浙大寧波理工學院計量經濟學第二章一元線性回歸分析

學習內容和要求本章介紹一元線性回歸的一般方法，包括模型建立、參數估計、假設檢驗等。要求通過本章學習，掌握一元回歸模型的基本性質，一元回歸模型的運用方法。第二章一元線性回歸分析第二章一元線性回歸分析2.1一元線性回歸模型2.2總體回歸參數的最小二乘估計2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質2.4參數估計量的抽樣分布及的估計量2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度2.7無條件預測2.8一元回歸分析的EViews應用舉例第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型確定性關系：函數關系不確定性關系：回歸分析第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型2.1.1變量間的關系及種類1、確定性關系與非確定性關系確定性關系——函數關系，可以用精確的數學表達式表示。非確定性關系——統(tǒng)計關系或相關關系，變量之間具有密切聯系但又不能用函數關系精確表達的關系。計量經濟學的研究對象是非確定性的關系。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型2、相關變量間的關系相關變量：存在相關關系的變量。相關變量間的關系一般有兩種：因果關系：一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響。平行關系：它們互為因果或共同受到另外因素的影響。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型3、回歸分析根據相關關系散點圖模擬直線建立函數方程描述具有因果關系變量間的數量聯系方法表示原因的變量稱為解釋變量、獨立變量、自變量或回歸變量。表示結果的變量稱為被解釋變量、相依變量、因變量或響應變量。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型4、一元線性回歸模型的重要意義（1）現實經濟的普遍性。（2）原理和方法的基礎性。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型2.1.2一元線性回歸模型的定義模型定義：一元線性回歸模型——直線回歸的數學模型它是變量y關于變量x的一元線性回歸模型。模型解釋:y稱作被解釋變量（或相依變量、因變量、響應變量）。x稱作解釋變量（或獨立變量、自變量、回歸變量），是影響y變化的重要變量。非隨機部分隨機部分第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型Ut稱作隨機誤差項。包括除了xt以外的影響yt變化的眾多微小因素：未在模型中專門列出的影響yt變化的非重要解釋變量人的隨機行為數學模型形式欠妥歸并誤差測量誤差ut的變化是不可控的。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型β0為常數項（或截距項）。β1為斜率系數影響程度——大小反映了x影響y的程度，表示x改變一個單位，y平均改變的數量。影響方向——正負性則反映了x影響y的性質。β0和β1稱作回歸系數。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型t表示序數時間序列——當t表示時間序數時，xt和yt成為時間序列數據。非時間序列——當t表示非時間序數時，xt和yt稱為截面數據。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型模型形式可分為兩部分：非隨機部分——由x變化引起y線性變化的部分，即β0+β1xt部分。隨機部分——由其他一切隨機因素引起y發(fā)生改變的部分，即ut部分。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型2.1.3總體回歸函數與樣本回歸函數1、總體回歸函數定義：在社會經濟總體現象中，用來說明被解釋變量的平均狀態(tài)隨解釋變量變化的數量關系的函數。表示形式：E（yt）=β0+β1xt，稱作（雙變量）總體回歸函數，或線性總體回歸函數。其表明的直線被稱為總體回歸直線。確定方法：經驗第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型2、樣本回歸函數定義：根據樣本資料所做的、用以估計總體回歸方程的函數。表示方式＋函數解釋：是樣本回歸直線上相應的的估計值，可視為總體條件均值E（/）的估計值。是樣本回歸函數的截距系數是樣本回歸函數的斜率系數第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型2.1.4一元線性回歸模型的基本假定一元回歸模型確定分析成功估計參數值，取決于隨機變量u和解釋變量x的性質。待估參數無法確定可觀察得到第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型模型的基本假定（經典假定或高斯（Gauss）假設）（1）每個（t=1，2，…，n），均為服從正態(tài)分布的實隨機變量。（2）每個（t=1，2，…，n）的期望值都為0，即E（）=0。（3）所有的方差均為同一個常數——等方差假定。即，否則，稱具有異方差性。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型（4）非自相關假定。與解釋變量x不同觀測值相對應的隨機項（t=1，2，…，n）之間彼此獨立，即Cov（，）=0，t≠j。（5）隨機項與解釋變量x的任一觀測值xj不相關，即Cov（，xj）=0滿足該假設的線性回歸模型，也稱為經典線性回歸模型（classicallinearregressionmodel，CLAM）在上述假定成立條件下，有E（）=E（β0+β1xt+）=β0+β1xt，即為前述的總體回歸函數。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型一元回歸模型的特點：（1）對經濟過程的不可再現性——回歸函數E（）=β0+β1xt不能100%的再現所研究的經濟過程。（2）對經濟問題的高度抽象性——更深刻地揭示經濟問題的內在規(guī)律。第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型例題2-1令kids表示一名婦女生育孩子的數目，educ表示該婦女接受過過教育的年數，生育率對教育年數的簡單回歸模型為kids=β0+β1educ+u。（1）隨機擾動項u包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關嗎？（2）上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？第二章一元線性回歸分析

