基本量綱為m個(gè)，則這n個(gè)物理量可組成（n-m）個(gè)無(wú)量綱數(shù)1,2,,n-m，這些無(wú)量綱數(shù)也存在函數(shù)關(guān)系(guānxì)F(1,2,,n-m)=0。去年(qùnián)考題：無(wú)因次數(shù)群推導(dǎo)（2題，25分）精品資料例子.步行的量綱分析由于人的構(gòu)造是相似的，因此應(yīng)當(dāng)可以根據(jù)一些物理參數(shù)用量綱分析的方法(fāngfǎ)預(yù)測(cè)人的速度。通過(guò)分析，下標(biāo)列出一些可能與人的步行速度相關(guān)的物理量表6步行參數(shù)現(xiàn)在用量綱分析來(lái)指導(dǎo)步行數(shù)據(jù)的測(cè)量和分析。先回想一下鐘擺的分析思路：以上的分析過(guò)程簡(jiǎn)單直觀，但是只是針對(duì)此類簡(jiǎn)單問(wèn)題。下面介紹一種通用方法(fāngfǎ)——無(wú)量綱分析法。把式(11)寫成(12)上式就是一個(gè)無(wú)量綱的式子。參數(shù)符號(hào)量綱參數(shù)符號(hào)量綱速度重力腿長(zhǎng)步長(zhǎng)質(zhì)量量綱分析實(shí)驗(yàn)測(cè)定/數(shù)據(jù)分析精品資料一個(gè)無(wú)量綱的項(xiàng)稱為數(shù)群?，F(xiàn)在要尋找一個(gè)能夠描述步行的數(shù)群。如下(13)式中是待定參數(shù)。式(13)的量綱表達(dá)式為(14)由于必須是無(wú)量綱的，所以有(15)從上式可知，質(zhì)量對(duì)步行過(guò)程無(wú)貢獻(xiàn)()。上式剩2個(gè)方程4個(gè)未知數(shù)，有無(wú)窮的組合能滿足方程。因此必須指定一些情況。引入白金漢定律：(16)因此，在此例中。為了確定這2個(gè)無(wú)因(wúyīn)次數(shù)群，還需以下規(guī)則

無(wú)因次數(shù)(cìshù)群數(shù)目()=參數(shù)個(gè)數(shù)-量綱數(shù)目(方程數(shù)目)對(duì)于每個(gè)數(shù)群，必須選擇一個(gè)“核心變量”精品資料核心變量(biànliàng)是指出現(xiàn)在一個(gè)數(shù)群中的參數(shù)。它是一個(gè)無(wú)因次數(shù)群的核心。我們的目的是:尋找一個(gè)用無(wú)因次數(shù)群表示的函數(shù)形式。如(17)現(xiàn)在，和這兩個(gè)數(shù)群。這兩個(gè)數(shù)群分別以速度和步長(zhǎng)為核心變量(biànliàng)。:該無(wú)因次數(shù)群包含而不包含。因此的指數(shù)項(xiàng)必須為0，即。任選一數(shù)作為的指數(shù)()。故得(18)所以(19)

上式的平方就是該數(shù)群的傳統(tǒng)形式(弗勞數(shù))，且取該數(shù)群的平方不會(huì)影響分析結(jié)果。我們采用傳統(tǒng)形式，即

(20)精品資料：該無(wú)因次數(shù)群包含而不包含。同上面的分析有和。故得(21)所以(22)我們決定，將含步長(zhǎng)的無(wú)因次數(shù)群作為含速度無(wú)因次數(shù)群的函數(shù)(反過(guò)來(lái)也一樣):(23)

