備戰(zhàn)人教版2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題26 應(yīng)用AD=xAB+yAC解題探秘

專題26應(yīng)用解題探秘【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】高考對(duì)平面向量基本定理的考查，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查共線、垂直等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，其實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算．要特別注意基底的不唯一性-----只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個(gè)平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．1、平面向量基本定理：若平面上兩個(gè)向量不共線，則對(duì)平面上的任一向量，均存在唯一確定的.其中稱為平面向量的一組基底.，（其中），使得（1）不共線的向量即可作為一組基底表示所有的向量（2）唯一性：若且，則2、“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知三點(diǎn)共線為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量，必存在之間，使得.則當(dāng)當(dāng)，則與位于，則與位于同側(cè)，且位于與兩側(cè)時(shí)，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則，則在線段延長線上（2）已知在線段3、上，且中確定方法（1）在幾何圖形中通過三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對(duì)于向量方程，可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解【經(jīng)典例題】例1.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若(m，n∈R)，則＝()A.－3B.－C.D.3【答案】A【點(diǎn)睛】當(dāng)向量等式中的向量系數(shù)含參時(shí)，可通過對(duì)兩邊作同一向量的數(shù)量積運(yùn)算便可得到關(guān)于系數(shù)的方程.若要解出系數(shù)，則可根據(jù)字母的個(gè)數(shù)確定構(gòu)造方程的數(shù)量例2.【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+，則+的最大值為（）A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系【名師點(diǎn)睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.例3.【2019屆安徽省淮南市高三第一次（2月）模擬】已知是的重心，過點(diǎn)作直線，則的最小值是()與，交于點(diǎn)，且，，A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖三點(diǎn)共線，∵是的重心，故當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立故選D例4.【2019屆北京市朝陽區(qū)一?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,其中,則所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為()A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè),則,,,所有點(diǎn)構(gòu)成圖形如圖所示（陰影部分）,,故選.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理以及線性規(guī)劃的應(yīng)用及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.本題中，把向量問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題解答是解題的關(guān)鍵.例5.【2019年4月湖南G10教育聯(lián)盟高三聯(lián)考】平行四邊形中，，，，是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且，如，則的最大值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵，∴==故選：B．例6.【2019屆四川省雅安市三診】在直角梯形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上變動(dòng)（如圖所示）.若，其中，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系：則，，，，，即，，.∵∴∴∴故選A.例7.在中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作一直線分別交于點(diǎn)，若，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】【解析】想到“爪”字型圖，所以若要求出且的最值，則需從條件中得到的關(guān)系。由的關(guān)系轉(zhuǎn)為共線可的關(guān)系。利，其中，下面考慮將用條件中的向量關(guān)系：，所以，因?yàn)椋?，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以答案：A例8.【2017天津，文理】在中，，，.若，，且，則的值為___________.【答案】【名師點(diǎn)睛】根據(jù)平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一組基地可以表示平面內(nèi)的任一向量，利用向量的定比分點(diǎn)公式表示向量，計(jì)算數(shù)量積，選取基底很重要，本題的已知模和夾角，選作基底易于計(jì)算數(shù)量積.例9.【2019年衡水金卷調(diào)研卷三】如圖所示，已知在點(diǎn)，，則__________．中，，，交于【答案】【解析】設(shè),,即，∴，由三點(diǎn)共線，得，解得.又∴∴例10.【2019屆江西省吉安一中、九江一中等八所重點(diǎn)中學(xué)高三4月聯(lián)考】點(diǎn)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足：，，若點(diǎn)的軌跡與直線圍成封閉區(qū)域的面積為【答案】，則__________．【解析】設(shè)，，則.∵滿足：∴∴∴∴，即.為等邊三角形故答案為.點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的是三角形面積公式與向量的交匯處，屬于中檔題目.由為突破點(diǎn)，構(gòu)造出是解題的關(guān)鍵，由系數(shù)和為得出三點(diǎn)共線，可得的軌跡為直線，結(jié)合三角形面積公式即可.【精選精練】1．【2019屆遼寧省朝陽市普通高中一?！吭谥?，為，則的重心，過點(diǎn)的直線分別交（），于，兩點(diǎn)，且，A.B.C.D.【答案】A2．【2019屆河北省武邑中學(xué)高三下期中】已知在中，兩直角邊，，是內(nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)，則（）A.B.C.3D.【答案】A【解析】分析：建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由于∠DAB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），因?yàn)椤螪AB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．3．【2019屆衡水金卷】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，，設(shè)，，若，，且，則的最大值為（）A.7B.10C.8D.12【答案】B點(diǎn)睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域;(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）;(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解;(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值;注意解答本題時(shí)不要忽視斜率不存在的情形.4．【2019屆安徽省安慶市二?！吭趯?shí)數(shù)和，使得中，點(diǎn)是邊，則（）上任意一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若存在A.B.2C.2D.【答案】B又，所以，，所以.故選B.5．【2019屆北京市九中十月月考】如圖,半徑為的扇形的圓心角為,點(diǎn)在上,且,若,則()A.B.C.D.【答案】A【解析】，，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、相等向量以及平面向量基本定理，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何或者三角函數(shù)問題解答6.【2019年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三模擬】已知是邊長為1的正三角形，若點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】分析：以為原點(diǎn)，以為軸，建立坐標(biāo)系，可得，，利用配方法可得的最小值.詳解：以為原點(diǎn)，以為軸，建立坐標(biāo)系，為邊長為的正三角形，，點(diǎn)睛：本題主要考查向量的模與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則；（２）三角形法則；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與求范圍問題往往運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算來解答）.7．【2019屆衡水金卷二】已知在中，為邊上的點(diǎn)，，若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故答案?8．【2019屆四川省德陽市二診】如圖，在三角形中，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，則代數(shù)式的最小值為__________．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)共線，所以由，有又因?yàn)椤⒎謩e是邊、的中點(diǎn)，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是向量共線定理的應(yīng)用及結(jié)論“點(diǎn)”的應(yīng)用共線，由，有9．【2019屆四川省高三“聯(lián)測促改”活動(dòng)】在平面向量中有如下定理：設(shè)點(diǎn)、、、為同一平面內(nèi)的點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉栴}：如圖，在，設(shè)中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】∵三點(diǎn)共線，∴，．答案：10．【2019屆北京市北京166中高三10月考】如圖,在矩形中,點(diǎn)、分別在線段、上,且滿足,若,則___________;___________.【答案】0【解析】.，又即∴兩式相加得點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過