數(shù)模競賽中部分幾何物理問題解析

數(shù)模競賽中部分幾何物理問題解析譚勁英14/07/181.CUMCM-1995A：一個飛行管理問題2.CUMCM-2000D：空洞探測3.CUMCM-2010A：儲油罐的變位識別與罐容表標定CUMCM-1995A：一個飛行管理問題在約10000m高空的某邊長160km的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數(shù)據(jù)，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達邊界區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與其區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應(yīng)計算如何調(diào)整各架(包括新進入的)飛機飛行的方向角，以避免碰撞?，F(xiàn)假設(shè)條件如下：1)不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8km；2)飛機飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度；3)所有飛機飛行速度均為每小時為800km；4)進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機的距離應(yīng)在60km以上；5)最多考慮6架飛機；6)不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況。請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型。列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進行計算(方向角誤差不超過0.01度)，要求飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。設(shè)該區(qū)域4個頂點坐標為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄數(shù)據(jù)為：飛機編號橫坐標x縱坐標y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入0052注：方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。初始位置：

時刻t飛機的位置：兩架飛機的距離（平方）：兩架飛機不碰撞的條件（0≤t≤Tij）Ti為第i架飛機飛出區(qū)域的時刻：不碰撞條件：不必考慮在區(qū)域外的碰撞！

兩架飛機都在區(qū)域中的時間：具體來看，第i架飛機在區(qū)域內(nèi)的時間：飛機飛出區(qū)域的時刻0i整理：fij(t)的最小值(-bij2/4+cij)；此時其中：不碰撞條件的等價表述

最后，優(yōu)化模型為fij(t)大于等于０肯定成立fij(t)大于等于０等價于fij(t)大于等于０等價于其他目標：調(diào)整后的方向角：總的調(diào)整量最?。鹤畲笳{(diào)整量最?。撼跏嘉恢门c方向角：山體隧道壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測量來確定。簡化問題可敘述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿空氣的空洞。在平板的兩個鄰邊分別等距地設(shè)置若干波源，在他們的對邊對等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個波源到達對邊上每個接收器的時間。根據(jù)彈性波在介質(zhì)和在空氣中不同的傳播速度來確定板內(nèi)空洞的位置。CUMCM-2000D：空洞探測具體問題：一塊240(米)×240(米)的平板ABCD：在AB邊等距地設(shè)置7個波源Pi(i=1,…,7)，在CD邊等距地設(shè)置7個接收器Qj(j=1,…,7)，記錄由Pi發(fā)出的彈性波到達Qj的時間tij(秒)；在AD邊等距地設(shè)置7個波源Ri(i=1,…,7)，在BC邊等距地設(shè)置7個接收器Sj(j=1,…,7)，記錄由Ri發(fā)出的彈性波到達Sj的時間τij(秒)。已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880(米/秒)和320(米/秒)，且彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。P2Q4R3S6TP=(tij)tijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P1

.0611.0895.1996.2032.4181.4923.5646P2.0989.0592.4413.4318.4770.5242.3805P3.3052.4131.0598.4153.4156.3563.1919P4.3221.4453.4040.0738.1789.0740.2122P5.3490.4529.2263.1917.0839.1768.1810P6.3807.3177.2364.3064.2217.0939.1031P7.4311.3397.3566.1954.0760.0688.1042TR=(τij)τijS1S2S3S4S5S6S7R1

.0645.0602.0813.3516.3867.4314.5721R2.0753.0700.2852.4341.3491.4800.4980R3.3456.3205.0974.4093.4240.4540.3112R4.3655.3289.4247.1007.3249.2134.1017R5.3165.2509.3214.3256.0904.1874.2130R6.2749.3891.5895.3016.2058.0841.0706R7.4434.4919.3904.0786.0709.0914.0583要求：(1)確定該平面內(nèi)空洞的位置。(2)只根據(jù)Pi發(fā)出的彈性波到達Qj的時間tij能確定空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接收器的方法。分析：彈性波沿平板邊緣的理論傳播時間：t=240/2880=0.0833(秒)彈性波沿平板邊緣的實際傳播時間：t11=.0611,t77=.1042,

τ11=.0645,τ77=.0583題目中已假設(shè)“彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同”。觀測數(shù)據(jù)的最大絕對誤差為d=0.025秒?？梢哉J為，0.025*320=8(米）以下的空洞是探測不出的。假設(shè)1.觀測數(shù)據(jù)有測量誤差。觀測數(shù)據(jù)除測量誤差外是可靠的。2.

