集合經(jīng)典習(xí)題

集合(二)高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)講座--第一講山東滕州一中王洪濤集合與集合;集合與其子集

1.集合與集合：AB,AB,AB,A∩B,A∪B,UA,……

2差集：A－B＝{x|x∈A且xB}(部分資料上用“A\B”表示)3.集合運算律：(略)4.n個元素的集合所有子集個數(shù)為：2n已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，則這樣的x的不同的值有()個

A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合M中的元素都是自然數(shù)，且如果x∈M，則8－x∈M，則滿足這樣條件的集合M的個數(shù)為()

A.64 B.32 C.16 D.83.求集合{x∈Z|≤2x＜32}的真子集個數(shù).4.已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值.一.集合與集合的運算例5．已知集合M＝{直線}，N＝{拋物線}，則M∩N中元素的個數(shù)為()

(A)0；(B)0,1，2其中之一；(C)無窮；(D)無法確定[分析]M中的元素為直線，是無限集；N中的元素為拋物線，它也是無限集。由于兩集合中的元素完全不同，即既是直線又是拋物線(曲線)的圖形根本不存在，故M∩N＝φ，選(A)[說明]若想當(dāng)然地誤認為M中的元素是直線上的點，N中的元素是拋物線上的點，當(dāng)誤認為是判斷直線與拋物線的位置關(guān)系即相交，相切、相離時，會選(B)；

例6．已知A＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈R}，B＝{y∣y＝－x2－2x＋2，x∈R}，求A∩B先看下面的解法：

解：聯(lián)立方程組

y＝x2－4x＋3①

y＝－x2－2x＋2②①－②消去y，得

2x2－2x＋1＝0③因為Δ＝(－2)2－4×2×1＝－4<0，方程③無實根，故A∩B＝φ上述解法對嗎？

[說明]上述解法對嗎？畫出兩拋物線的圖象：y＝x2－4x+3=(x-1)(x-3),開口向上，與x軸交于(1,0)、(3,0)，對稱軸為x＝2，縱截距為3；y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，開口向下，與x軸交于(－1－√3,0)、(－1＋√3,0)，對稱軸為x＝－1，觀察可知，它們確實沒有交點，但這解答對嗎？

42-2-4-5542-2-4-55回頭審視兩集合A、B，它們并不是由拋物線上的點構(gòu)成的點集。兩集合中的元素都是實數(shù)y，即當(dāng)x∈R時相應(yīng)的二次函數(shù)的函數(shù)值所組成的集合，即二次函數(shù)的值域集合。故由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3≤3，可知A＝{y∣y≥－1}，B＝{y∣y≤3}，它們的元素都是“實數(shù)”，從而有M∩N＝{y∣－1≤y≤3}你看，認清集合中元素的構(gòu)成是多么重要！二.集合與集合的包容關(guān)系在兩個集合之間的關(guān)系中，我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關(guān)系。這些關(guān)系是通過元素與集合的關(guān)系來揭示的，因而判斷兩個集合之間的關(guān)系通?？蓮呐袛嘣嘏c這兩個集合的關(guān)系入手。例7.已知集合A中有10個元素，且每個元素都是兩位整數(shù)，證明：一定存在這樣兩個A的子集，它們中沒有相同的元素，而它們的元素之和相等.證明：這10個元素的總和S＜100×10＝1000

而A的子集總共有210＝1024＞1000＞S

根據(jù)抽屜原理，至少存在兩個子集，他們的元素之和相等，記為M、N，

如果M、N沒有公共元素，則M、N就是滿足題意的子集，命題得證.

如果M、N中有公共元素，記M∩N＝Q,

考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q

則M'、N'中沒有公共元素，且M'、N'的元素之和相等，同時它們都是A的子集.

即M'、N'為所求集合.

命題成立！解：（1）

。

。例8．S1、S2、S3為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列i、j、k，若x∈

Si

y∈Sj，則x-y∈Sk(1)證明：三個集合中至少有兩個相等。

(2)三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？證明：（1）若x∈

Si

y∈Sj，則x-y∈Sk

所以每個集合中均有非負元素。當(dāng)三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立。否則，設(shè)S1、S2、S3中的最小正元素為a，不妨設(shè)a∈S1，設(shè)b為S2、S3中最小的非負元素，不妨設(shè)b∈S2則b-a∈S3。若b>0,則0≤b-a＜b，與b

的取法矛盾。所以b=0。任取x∈S1因0∈S2,

故x－0＝x∈S3。所以，同理所以S1=S2。(2)可能。例如S1=S2={奇數(shù)}，S3={偶數(shù)}顯然滿足條件，S1和S2與S3都無公共元素。例９．設(shè)S為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：①若a∈S，b∈S，則a+b∈S，ab∈S；②對任一個有理數(shù)r，三個關(guān)系r∈S，－r∈S，r＝0有且僅有一個成立。證明：S是由全體正有理數(shù)組成的集合。證明：設(shè)任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立。再由①，若r∈S，則；若－r∈S，則?？傊?，取r=1，則1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全體正整數(shù)都屬于S。設(shè)p、q∈S，由①pq∈S，又由前證知，所以

∈Ｓ。因此，Ｓ含有全體正有理數(shù)。

再由①知，0及全體負有理數(shù)不屬于Ｓ。即Ｓ是由全體正有理數(shù)組成的集合。例10.已知集合：問(1)當(dāng)a取何值時，(A∪B)∩C為含有兩個元素的集合？(2)當(dāng)a取何值時，(A∪B)∩C為含有三個元素的集合？解：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。A∩C與B∩C分別為方程組(Ⅰ)(Ⅱ)的解集。由（Ⅰ）解得（x,y）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得（x,y）=（1，0），