2.1一元線性回歸模型解：（1）隨機擾動項包含了收入、年齡、家庭狀況、政府的相關政策等等影響生育率的重要因素。有些影響因素可能與教育水平相關。（2）上述回歸模型不能夠揭示教育對生育率在其它條件不變下的影響。因為歸結在隨機擾動項中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關時，即出現解釋變量與隨機擾動項相關的情形。第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）總體回歸線與樣本回歸線的基本關系由于總體狀況難以獲得，需要根據樣本對總體推斷。但當采用樣本推斷總體時，存在著誤差。第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）2.2.1回歸參數的估計思想總體回歸直線E（yt）=β0+β1xt樣本回歸直線和分別是β0和β1的估計值，稱作yt的擬合值，yt與的差，即稱作回歸殘差，是對隨機誤差ut的估計。于是，可有第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）最小二乘估計（ordinaryleastsquares，OLS）準則一組樣本觀測值（xt，yt）（t=1，2，…，n），要想最好地描述y與x關系的直線，εt要盡可能地小，從而得到最優(yōu)的擬合直線。最優(yōu)的擬合直線標準“殘差和最小”標準“殘差絕對值的和最小”標準“殘差平方和最小”標準第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）2.2.2最小二乘估計（OLS）的原理與計算觀察數據散點圖：第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）最小二乘法的原理：設殘差平方和用Q表示，所謂最小二乘法，即為和滿足：按照該式求出的和，就稱為β0和β1的最小二乘估計值。第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）二元函數求極值，得到方程組：

該方程組常稱作正規(guī)方程組，整理得：第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）解之得，即第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）由此可得樣本回歸方程：下圖的殘差和擬合值是哪一部分?第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）舉例假如有某一社區(qū)家庭組成的總體，根據抽出的10戶家庭的樣本資料，據此觀察總體的可支配收入—消費支出關系。收入xt消費yt

1800594211006383140011224170011555200014086230015957260019698290020789320025851035002530單位：百元某社區(qū)居民收入—消費表第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）xtyt

1800594-1350-9731314090182250094750864000035283621100638-1050-92997587011025008637841210000407044314001122-750-44533405056250019838119600001258884417001155-450-41218558020250017007428900001334025520001408-150-1592391022500254084000000198246462300159515028414022500762529000025440257260019694504021807202025001612836760000387696182900207875051138295056250026071284100004318084932002585105010181068480110250010355101024000066822251035002530135096312995101822500926599122500006400900求和2150015674————5769300742500045900205365000029157448平均21501567——————————————普通最小二乘法計算表第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）由此，可計算出：所以，樣本回歸方程為：第二章一元線性回歸分析

2.2回歸參數的普通最小二乘估計（OLS）yx5588908011812014513514517580100120140160180200220240260課堂習題：若某一總體的隨機樣本如下，試根據該樣本資料估計總體回歸方程。第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質考察參數估計量的統(tǒng)計性質，是對據由模型估計的參數估計值的精度，能否代表總體參數的真值所做的說明?？疾炜傮w的估計量優(yōu)劣性的條件：（1）線性性：即它是否是另一隨機變量的線性函數該性質的實際意義是，參數估計量與另一隨機變量具有相同的分布。第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質（2）無偏性：即它的均值或期望值是否等于總體的真實值。該性質的實際意義是，參數估計量是以參數真實值為分布中心的隨機變量，反復抽樣估計可得真實值。（3）有效性：即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。該性質的實際意義是，與其他線性無偏估計量相比，最小二乘估計法得到的估計量有更大的可能性離真值最近。擁有這類性質的估計量稱為最佳線性無偏估計量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質對用OLS法得到的估計量和的考察1、線性即和均為隨機變量y或u的線性函數。2、無偏性指參數估計量和的均值（期望值）分別等于總體參數值和，即E（）=，E（）=。第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質3、最小方差性（有效性或最佳性）與其它的一切線性、無偏估計量比較，OLS估計量和的方差最小。高斯-馬爾可夫定理（Gauss-Markovtheorem）:若滿足E（）=0，Var（）=，那么用OLS法得到的估計量一定為最佳線性無偏估計量。