波在傳播過程中沿直線單向傳播，且不考慮波的反射、折射以及干涉等現(xiàn)象。3.空氣密度和介質(zhì)密度都均勻。4.“彈性波”在傳播過程中沒有能量損失。其波速僅與介質(zhì)有關(guān)，且在同一均勻介質(zhì)中波速不變。彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。5.假設(shè)平板可劃分化為網(wǎng)格，空洞定位于每個網(wǎng)格單元內(nèi)，空洞大小大致相同。波線與網(wǎng)格交線長度的計算(k,l)記波源Pi與接收器Qj決定的波線與每個單元（k，l）的交線長度為bijkl

i=j時，123456654321PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)左邊緣直線方程x=40(k-1)波線與單元(k,l)左邊緣對應(yīng)交點的y坐標為y1ijkl=240(k-i)/(j-i)，其中l(wèi)-1≤6(k-i)/(j-i)≤l

(k,l)波線與網(wǎng)格交線長度的計算PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)右邊緣直線方程x=40k波線與單元(k,l)右邊緣對應(yīng)交點的y坐標為y2ijkl=240(k+1-i)/(j-i)，其中l(wèi)-1≤6(k+1-i)/(j-i)≤l

(k,l)波線與網(wǎng)格交線長度的計算PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)下邊緣直線方程y=40(l-1)波線與單元(k,l)下邊緣對應(yīng)交點的y坐標為y3ijkl=40(l-1)，其中0≤6(i-k)-(i-j)(l-1)≤6(k,l)波線與網(wǎng)格交線長度的計算PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)上邊緣直線方程y=40l波線與單元(k,l)上邊緣對應(yīng)交點的y坐標為y4ijkl=40l，其中0≤6(i-k)-(i-j)l≤6(k,l)波線與網(wǎng)格交線長度的計算交線在y軸的投影長度(交點條件最多只有2個成立)i=j以外的情況dyijkl=max(y1ijkl,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)-min(y1ijkl,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)由相似三角形關(guān)系QjABCDPiRiSjPjdyijkl(k,l)bijklEFGbijkl=aijdyijkl/240i=j也成立波線與網(wǎng)格交線長度的計算由對稱性，RiSj與單元(k,l)的交線長度ci,j,k,l=bj,i,l,7-k波線與網(wǎng)格交線長度的計算參量、變量：xkl：單元(k,l)是否為空洞(1：是；0：否)aij：波源Pi與接收器Qj，或Ri與Sj之間的距離Pij：經(jīng)過介質(zhì)的長度,qij經(jīng)過空氣的長度tij(同樣ij):傳播時間觀測值優(yōu)化模型（擬合／回歸）若沒有誤差：tij=pij/v1+qij/v2同理：模型：優(yōu)化模型（擬合／回歸）計算結(jié)果空洞X(P2,Q2)1X(P2,Q3)1X(P2,Q5)1X(P3,Q2)1X(P3,Q3)1X(P3,Q4)1X(P4,Q4)1X(P5,Q3)1

通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。CUMCM-2010A：儲油罐的變位識別與罐容表標定圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖。圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。附件1：小橢圓儲油罐的實驗數(shù)據(jù)（略）附件2：實際儲油罐的檢測數(shù)據(jù)（略）問題分析該問題是來自于加油站設(shè)備研究生產(chǎn)企業(yè)的一個實際課題，問題由兩大部分組成：第一部分：為了了解罐體變位對罐容表的影響，對于小橢圓形儲油罐（實驗罐），在已知變位參數(shù)的情況下，檢測出油位高度與油量的對應(yīng)數(shù)值，要求建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表。這一部分屬于“正問題”。具體而言，第一部分有以下幾個問題要完成。（1）對于小橢圓形實驗罐，要給出它在無變位情形下油位高度與儲油量的計算公式（模型）。（2）對于小橢圓形實驗罐，要給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲油量計算的修正模型。這里需要考慮罐體兩端有油/無油的不同情況。

（3）對于（2）得到的實驗罐在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲油量的模型，將變位參數(shù)代入計算，得出修正后的油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。并與原標定值比較，分析罐體變位的影響。第二部分：根據(jù)實際檢測數(shù)據(jù)，識別實際儲油罐罐體是如何變位的，估計出變位參數(shù)，給出實際罐罐容表的修正標定方法和結(jié)果。并分析檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性和方法的可靠性。這一部分屬于“反問題”。（4）對于實際儲油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲油量V與油位高度h及縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系模型，即的關(guān)系模型。具體而言，第二部分有以下幾個問題要完成。這一問要根據(jù)油位高度分別考慮兩端有油或一端有油的情況，同時考慮偏轉(zhuǎn)情況，所以，具體的解析表達式可能會比較復(fù)雜。由于實際罐內(nèi)油量初值未知，所以，罐內(nèi)對應(yīng)于某一油位高度的儲油量準確值未知。因此，不能由（4）求出的表達式解出和。（5）根據(jù)附件2的檢測數(shù)據(jù)，估計實際儲油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。所以，這一問要給出估計參數(shù)和的準則，然后再進行估計。（6）根據(jù)（4）得到模型和參數(shù)估計值和，給出罐體變位后油位高度h間隔為10cm的罐容表標定值。（7）利用附件2的實際檢測數(shù)據(jù)，分析檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性和方法的可靠性。解題思路

