數(shù)字通信3李興明

Chapter5

載波和符號同步2基本概念為什么要進行載波和符號同步?接收機同步抽樣的需要。必須從接收信號中導出符號定時；相干檢測的需要。接收機必須估計載波相位的偏移。精確相位估計的重要性:例：考查DSB-SC信號接收機參考載波低通濾波器輸出：相位誤差的影響：10o→功率損失0.13dB30o→功率損失1.25dB以因子降低信號電壓以因子降低信號功率3例：QAM和M-PSK信號解調(diào)的情況發(fā)送信號：正交載波：解調(diào)后：（經(jīng)低通濾波器處理后）同相分量正交分量結(jié)論：在QAM和M-PSK中，相位誤差的影響比PAM信號嚴重；不僅使信號功率減少因子 ，而且同相和正交分量之間存在著交互干擾?；靖拍?載波和符號同步中要估計的信號參數(shù)發(fā)送信號接收信號傳播延遲引起的載波相位實際中，為了解調(diào)和相干檢測，必須估計兩個參數(shù)：τ，信號經(jīng)過高斯噪聲信道，并產(chǎn)生的延遲。接收信號：

,令代表向量則： 信號參數(shù)估計除了受的影響外，還要受到其他因素的影響！5估計方法：兩個基本準則最大似然ML準則最大后驗概率MAP準則使后驗概率密度函數(shù)最大均勻分布時：最大最大對應于基于接收向量r的聯(lián)合PDFP(r|

)，求使其最大的。兩者之間的關系：兩種準則是等價的。下面我們主要討論ML準則。信號參數(shù)估計6如何獲得似然函數(shù),并導出參數(shù)估計值?

（兩條途徑）信號參數(shù)估計由r(t)的展開式根據(jù)r(t)展開式隨機變量[r1,r2,…rN]的聯(lián)合PDF來導出；直接處理接收信號波形，從P(r|

)的連續(xù)時間等效形式中導出.接收信號：向量表示：其中：n：零均值高斯白噪聲r的聯(lián)合PDF:指數(shù)項的自變量：（連續(xù)化）7似然函數(shù)最大最大似然函數(shù)等價于定義：信號參數(shù)估計P(r|

)

關于信號參數(shù)的最大化問題：后面將根據(jù)(

)最大的觀點研究參數(shù)估計。估計的參數(shù)為：→{,}8幾種具體的接收機結(jié)構(gòu)二進制PSK（或二進制PAM）載波相位估計值用來給相關器產(chǎn)生參考信號符號同步器控制抽樣器和信號脈沖發(fā)生器的輸出若信號脈沖是矩形波，信號發(fā)生器可以略去信號參數(shù)估計在數(shù)字通信系統(tǒng)中：同步地傳輸信息——符號同步進行相干檢測——載波恢復9M元PSK接收機的方框圖用兩個相關器使接收信號與兩個正交載波相關檢測器是一個相位檢測器，它將接收信號相位與可能的發(fā)送信號相位進行比較。信號參數(shù)估計10PAM接收機的方框圖用了一個相關器；檢測器是一個幅度檢測器，它將接收信號的幅度與可能的發(fā)送信號的幅度進行比較；自動增益控制（AGC）用于消除信道增益的變化。信號參數(shù)估計11QAM接收機的方框圖類似PSK解調(diào)器，產(chǎn)生同相和正交信號樣值X,Y給檢測器；檢測器計算接收信號點與M個可能發(fā)送信號點之間的歐氏距離，并選擇最接近接收點的信號；自動增益控制（AGC）用于消除信道增益的變化信號參數(shù)估計125.2載波的相位估計13解決載波同步的兩種方法直接法：載波相位估計復用法：直接從已調(diào)信號中導出載波相位的估計值。