(24)對(duì)上式的解釋:對(duì)比步長(zhǎng)是對(duì)比速度的函數(shù)。也就是說(shuō)，平方按進(jìn)行了比例縮放，步長(zhǎng)按腿長(zhǎng)進(jìn)行了比例縮放。通過(guò)這些縮放(動(dòng)態(tài)比例縮放)，使得所有步行者都滿足式(24)——普適關(guān)聯(lián)式。也就是說(shuō)，按照同樣方法縮放步長(zhǎng)，則一個(gè)(yīɡè)8in與一個(gè)(yīɡè)6in的人，他們的步行可能是動(dòng)態(tài)相似的。對(duì)比步長(zhǎng)與對(duì)比速度之間的確定關(guān)系不能從量綱分析中得到，這需要實(shí)驗(yàn)的測(cè)定以及數(shù)據(jù)分析。例如，做的關(guān)于的圖。步行者的弗勞常數(shù)越大，則步行速度就越快。精品資料例：不可壓粘性流體在水平(shuǐpíng)直管中作定常運(yùn)動(dòng)，其壓力損失與下列因素有關(guān)，試用定理確定的規(guī)律。1）由題意假定(jiǎdìng)函數(shù)關(guān)系式：精品資料2）寫出無(wú)量(wúliàng)綱方程：取基本量綱為長(zhǎng)度［L］、時(shí)間(shíjiān)［T］質(zhì)量［M］由定理可知，可寫出(n-m)=4個(gè)無(wú)量綱量即無(wú)量綱方程為3）取獨(dú)立變量選直徑d、速度V、密度ρ為獨(dú)立變量精品資料獨(dú)立變量的量綱(liànɡɡānɡ)分別為：其它(qítā)幾個(gè)變量的量綱為：精品資料4）寫出量綱(liànɡɡānɡ)方程利用量綱和諧原理(yuánlǐ)，方程兩邊量綱應(yīng)相等解得：令：精品資料同理：精品資料令：解得：精品資料精品資料同理5）組成(zǔchénɡ)無(wú)量綱函數(shù)關(guān)系式精品資料達(dá)西公式(gōngshì)精品資料考試題目(tímù)舉例精品資料量綱分析設(shè)計(jì)工具無(wú)因次數(shù)群之間的相互關(guān)系即設(shè)計(jì)工具。前面介紹到的對(duì)比步長(zhǎng)與的關(guān)系對(duì)于機(jī)器人是一種設(shè)計(jì)工具。根據(jù)量綱分析開發(fā)設(shè)計(jì)工具的過(guò)程如下圖:無(wú)因次數(shù)群之間的關(guān)聯(lián)式很多，我們沒(méi)必要記住所有的關(guān)聯(lián)式，而重要的是，要知道如何應(yīng)用動(dòng)態(tài)相似原理(yuánlǐ)來(lái)建立新的設(shè)計(jì)工具。量綱分析及實(shí)驗(yàn)查圖設(shè)計(jì)工具(例如雷諾數(shù)和弗勞德數(shù)之間的關(guān)聯(lián)式)過(guò)程的屋里描述(如流體在管內(nèi)流動(dòng))動(dòng)態(tài)相似原理過(guò)程特征(如流體類型，管徑及管長(zhǎng))過(guò)程性能預(yù)測(cè)量綱分析工具的建立和應(yīng)用過(guò)程示意圖精品資料例子1固體球在流體中運(yùn)動(dòng)的量綱分析現(xiàn)在將量綱分析應(yīng)用于另一種現(xiàn)象:球的終端速度。例如：a.水中淤泥的沉降。泥水澄清需要多長(zhǎng)時(shí)間。b.空氣中的灰塵。公司煙囪的灰塵會(huì)落在自己公司的地界上、附近城鎮(zhèn)，還是落入海中？核冬天能持續(xù)多久？c.在流體中拖動(dòng)一個(gè)球需要什么力？在這些例子中，顆粒要么太小，要么終端速度太慢(核冬天預(yù)計(jì)可持續(xù)),這樣直接測(cè)量實(shí)際過(guò)程是不現(xiàn)實(shí)的。所以，考慮對(duì)一個(gè)方便可測(cè)的系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)定，并利用量綱分析將實(shí)驗(yàn)結(jié)果縮放到我們感興趣但又無(wú)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的實(shí)際過(guò)程。確定球在流體中的物理參數(shù)。通過(guò)分析得到如下參數(shù)表：表7球在流體中運(yùn)動(dòng)的有關(guān)參數(shù)備注1：球的密度歸結(jié)到浮力當(dāng)中了，流體的質(zhì)量(zhìliàng)歸結(jié)到流體密度當(dāng)中了。備注2：黏度量綱的計(jì)算：剪應(yīng)力/面積參數(shù)符號(hào)量綱參數(shù)符號(hào)量綱終端速度流體黏度球直徑流體密度浮力重力加速度精品資料現(xiàn)在確定這些無(wú)因次數(shù)群，任何數(shù)群都具有一般形式(xíngshì)(25)(26)同樣有，(27)根據(jù)白金漢定律:。需要選定3個(gè)核心變量。選擇核心變量的原則：a.我們想知道什么？因變量是速度。b.在實(shí)驗(yàn)中，我們打算改變哪些參數(shù)?通過(guò)分析可以選出3個(gè)核心變量，但此例中選擇傳統(tǒng)的核心變量，即，，和。下面來(lái)推導(dǎo)數(shù)群。精品資料:包含,但不包含另外兩個(gè)核心變量。同理有，和。故有(28)所以(29)即，浮力按照流體密度進(jìn)行了縮放，不妨稱為(chēnɡwéi)對(duì)比浮力。:包含,但不包含另外兩個(gè)核心變量。同理有，和。故有(30)所以(31)精品資料所以(32)上式的倒數(shù)即是弗勞德數(shù)。上式取倒數(shù)不會(huì)(bùhuì)影響分析結(jié)果，而且取倒數(shù)便于與類似的系統(tǒng)進(jìn)行分析比較，所以式(32)采用其倒數(shù)形式慣性力/重力(33)：數(shù)群包含，但不包含另兩個(gè)核心變量。同理有，和。故有(34)