(1)使(A∪B)∩C恰有兩個元素的情況只有兩種可能

①②由①解得a=0；由②解得a=1。故a=0或1時，(A∪B)∩C恰有兩個元素

(2)使(A∪B)∩C恰有三個元素的情況是：

解得，故當(dāng)時，(A∪B)∩C恰有三個元素。例10.設(shè)n∈N且n≥15，A、B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=φ，且A∪B={1，2，3，…，n}。求證：A或者B中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。證明：由題設(shè)，{1，2，3，…，n}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集A、B之一。

假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的{1，2，3，…，n}的真子集A、B，使得無論是A還是B中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)。

不妨設(shè)1∈A，則3A，否則1+3=22，與假設(shè)矛盾，所以3∈B。同樣6B，所以6∈A，這時10A，，即10∈B。因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但當(dāng)15∈A時，因1∈A，1+15=42，矛盾；當(dāng)15∈B時，因10∈B，于是有10+15=52，仍然矛盾。因此假設(shè)不真。即結(jié)論成立。已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是___________________．

易得：A＝(1，3)，設(shè)要使只需f(x)、g(x)在(1，3)上的圖象均在x軸下方，其充要條件是f(1)≤0，f(3)≤0，g(1)≤0，g(3)≤0，由此推出－4≤a≤－1．三.有限集合子集的個數(shù)問題：

(1)集合{a}一共有幾個子集？

(2)集合{a，b}一共有幾個子集？

(3)集合{a,b,c}一共有幾個子集？

(4)集合{a,b,c,d}一共有幾個子集？

(5)猜想集合{a1,a2…，an}一共有幾個子集？

(6)利用上述猜想確定符合下列條件的集合M的個數(shù)：{1,2}M{1,2，3,4，5,6，7,8，9,10}。以上諸問題都牽涉到有限集合子集的個數(shù)問題。以上諸問題都牽涉到有限集合子集的個數(shù)問題。有限集合{a}的子集有:φ,{a};共兩個

有限集合{a,b}的子集有:φ,{a},,{a,b};共4＝22個；有限集合{a,b,c}的子集有:φ;{a},,{c}；{a,b},{a,c},{b,c}；{a,b,c}；8＝23個；有限集{a,b,c,d}的子集有φ:{a},,{c},t7dt5fj;{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}；｛a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d};{a,b,c,d}；共16＝24個。這里，{a,b,c,d}的子集可以分成兩部分，一部分不包括d，是{a,b,c}的子集；另一部分包括d，是{a,b,c}中每一個子集與d31vjzv的并集。

循此思路，注意到2，4＝22，8＝23，16＝24的規(guī)律，可以猜想有限集合{a1,a2…，an}的子集共有2n個，其中非空子集有2n－1個；真子集也有2n－1個，非空真子集有2n－1－1＝2n－2個。利用上述猜想，問題(6)中集合M的個數(shù)應(yīng)當(dāng)有28＝256個。例7．一個集合含有10個互不相同的兩位數(shù)。試證，這個集合必有2個無公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。分析：兩位數(shù)共有10,11，……,99，計99－9＝90個，最大的10個兩位數(shù)依次是90,91，……,99，其和為945，因此，由10個兩位數(shù)組成的任意一個集合中，其任一個子集中各元素之和都不會超過945，而它的非空子集卻有210－1＝1023個，這是解決問題的突破口。例7．一個集合含有10個互不相同的兩位數(shù)。試證，這個集合必有2個無公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。解：已知集合含有10個不同的兩位數(shù)，因它含有10個元素，故必有210＝1024個子集，其中非空子集有1023個，每一個子集內(nèi)各數(shù)之和都不超過90＋91＋…98＋99＝945<1023，根據(jù)抽屜原理，一定存在2個不同的子集，其元素之和相等。如此2個子集無公共元素，即交集為空集，則已符合題目要求；如果這2個子集有公共元素，則劃去它們的公共元素即共有的數(shù)字，可得兩個無公共元素的非空子集，其所含參數(shù)之和相等。說明：此題構(gòu)造了一個抽屜原理模型，分兩步完成，計算子集中數(shù)字之和最多有945個“抽屜”，計算非空子集得1023個“蘋果”，由此得出必有兩個子集數(shù)字之和相等。第二步考察它們有無公共元素，如無公共元素，則已符合要求；如有公共元素，則去掉相同的數(shù)字，得出無公共元素并且非空的兩個子集，滿足條件。可見，有限元素子集個數(shù)公式起了關(guān)鍵作用。例8．設(shè)A＝{1,2，3，…，n}，對xA，設(shè)x中各元素之和為Nx，求Nx的總和解：A中共有n個元素，其子集共有2n個。A中每一個元素在其非空子集中都出現(xiàn)了2n-1次，(為什么？因為A的所有子集對其中任一個元素i都可分為兩類，一類是不含i的，它們也都是{1,2，…，i-1,i+1,…n}的子集，共2n-1個；另一類是含i的，只要把i加入到剛才的2n-1個子集中的每一個中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的總和時，A中每一個元素都加了2n-1次，即出現(xiàn)了2n-1次，故得＝1×2n-1＋2×2n-1＋…＋n……2n-1

＝(1＋2＋…＋n)·2n-1=n(n+1)/2×2n-1=n(n+1)×2n-2

說明：這里運用了整體處理的思想及公式1＋2＋…＋n＝(1/2)n(n+1)，其理論依據(jù)是加法的交換律、結(jié)合律、乘法的意義等。得出集合中每一個元素都在總和中出現(xiàn)了2n-1次，是打開解題思路之門的鑰匙孔。一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點A，且OA＝a.拆疊紙片，使圓周上某一點A/剛好與A點重合，這樣的每一種拆法