發(fā)送導頻信號（未調(diào)載波分量），接收機用鎖相環(huán)獲取并跟蹤這個載波分量。14對數(shù)似然函數(shù)：最大最大等價于載波相位估計最大似然載波相位估計為簡單起見，令似然函數(shù)：ML估計值就是使取最大的值不包含信號能量(對任何）最大似然準則：只有該項依賴于的選擇15例：未調(diào)載波信號（導頻信號）：接收信號采用一個環(huán)路（鎖相環(huán)PLL）提取估計值.對數(shù)似然函數(shù)：另一種實現(xiàn)：實現(xiàn)方法：載波相位估計PLL提供了一個未調(diào)載波相位的ML估計值16另一種實現(xiàn)方法

——用正交載波與r(t)互相關。載波相位估計該估計方案直接產(chǎn)生了17載波相位估計組成：乘法器、環(huán)路濾波器、壓控振蕩器輸入信號：VCO輸出：乘法器輸出：環(huán)路濾波器（低通）傳遞函數(shù)：VCO瞬時相位：鎖相環(huán)PLL濾除高頻分量環(huán)路濾波器的輸出為VCO提供控制電壓v(t)v(t)e(t)就是的估計值產(chǎn)生正弦信號，實質(zhì)上是一個正弦信號發(fā)生器18PLL簡化標準式：：臨界阻尼：過阻尼：欠阻尼環(huán)路等效噪聲帶寬：PLL閉環(huán)傳遞函數(shù)：載波相位估計進一步，考慮：輸入信號與VCO輸出相乘，忽略倍頻項（線性化）環(huán)路阻尼因子：環(huán)路自然頻率：二階環(huán)路的頻率響應載波相位估計19：臨界阻尼：過阻尼：欠阻尼20假設PLL跟蹤一個正弦信號：加性噪聲：環(huán)路濾波器的輸入：加性噪聲對相位估計的影響假定噪聲的同相和正交分量統(tǒng)計獨立，是平穩(wěn)高斯過程（VCO的輸出乘以s(t)+n(t)，略去倍頻項）載波相位估計其中：21具有加性噪聲的PLL的等效模型：線性化處理載波相位估計當輸入信號功率比噪聲功率大很多時：進一步，將增益參數(shù)Ac歸一化處理（同乘于1/Ac），則噪聲項n1(t)變?yōu)椋簄2(t)：加性高斯變量，零均值，功率譜密度22：信噪比SNR等效帶寬內(nèi)的噪聲功率信號功率討論：SNR足夠大時，上述結(jié)果適用于PLL線性模型的情況；當G(s)=1時，即一階環(huán)路時，可采用精確分析（不必對PLL線性近似）得到

的PDF：精確值與線性模型的比較當>3時，線性模型的方差很接近精確模型的方差。載波相位估計相位誤差的方差，即VCO輸出相位的方差：一階PLL相位誤差方差的精確值235.2載波的相位估計——面向判決環(huán)與非面向判決環(huán)24

前面研究的是載波信號未調(diào)制時的相位估計，下面研究信號s(t,)

攜帶信息序列

{In}時的相位估計將{In}作為已知項來處理?！嫦蚺袥Q環(huán)兩種方法：將{In}作為隨機序列，并在其統(tǒng)計上求平均

——非面向判決環(huán)問題：如何處理信息序列{In}

？在求()時:面向判決環(huán)假定在觀測區(qū)間上信息序列已經(jīng)估計出來，并且無解調(diào)差錯25（考查信息序列采用線性調(diào)制的情況）接收信號：等效低通信號的似然函數(shù)：對數(shù)似然函數(shù)：yn：第n個信號間隔中匹配濾波器輸出觀測期間：T0=kT其中：面向判決環(huán)（等效低通信號表示）面向判決環(huán)帶通與等效低通的關系：26對數(shù)似然函數(shù)：稱為面向判決的載波相位估計（判決反饋）幾種特例：1.雙邊帶PAM信號接收機依據(jù)上式的實現(xiàn)方式面向判決環(huán)g(t-nT)r(t)27另一種實現(xiàn)方式：采用判決反饋PLL（DFPLL）接收信號A(t)濾去倍頻項，期望的分量是面向判決環(huán)延遲T秒以允許解調(diào)器達到一個判決282.QAM依據(jù)式:面向判決環(huán)r(t)yn(t)In*293.DFPLL的M元PSK解調(diào)后的相位估計值：上邊路：下邊路：誤差信號：（環(huán)路濾波器的輸入信號）上邊路下邊路相位估計值面向判決環(huán)下邊路r(t)=s(t)+n(t)s(t)=A(t)cos(2fct+m+)303.DFPLL的M元PSK上邊路下邊路