所以，(35)

取上式的倒數(shù)并不會(huì)(bùhuì)影響分析結(jié)果，上式變?yōu)?/p>

(36)

精品資料式(36)也許是最著名的無(wú)因次數(shù)群——雷諾數(shù)。與上面的弗勞德數(shù)一樣，雷諾數(shù)也可以表示為兩個(gè)力之比慣性力/黏性力(37)到這里之后，量綱分析不能給我們帶來(lái)更多的東西了?，F(xiàn)在需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)(shíyàn)測(cè)定和數(shù)據(jù)分析才能得出對(duì)比浮力、弗勞德數(shù)和雷諾數(shù)之間的關(guān)系。下面直接給出相關(guān)結(jié)果:a.當(dāng)時(shí)，球體在流體中處于層流區(qū)域，函數(shù)形式為:(斯托克斯定律)(38)b.當(dāng)時(shí)，球體在流體中處于過(guò)渡流區(qū)域，函數(shù)形式為:(39)c.當(dāng)時(shí)，球體在流體中處于湍流區(qū)域，函數(shù)形式為:

(牛頓阻力定律)(40)精品資料如何運(yùn)用式(38)-(40)解決實(shí)際問(wèn)題呢？例：要計(jì)算直徑1微米(wēimǐ)的固體顆粒在50千米的高空下落到地面時(shí)所用的時(shí)間t。且

假設(shè)，該系統(tǒng)處在層流區(qū)域，即。則用式(38)來(lái)計(jì)算，即用斯科托斯定律來(lái)計(jì)算，這里直接給出速度結(jié)果(41)所以(42)現(xiàn)在計(jì)算雷諾數(shù)，可知，因此可以應(yīng)用斯科托斯定律。