（1）對于小橢圓形實驗罐，給出它在無變位情形下油位高度與儲油量的計算公式（模型）。xyOhab利用積分可以計算出油位高度為h時實驗罐的截面面積，于是得到油位高度與儲油量的計算公式：其中a，b，L分別是實驗罐截面橢圓的長半軸、短半軸和罐體長度，h為油位高度。這個計算公式也可以從相關(guān)文獻中查到。將實驗罐的實際參數(shù)代入計算，容易得到實驗罐無變位情形的正常罐容表。

（2）對于小橢圓形實驗罐，給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲油量計算的修正模型。

油面下降到Ⅰ區(qū)時，油浮顯示油位高度總是0，不隨實際油量的變化而變化，無需要考慮油面在I區(qū)內(nèi)油量的計算公式。同理，當油位高度上升到Ⅴ區(qū)時，由于油浮顯示油位高度總是2b，也無需考慮油面在Ⅴ區(qū)內(nèi)的油量計算公式。2b

因而，只需討論油面分別處于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三個區(qū)域內(nèi)時，儲油量與油位高度、油罐縱向傾角的關(guān)系表達式。當油面分別處于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三個區(qū)域內(nèi)，計算儲油量的截面面積沿x軸積分，可分別得到當h處于不同高度時儲油量的計算公式：其中，l為探針到左側(cè)面的距離。

（3）將變位參數(shù)代入上述公式計算，得出修正后的油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。罐體變位后高度間隔為10cm的罐容表標定值油面高度油的容量油面高度油的容量油面高度油的容量1070.13501371.88903072.4320281.86601798.521003450.7230595.25702232.501103776.6440965.66802661.421204012.75

進一步，與正常的標定值比較分析可知，實驗罐在縱向傾斜變位情形，實際油量與原標定值的最大誤差在257L以上，平均誤差達190L以上，平均相對誤差達到30%以上。（4）對于實際儲油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲油量V與油位高度h及縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系模型，即。由于本問較復(fù)雜，需要分情況建立模型，可以先考慮只發(fā)生縱向變位的情況。其中球冠Ⅰ的體積表達式為：其中球冠III的體積表達式為：其中圓柱體II的體積表達式為：在不考慮罐體橫向變位的情況下（即），儲油罐的體積與輔助變量的關(guān)系表達式為：在不考慮橫向變位的情況下（即），儲油罐的油位高

與輔助變量的關(guān)系表達式為：根據(jù)以上與的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就可以得到罐體內(nèi)油量與油位高及縱向傾斜角的關(guān)系表達式進一步，考慮罐體在產(chǎn)生縱向變位的基礎(chǔ)上，又產(chǎn)生了橫向變位，此時罐體的位置如下圖：由于罐體只產(chǎn)生縱向變位時油位高度與儲油量

的對應(yīng)關(guān)系已得到，再根據(jù)上面推導(dǎo)出的與同時發(fā)生縱向和橫向變位時油位高h，就可以求出一般情況下，即罐體同時產(chǎn)生縱向和橫向變位的油位高h與儲油量V之間的關(guān)系模型。未產(chǎn)生橫向變位時油位高與產(chǎn)生橫向變位后油位高h之間滿足如下關(guān)系：（5）根據(jù)附件2的檢測數(shù)據(jù)，估計實際儲油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。根據(jù)附件2數(shù)據(jù)可以得到不同時刻的出油量，同時可以計算對應(yīng)的油位改變量。這一問就可以歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題：根據(jù)前一問的模型表達式，可以得到理論上儲油量的改變量?；蚶酶郊?的部分數(shù)據(jù)（例如前半部分），借助軟件和各種數(shù)值方法可以估計出實際儲油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。事實上，儲油量對橫向偏轉(zhuǎn)變位角不敏感。如果經(jīng)分析說明了這一點，這一問也可以直接考慮縱向變位的單參數(shù)估計問題。具體的估計值依所用的計算方法不同而有差別，一般地，（6）根據(jù)模型和前一問得到的參數(shù)估計值和，就可以給出罐體變位后的罐容表標定值。