形成e(t)時，由于兩個正交噪聲分量呈現(xiàn)為加性項，因此不存在附加的功率損失。特點：CPM信號的載波相位恢復也可以采用PLL，以面向判決方式來實現(xiàn)。相位估計值面向判決環(huán)31非面向判決環(huán)思想：將數(shù)據(jù)序列{In}處理為隨機變量，并在最大化前將()對這些隨機變量求平均。例1：二進制調(diào)制信號：A=±1且等概，A的PDF：求平均需要用到數(shù)據(jù)的概率分布，如何得到？當已知數(shù)據(jù)的實際概率分布時，直接利用它；當不知道數(shù)據(jù)的實際概率分布時，可以作合理的近似。非面向判決環(huán)32將似然函數(shù)()

在A的這兩個值上求平均：對數(shù)似然函數(shù)：令非面向判決的ML估計為了簡化，可以采用近似：一般情況下，可假定符號是零均值高斯變量，然后再求平均似然函數(shù)非面向判決環(huán)當互相關比較小時，對數(shù)似然函數(shù)包含有一個平方項。33例2:

在上例中，假設信號幅度A是零均值高斯隨機變量，具有單位方差在A的PDF上對Λ()求平均，可得平均似然函數(shù)：相應的對數(shù)似然函數(shù)：令即可得

的ML估計值在高斯假設情況下，對數(shù)似然函數(shù)具有平方項；在前面例子中，當r(t)與s(t,)的互相關值比較小時，也是近似平方的；所以，如果互相關值比較小，對信息符號的分布作高斯假設就可以得到對數(shù)似然函數(shù)較好的近似。說明：非面向判決環(huán)34鑒于上述結(jié)果，該環(huán)相似于Costas環(huán)積分器輸出的兩個信號相乘破壞了信息符號所帶的正負號加法器起環(huán)路濾波器的作用說明：QAM，M-PSK的非面向判決ML相位估計與上相似。

在間隔T0=kT內(nèi)，對k個符號中的每一個將似然函數(shù)Λ()在高斯PDF上求平均，得：對觀測間隔T0內(nèi)所有符號采用高斯假設。非面向判決環(huán)35非面向判決環(huán)的幾種結(jié)構(gòu)

平方環(huán)：用于雙邊帶抑載(或PAM)信號的載波相位估計

接收機將接收信號平方，生成一個2fc頻率分量，用該分量驅(qū)動一個調(diào)諧在2fc上的鎖相環(huán)PLL平方運算導致噪聲增強，從而使相位誤差的方差增加平方環(huán)的VCO輸出必須二分頻存在180度相位模糊（解決方法：差分編碼）注意：取出倍頻項用于驅(qū)動PLL非面向判決環(huán)36Costas環(huán)誤差信號：濾除倍頻項r(t)=s(t)+n(t)濾除倍頻項注意：如同平方PLL一樣，VCO輸出也存在180o相位模糊，可采用差分編碼解決。非面向判決環(huán)e(t)中的期望項s(t)=A(t)cos(2fct+)37●帶通濾波器選擇諧波來驅(qū)動PLL；多相位信號的載波估計M-PSKM相信號：m=1,2,…M平方環(huán)推廣M方律器件

由于：因此，信息被除去；方法一：平方環(huán)推廣方法二：基于Costas環(huán)的推廣VCO的輸出被M分頻后，產(chǎn)生非面向判決環(huán)載波相位中攜帶的信息分量將接收信號進行M次方運算●VCO輸出：載波恢復的實質(zhì)：去除信息分量，從而得到未調(diào)載波38面向判決環(huán)非面向判決環(huán)比較不同之處：僅在于為除去調(diào)制而檢波A(t)的方法上。用來檢波A(t)的兩個正交信號都被噪聲惡化用來檢波A(t)的信號只有一個被噪聲惡化Costas環(huán)：DFPLL：DFPLL在性能上優(yōu)于Costas環(huán)和平方環(huán)！方法二：基于Costas環(huán)的推廣