根據(jù)假設(shè)的區(qū)域選擇適當(dāng)?shù)姆匠逃?jì)算出速度，并最終求出雷諾數(shù)，看是否與假設(shè)吻合假設(shè)所計(jì)算系統(tǒng)的雷諾數(shù)所處的區(qū)域精品資料例子2動(dòng)態(tài)放大—阿拉斯加管線前面實(shí)例，都是先通過(guò)量綱分析，然后實(shí)驗(yàn)，最終得出函數(shù)關(guān)系式，用函數(shù)關(guān)系式外推到量綱相似的一些現(xiàn)象。如果我們不想得到具體的函數(shù)關(guān)系，還可以采用什么方法來(lái)分析呢？我們可以通過(guò)模型體系上的一次實(shí)驗(yàn)來(lái)預(yù)測(cè)該實(shí)際體系在“這些特定條件”的行為，“這些特定條件”就是動(dòng)態(tài)相似原理告訴(ɡàosù)我們的“模型體系與實(shí)際體系無(wú)因次數(shù)群的大小必須相等”?，F(xiàn)在，我們來(lái)考察阿拉斯加輸油管線的一臺(tái)泵，如右圖所示。假定每1000m安裝一個(gè)泵，希望其流率為。問(wèn)每臺(tái)泵必須提供多大壓力?即(43)如果建立一個(gè)全尺寸的模型來(lái)測(cè)定壓力降是不現(xiàn)實(shí)的。我們來(lái)搭建一個(gè)模型裝置，僅在模型裝置上做一次實(shí)驗(yàn)。我們令模型系統(tǒng)與阿拉斯加管線系統(tǒng)的無(wú)因次數(shù)群值相等，這樣，兩個(gè)系統(tǒng)就是動(dòng)態(tài)相似的。以下是步驟：a.導(dǎo)出管內(nèi)流體流動(dòng)的無(wú)因次數(shù)群；b.令實(shí)際系統(tǒng)和模型系統(tǒng)的無(wú)因次數(shù)群相等。精品資料步驟(a1):通過(guò)分析(fēnxī)，我們得到以下參數(shù)表表8管內(nèi)流體流動(dòng)的參數(shù)步驟(a2):寫出無(wú)因次數(shù)群的通式(44)(45)所以(46)參數(shù)符號(hào)量綱參數(shù)符號(hào)量綱壓力降速度管長(zhǎng)黏度管徑密度精品資料步驟(a3):根據(jù)白金漢定律:。需要選定3個(gè)核心變量。步驟(a4):選擇與3個(gè)數(shù)群對(duì)應(yīng)的3個(gè)核心變量我們要求的一個(gè)參數(shù)。這是可以(kěyǐ)調(diào)節(jié)的一個(gè)參數(shù)。這是流體的一種性質(zhì)。正如前面介紹的一樣，選擇一套適合的核心變量是有章可循的。規(guī)則1：系統(tǒng)的所有量綱必須體現(xiàn)在核心變量中規(guī)則2：核心變量之間不能形成一個(gè)無(wú)因次數(shù)群步驟(a5):導(dǎo)出數(shù)群:包含而不包含其他兩核心變量。從而有(47)解得(48)

精品資料上式即歐拉數(shù)，它是化學(xué)工程中的一個(gè)常用數(shù)群。摩擦力/慣性力(49):包含而不包含其他的兩個(gè)核心變量(biànliàng)，從而有(50)解得(51):包含而不含其他的兩個(gè)核心變量(biànliàng)，從而有(52)精品資料解得(53)上式的倒數(shù)就是雷諾數(shù)的變形。慣性力/黏性力(54)的大小表征了流體(liútǐ)流動(dòng)的特征。雷諾數(shù)和直接導(dǎo)出的式(53)一樣都可以作為第三個(gè)無(wú)因次數(shù)群。為了方便起見，就用雷諾數(shù)作為第三個(gè)無(wú)因次數(shù)群?，F(xiàn)在，設(shè)計(jì)一個(gè)模型系統(tǒng)來(lái)預(yù)測(cè)實(shí)際系統(tǒng)的特性。為此這兩個(gè)系統(tǒng)中無(wú)因次數(shù)群的大小必須相同，即(55)這就是動(dòng)態(tài)相似性。