第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質舉例：若研究某公司員工的受教育水平與薪金的關系，設E為某類公司員工的薪金（元），N為所受教育水平（年），建立回歸模型E=α+βN+μ，式中隨機擾動項μ的分布未知，其他所有假定都滿足。要求：（1）從直觀及經濟角度解釋α和β。（2）OLS估計量滿足線性、無偏性、及有效性嗎？簡單陳述理由。第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質解：（1）α+βN為接受過N年教育的員工的總體平均薪金。當N為0時，平均薪金為α。α表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。β是每單位N變化所引起的E的變化，即表示多接受一年教育所對應的薪金增加值。（2）OLS估計量仍滿足線性、無偏性及有效性，因為這些性質的成立勿需隨機擾動項μ的正態(tài)分布假設（答案有問題嗎？）。第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質計量單位變化對模型參數估計量的影響舉例：在上例中，若被解釋變量員工薪金的計量單位由元改為百元，估計的截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計的截距項與斜率項有無變化？第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質解：（1）若被解釋變量度量單位變化以E*表示以百元為度量單位的薪金，則E*×100=E=α+βN+μ，可得如下新模型：E*=(α/100)+(β/100)N+(μ/100)或其中，，。新的回歸系數為原始模型回歸系數的1/100。（2）若解釋變量度量單位變化設N*為用月份表示的新員工受教育的時間長度，則N*=12N，模型為估計的截距項不變，而斜率項將為原回歸系數的1/12。第二章一元線性回歸分析

2.3參數最小二乘估計的統(tǒng)計性質思考題：在上例中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計量單位由百元改為元，估計的截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由月改為年，估計的截距項與斜率項有無變化？第二章一元線性回歸分析

2.4參數估計量的抽樣分布及的估計量參數估計量、的抽樣分布：、服從正態(tài)分布由于和均為yt的線性函數，而每個yt都服從正態(tài)分布。

和的期望值分別為，方差分別為：故和的抽樣分布為：～N～N第二章一元線性回歸分析

2.4參數估計量的抽樣分布及的估計量

的估計量：由于是未知的，為了得出和的方差，必須先給出的估計量。設為的估計，則=

其中，n表示樣本容量，2表示回歸方程中被估計參數（即和）的個數。因為是殘差，所以又稱做誤差均方。可以證明是的無偏估計量，它可用來考察觀測值對回歸直線的離散程度。第二章一元線性回歸分析

2.4參數估計量的抽樣分布及的估計量用代替，就得到了和的估計的方差，即第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計回歸模型的正確性驗證模型的函數形式變量選擇參數估計的正確性2.5.1回歸參數的t檢驗t分布：已知和都服從正態(tài)分布，且～，～，其中，第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計則統(tǒng)計量和皆服從標準正態(tài)分布。若用無偏估計量代替，有無偏估計量，t統(tǒng)計量在小樣本（一般n≤30）情況下，用無偏估計量和代替和，可得t統(tǒng)計量：

～t（n-2），～t(n-2)第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計大樣本（n>30）情況，則為Z（正態(tài)分布）統(tǒng)計量～N（0，1）～N（0，1）第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計t檢驗：在一元回歸模型中，x是否可以解釋y的變化，即解釋變量對被解釋變量是否有顯著影響?？赏ㄟ^對β1=0是否成立進行檢驗。原假設H0：β1=0；備擇假設H1：β1≠0在H0成立時，有

=～t(n-2)第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計檢驗判斷對于給定的顯著性水平α，查自由度為n-2的t分布表，得臨界值。若︱T︱＞，則拒絕H0：β1=0，接受備擇假設H1：β1≠0，表明回歸模型中因變量與自變量之間確實存在線性關系。若︱T︱＜，則接受H0：β1=0，解釋變量對因變量沒有顯著影響。第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計顯著性水平α的取值α通常取0.01或0.05。當其取0.05時，且n-2≥13時，臨界值=大體保持在2附近。若T的絕對值遠大于2，則在0.05的顯著性水平下，可認為β1顯著地異于0。第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計舉例：前述某一社區(qū)家庭組成的總體的樣本資料，據此觀察總體的可支配收入-消費支出關系，對回歸參數的檢驗為：

==

=

=13402第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計于是和的標準差的估計值分別是：===98.41===0.0425第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計T統(tǒng)計量的計算結果分別為t1===18.29t0===-1.048給定一個顯著性水平α=0.05，當n-2=8時，＞，說明解釋變量家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即通過了變量顯著性檢驗；但＜，表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設。第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計2.5.2回歸參數的區(qū)間估計置信區(qū)間：由t1=，在顯著型水平α下，可得，即[]。該范圍被稱為的置信區(qū)間。對參數的區(qū)間估計有類似的結果：。置信區(qū)間是原假設的接受域，置信區(qū)間以外的區(qū)域稱作拒絕域或臨界域，置信區(qū)間的端點稱作臨界點。第二章一元線性回歸分析