（較為復雜，一般不采用）非面向判決環(huán)代表：DFPLL

代表：Costas環(huán)395.3符號定時估計40背景為了周期抽樣，要求在接收機中有一個時鐘；接收機提取時鐘信號的處理過程稱為符號同步或定時恢復；接收機不僅必須知道抽樣頻率1/T，也要知道在每個符號間隔中什么位置上抽樣。方法發(fā)送機和接收機都同步于一個主時鐘；發(fā)送機發(fā)送一個時鐘頻率為1/T（或1/T的倍頻）信號；直接從接收到的數(shù)據(jù)信號中提取。（最大似然定時估計）面向判決非面向判決抽樣時刻的選擇稱為定時相位。符號定時估計抽樣時刻：t=mT+

，是傳播延遲。41最大似然定時估計接收信號：

面向判決定時估計：對數(shù)似然函數(shù)：其中：假設信號部分是一個基帶PAM波形:符號定時估計42跟蹤環(huán)的實現(xiàn):y(t)其中：說明：環(huán)路中的求和器充當環(huán)路濾波器，它的輸出驅(qū)動壓控時鐘VCC；VCC控制環(huán)路輸入的抽樣時間；采用等效低通信號的處理方法，可直接將上述方法推廣到載波已調(diào)信號的形式，如QAM和PSK符號定時估計43

非面向判決定時估計：方法：首先將似然函數(shù)()在信息符號的PDF上求平均，得到再對或求導，得到最大似然估計值的條件跟蹤環(huán)的實現(xiàn)y(t)二進制PAM：In=±1且等概時:符號定時估計44兩種方案中，求和器是用來驅(qū)動VCC的環(huán)路濾波器另一種基于上式的跟蹤環(huán)該種方案的定時環(huán)與用于相位估計的Costas環(huán)相似。y(t)yn()符號定時估計45另一種非面向判決定時估計器——

早遲門同步器特點：

利用了匹配濾波器或相關器輸出端信號的對稱性：

匹配濾波器的輸出相對最佳抽樣時刻t=T是偶函數(shù)。兩個相關器，一個提前秒，另一個推遲秒；相關器輸出絕對值之差形成誤差信號；低通濾波器平滑噪聲對信號樣值得影響若定時誤差偏離最佳抽樣時刻，環(huán)路濾波器輸出的平均誤差信號非零，正負號取決于時鐘信號是遲后還是提前。VCC的輸出就是期望的時鐘信號。符號定時估計恰當?shù)某闃訒r刻：在T-與T+之間的中點！46載波相位和符號定時的聯(lián)合估計對數(shù)似然函數(shù)：其中，其中：得和的ML估計值一般情況下，聯(lián)合ML估計得到的估計值要優(yōu)于各自優(yōu)化得到的估計值。載波相位和符號定時聯(lián)合估計（等效低通信號形式）為方便，定義：47對數(shù)似然函數(shù)簡化為：載波相位和符號定時聯(lián)合估計48QAM和PSK中載波相位和符號定時的面向判決聯(lián)合跟蹤環(huán)信道模型和信道容量49最大似然估計器的性能特征度量信號參數(shù)估計的質(zhì)量

——偏差、方差任何ML參數(shù)估計是漸進無偏的和有效的?！獰o偏估計無偏的且方差達到下界限的估計稱為有效估計。最大似然估計。定義：定義：是參數(shù)的真值性能特征觀測序列[x1,x2,…xn]=x參數(shù)的估計值：參數(shù)的真值：第6章