去年(qùnián)考題：量綱分析設(shè)計(jì)（1題，15分）精品資料現(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)室內(nèi)操作的模型裝置系統(tǒng)。通過(guò)(tōngguò)適當(dāng)大小的玻璃管內(nèi)水的流動(dòng)過(guò)程來(lái)模擬阿拉斯加管線的實(shí)際情況。先將流率轉(zhuǎn)化為SI制。(56)現(xiàn)在計(jì)算平均流速。

(57)所以平均流速為(58)該系統(tǒng)的參數(shù)見下表表9管內(nèi)流體流動(dòng)的參數(shù)流率=流速x管橫截面積參數(shù)符號(hào)阿拉斯加系統(tǒng)室內(nèi)裝置系統(tǒng)參數(shù)符號(hào)阿拉斯加系統(tǒng)室內(nèi)裝置系統(tǒng)壓力降？待測(cè)速度待計(jì)算管長(zhǎng)1000m待計(jì)算流體黏度

(油)

(水)管徑1m0.003m(內(nèi)徑)流體密度(油)

(水)精品資料如何來(lái)計(jì)算玻璃管長(zhǎng)和水的流速呢？令無(wú)因次數(shù)群相等。由來(lái)計(jì)算。(59)利用來(lái)計(jì)算(60)和都是合理的。如果其中一個(gè)結(jié)果不合理，可以選用其它(qítā)的流體或不同的管徑。精品資料現(xiàn)在，通過(guò)模型裝置系統(tǒng)來(lái)測(cè)定。在該系統(tǒng)中，應(yīng)有多大體積流？

(61)靠調(diào)節(jié)模型裝置的閥門來(lái)達(dá)到指定流率(此例中式達(dá)到式(61)指定的流率)。再在距離3m的玻璃管上鉆兩個(gè)孔，并按上垂直(chuízhí)管，通過(guò)測(cè)量?jī)纱怪?chuízhí)管中水柱的高度差來(lái)測(cè)定模型系統(tǒng)的壓力降。本例中高度差為2.9cm，轉(zhuǎn)換為SI單位有(62)現(xiàn)在使用歐拉數(shù)來(lái)求得實(shí)際系統(tǒng)中的壓力降(63)

由上可知，實(shí)際體系的壓力降可以從模型上的一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到。然而，并沒(méi)有得到函數(shù)關(guān)系。因此，如果實(shí)際系統(tǒng)任一參數(shù)發(fā)生了變化，就必須做一次新的實(shí)驗(yàn)才行。精品資料例子3流體在管內(nèi)流動(dòng)上節(jié)導(dǎo)出了流體在管內(nèi)流動(dòng)的三個(gè)數(shù)群：摩擦力/慣性力(64)

對(duì)比長(zhǎng)度(65)慣性力/黏性力(66)對(duì)于實(shí)際管道，還需要另外一個(gè)參數(shù)，即管粗糙度。粗糙度是管道材料的一種固有性質(zhì)。玻璃管比水泥排水管更光滑。管內(nèi)污垢的積累也會(huì)形成粗糙度。由于粗糙度變化很大，因此(yīncǐ)沒(méi)有一種精確的表征方法。描述粗糙度的一個(gè)靈敏參數(shù)是管壁凸出物的平均高度。為了更合理的表征粗糙度，應(yīng)該用管徑來(lái)歸一化，即。因?yàn)椋?mm的粗糙度對(duì)直徑1m的管道無(wú)足輕重()，但對(duì)直徑1cm的管子()將是重要的。在研究球體終端速度時(shí)，將兩個(gè)數(shù)群組合可以形成一個(gè)復(fù)合的無(wú)因次數(shù)群——摩擦因子(67)精品資料對(duì)流體在管內(nèi)流動(dòng)的類似分析發(fā)現(xiàn)，歐拉數(shù)與對(duì)比長(zhǎng)度也可以組合出一個(gè)稱作摩擦(mócā)因子的無(wú)因次數(shù)群。范寧摩擦(mócā)因子由下式給出(68)在高雷諾數(shù)區(qū)域，粗糙度使摩擦(mócā)因子增加，該區(qū)域是湍流。精品資料熱流體B涼流體B冷流體A溫流體A熱換器例子4流體(liútǐ)在管內(nèi)流動(dòng)傳熱在前面的很多過(guò)程設(shè)計(jì)中已經(jīng)包含換熱氣裝置了，換熱器的一般形式如下圖熱換器一般都是“管殼”式的。經(jīng)過(guò)分析，考察流體(liútǐ)在管內(nèi)流動(dòng)傳熱過(guò)程需要的參數(shù)包括前面介紹到的表(8)描述管內(nèi)流體(liútǐ)流動(dòng)的參數(shù)，同時(shí)應(yīng)包括有關(guān)傳熱有關(guān)的參數(shù)