2.5回歸參數的顯著性檢驗和區(qū)間估計置信度：1-α稱為置信度。置信度和置信區(qū)間的理解給定置信系數為95%，從長遠看，每100個某種置信區(qū)間中，將有95個包含著真實的β1值，不可以說，某個特定的區(qū)間有95%的概率包含著真實的β1，因為這個區(qū)間已經固定而不再是隨機的了，那么，β1要么落入其中，要么落在其外。因此，這個給定的固定區(qū)間包含著真實的β1的概率不是1就是0。第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度檢驗回歸方程是為了驗證樣本回歸方程是否真正反映了變量y與變量x之間的統(tǒng)計規(guī)律性。2.6.1相關系數的顯著性檢驗1、相關系數的定義與性質設（xt，yt）（t=1，2，…，n）是（x，y）的n組樣本觀測值，則為x與y樣本相關系數。其中，第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度相關系數相關性質r=-1完全負相關（線性）r=0不存在線性相關r=1完全正相關（線性）0＜|r|＜1存在線性相關關系r反映了x與y之間線性相關程度大小。r絕對值的取值范圍在0與1之間，即0≤|r|≤1。相關系數的性質：第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度2、相關系數的顯著性檢驗樣本相關系數是隨機得到的，是對總體相關系數的估計，因此要進行顯著性檢驗。相關系數顯著性檢驗的步驟：（1）計算樣本相關系數r值。（2）給定顯著性水平α，查相關系數表的臨界值。（3）判定：若|r|＞，則x與y有顯著的線性關系；若|r|＜，則意味著x與y的線性關系在統(tǒng)計上不顯著。提醒：這里僅僅判斷的是x與y之間有無線性關系，即使兩者沒有線性關系，不意味著兩者之間也沒有非線性關系。第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度相關系數r與回歸系數的關系

對于同一樣本，檢驗相關系數r與回歸系數是否顯著是等價的，都可以用于判斷x與y之間有無線性關系。第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度2.6.2擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度回歸直線與樣本數據趨勢的吻合程度?，F實中沒有一條樣本回歸直線可以完全擬合樣本數據。對于同一組數據，可以擬合出不同的回歸直線。樣本決定系數或可決系數擬合優(yōu)度的高低表明了觀測點離回歸直線的遠近，常采用樣本決定系數來衡量。第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度1、總離差平方和的分解設由樣本觀測值（xt，yt）得到的樣本回歸直線為：，因變量的觀測值可分解成和之和：=+，即：-=-+對于全部觀測值求平方和，有：+2

因為=0，所以有：第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度上式可表示為：TSS=ESS+RSS總離差平方和TSS=，是因變量的觀測值與其均值的離差平方和，成為，反映了因變量波動的大小。回歸平方和ESS=，是因變量的估計值與其均值的離差平方和，反映了解釋變量的變化所引起的y的波動，是總離差中被y對x的回歸解釋的那部分。殘差平方和RSS==，是因變量的觀測值與估計值之差的平方和，反映了y的變化中不能由解釋變量x所解釋的那部分變差。第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度2、樣本決定系數的計算樣本決定系數是ESS與TSS之比，用來反映樣本回歸直線與全部觀測值之間的擬合優(yōu)度。或=1-=1-在總離差平方和TSS中，回歸平方和ESS所占比重越大，線性回歸效果越好，即回歸直線與樣本觀測值的擬合優(yōu)度越高。=第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度樣本決定系數的意義它計量了y的總變差中可以歸因于x和y之間關系的比例，或者說y的變動中可以由x的變動來解釋的比例。它測度了回歸直線對各觀察點擬合緊密程度，說明了樣本回歸直線的解釋能力。的取值范圍[0，1]擬合優(yōu)度高擬合優(yōu)度低第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度樣本決定系數和相關系數的關系由可得又知、、可得因此有

第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度舉例：以前面的可支配收入-消費支出為例，

==

==它表明模型的擬合優(yōu)度較高。因為該模型中，家庭可支配收入的離差的部分，解釋了家庭消費支出總離差的97.66%，

第二章一元線性回歸分析

2.6回歸方程的顯著性檢驗和擬合優(yōu)度3、F檢驗已知一元線性回歸方程的總變差分解式：TSS=ESS+RSS，即=+定義F統(tǒng)計量：F=

當β1=0時，F=～F（1，n-2）第二章一元線性回歸分析

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