信息論基礎信道容量隨機選擇的碼基于截止速率的通信系統(tǒng)設計6.5信道模型和信道容量51

W僅隨k的增加而線性增加用M=2k個信號波形，每個波形傳遞k比特信息。

，可借助正交的信號波形使差錯概率任意小?；仡檸扺=Mf

隨k增加而指數(shù)增加。信道帶寬利用率太低!編碼波形

（由二進制或非二進制序列產(chǎn)生的信號波形）在功率受限系統(tǒng)(R/W<1)和帶寬受限系統(tǒng)(R/W>1)中都具有優(yōu)越性能。M元調(diào)制產(chǎn)生的信號波形信道容量和信道編碼52信源和輸入變換器信源編碼器信道信源譯碼器數(shù)字調(diào)制器信道編碼器解調(diào)器檢測器信道譯碼器輸出信號輸出變換器插入冗余，克服信道干擾和噪聲影響輸入：離散的數(shù)字序列輸出：離散數(shù)字序列；碼率：k/n進入通信信道的接口將每個二進制數(shù)字映射為兩個可能的波形之一或采用M=2q個可能的波形，一次傳送q比特數(shù)據(jù)塊。將接收到的受信道損傷的波形簡化成一個矢量可以把檢測器判決過程看作是一種Q電平量化形式；

Q=2：二進制量化，判決傳送的比特是0還是1（硬判決）對于M進制信號：Q=M——硬判決；Q>M——軟判決；

Q=——不作量化回顧數(shù)字通信系統(tǒng)的模型信道模型和信道容量發(fā)送器536.5信道模型和信道容量54編碼設計時常用的信道模型描述信道模型的三個參數(shù)：信道模型和信道容量輸入和輸出序列之間關系的條件概率:信道的輸入信號集X信道的輸出信號集Y如果：對于所有n則稱信道是無記憶的。（i時刻的輸出僅取決于i時刻的輸入）55

最簡單的信道模型，應用于M=2，檢測器采用硬判決的情況。把調(diào)制、解調(diào)、檢測看成信道的一個部分四種信道模型1.二進制對稱信道BSC——合成信道輸入與輸出之間關系：4個條件概率:信道模型和信道容量離散二進制輸出離散二進制輸入每個輸出比特僅與對應的一個輸入比特有關——無記憶562.離散無記憶信道DMC

輸入X、輸出Y的

聯(lián)合概率：i=0,1,…Q-1j=0,1,…M-1無記憶條件條件概率P(yi|xj)可以表示成矩陣形式P

=[pij]，稱為信道的轉(zhuǎn)移概率矩陣。信道模型和信道容量離散輸入M元符號離散輸出Q元符號更廣義的離散輸入、離散輸出信道；合成信道的輸入輸出特性（無記憶信道和調(diào)制時）用MQ個條件概率描述：Q進制輸出M元調(diào)制573.離散輸入、連續(xù)輸出信道調(diào)制器輸入信號為離散字符，檢測器的輸出未經(jīng)量化。一組條件概率密度函數(shù)：P(y|X=xk)k=0,1,…q-1例：AWGN信道：信道為無記憶的條件為：信道模型和信道容量連續(xù)輸出Y離散輸入XN：零均值，方差為2的高斯隨機變量對于任意給定的輸入序列Xi，相應的輸出序列Yi=Xi+Ni

i=1,2,…n584.波形信道把調(diào)制器和解調(diào)器從物理信道中分離出來單獨研究。將x(t)、y(t)和n(t)展開成一個標準正交函數(shù)的完備集：波形信道被簡化成一個等效的離散時間信道！處理：矢量AWGN信道模型：信道模型和信道容量輸出也是波形輸入是波形其中：由于{ni}不相關，高斯分布59帶寬為W、時長為T的信號空間維數(shù)：N=2WT由維度定理：考慮到信道輸入通常受功率限制：信道模型和信道容量如果對x(t),y(t)以奈奎斯特速率2W樣值/秒抽樣，則上述結(jié)果就是抽樣信號的統(tǒng)計值。即：結(jié)論：波形AWGN信道帶寬W限制；功率P限制等效的離散時間AWGN信道每秒使用2W次；噪聲方差：2=N0/2輸入功率受限：等效于60幾種信道模型小結(jié)信道模型和信道容量選用何種信道模型完全取決于研究的目的；當設計和分析離散信道編、譯碼器的性能時——可以將調(diào)制、解調(diào)器歸并為復合信道的一部分；當設計和分析數(shù)字調(diào)制、解調(diào)器的性能時——可采用波形信道模型。616.5.2