表10管內(nèi)流體(liútǐ)流動(dòng)的傳熱參數(shù)參數(shù)符號(hào)單位(SI)量綱參數(shù)符號(hào)單位(SI)量綱傳熱速率熱容溫差導(dǎo)熱系數(shù)精品資料下面來(lái)簡(jiǎn)單解釋上表各參數(shù)。正如密度差是球體在流體中升降的推動(dòng)力一樣，溫差是傳熱的推動(dòng)力一樣，溫差是傳熱的推動(dòng)力。熱容是流體吸收熱量的能力；溫度升高是由于吸收能量造成的。導(dǎo)熱系數(shù)(xìshù)是能量的傳遞系數(shù)(xìshù)，或傳熱阻力的倒數(shù)；導(dǎo)熱系數(shù)(xìshù)高意味著傳熱阻力小。類似地，球體在流體中運(yùn)動(dòng)的阻力是流體的黏度。通常將傳熱速率與溫差和管的表面積結(jié)合起來(lái)得到傳熱系數(shù)(xìshù):(69)根據(jù)這些參數(shù)，我們可以得到4個(gè)無(wú)因次數(shù)群，其中3個(gè)為雷諾數(shù)=慣性力/黏性力(70)

斯坦頓數(shù)=傳熱的熱量/熱容量(71)

普朗特?cái)?shù)=動(dòng)量/熱通量(72)第4個(gè)無(wú)因次數(shù)群包含壓力降。然而實(shí)驗(yàn)表明，第4個(gè)無(wú)因次數(shù)群是多余的。精品資料雷諾數(shù)表示流體流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)，斯坦頓數(shù)表示熱量流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)，普朗特?cái)?shù)表征了流動(dòng)過(guò)程中被加熱物質(zhì)的性質(zhì)。給定3個(gè)無(wú)因次數(shù)群后，就可以作圖。例如，我們(wǒmen)可取(流體類型)為參量，將(傳熱動(dòng)力學(xué))對(duì)(流體流動(dòng)動(dòng)力學(xué))作圖。通過(guò)作圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，這樣就能分析出這3個(gè)無(wú)因次數(shù)群的函數(shù)關(guān)系。這里就不再贅述了。精品資料例子5氣體壓縮因子前面已經(jīng)將量綱分析應(yīng)用于換熱器設(shè)備。量綱分析還能應(yīng)用于一些基本系統(tǒng)，例如純氣體物質(zhì)。理想氣體模型(如高溫低壓氣體模型)已經(jīng)被熟知，它服從理想氣體定律。如果要擴(kuò)展到理想氣體范圍之外，就需要測(cè)量特定氣體的性質(zhì)，然后作圖分析，建立相關(guān)模型。但如果沒(méi)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，該怎么做才能建立非理想氣體模型？是否所有(suǒyǒu)氣體的行為都能用一條通用曲線表示呢？量綱分析提供了建立氣體通用曲線的基礎(chǔ)。通過(guò)