信道容量62信道容量考慮一個DMC信道：●輸入字符集：●輸出字符集：●轉(zhuǎn)移概率集合：由事件Y=yi

的發(fā)生而提供的關于X=xj

的互信息：假如傳輸?shù)男盘柺莤j，接收到的信號是yi輸出Y為輸入X提供的平均互信息：由信道特征決定

對于一組輸入符號概率p(xj)，I(X,Y)的最大值僅僅取決于由條件概率P(yi|xj)決定的DMC信道的特性！信道模型和信道容量63I(X,Y)的最大值稱為信道容量其中:如果以s

秒輸入一個符號，則信道容量為：C/sC的單位：●比特/符號；●奈特/符號單位：●bit/s；●奈特/秒信道模型和信道容量64例：BSC信道轉(zhuǎn)移概率：BSC信道容量：H(p)：二進熵函數(shù)p是SNR的單調(diào)函數(shù)，所以C也是SNR的單調(diào)函數(shù)當輸入概率時，平均互信息最大。例：離散時間的AWGN無記憶信道離散輸入連續(xù)輸出信道容量：信道模型和信道容量65當P(X=A)=P(X=-A)=1/2時，平均互信息I(X,Y)最大。信道容量：特例，二進制輸入時，離散時間的AWGN無記憶信道：注意：當比值增大時，C從0到1比特/符號單調(diào)增大歸納：選擇等概的輸入符號能使平均互信息最大。因此，只要令輸入符號等概，就可以得出信道容量；除了選擇等概以外，一般情況下，只要信道轉(zhuǎn)移概率矩陣對稱，就可以使I(X,Y)最大化。信道模型和信道容量但等概條件下不一定能從信道容量公式得到解；66例：受加性高斯白噪聲干擾的帶限波形信道

（求AWGN信道容量）y(t)=x(t)+n(t)用抽樣值（或級數(shù)展開系數(shù)）

{yi},{xi},{ni}來表征yi=xi

+ni計算序列XN={x1,x2,…xN}，YN={y1,y2,…yN}的平均互信息:其中:假設{xi}是統(tǒng)計獨立,均值為零的高斯隨機變量,其PDF為:信道模型和信道容量（N=2wT）67AWGN信道容量:假設對發(fā)送信號x(t)的平均功率加以限制單位時間的信道容量：Shannon信道容量公式（AWGN信道在帶限及平均功率受限的輸入條件下）信道模型和信道容量（N=2wT）68討論:如果帶寬固定，波形信道的容量隨傳輸信號功率的增加而增加。如果Pav固定，容量隨帶寬w的增加而增加。注意:，信道容量趨于一個漸近值:信道容量隨SNR的增加而單調(diào)增加。對帶寬歸一化后的信道容量曲線信道模型和信道容量結(jié)論：信噪比和帶寬可以互換！在AWGN信道，C與帶寬W，發(fā)送功率Pav有關！無限帶寬AWGN的信道容量69討論:將C/w表示成信噪比的函數(shù):C的單位：bit/sPav：平均功率由于:C/w

→時，b/N0呈指數(shù)增加信道模型和信道容量70信道模型、信道容量小結(jié)離散輸入、離散輸出信道（特例：BSC）離散輸入、連續(xù)輸出、無記憶加性高斯白噪聲信道波形信道及信道容量信道帶寬受限信號受加性高斯噪聲損傷發(fā)送機平均功率受限約束條件：信道容量：噪聲編碼定理：

只要傳輸速率R<C，總存在一種信道編碼，以所要求的任意小的差錯概率實現(xiàn)可靠通信。反之，如果R>C,不可能有任何一種編碼能使差錯概率趨近于零。信道模型和信道容量信道容量公式的意義:為在噪聲信道中可靠通信確定傳輸速率的上限值。71當速率且時，正交波形集能達到信道容量的邊界。

只要，若使差錯概率就可以任意小。只要，對于正交信號，通過增加波形數(shù)M可以使差錯概率PM任意小。6.6用正交信號獲取信道容量回顧：在無限帶寬的AWGN信道上，M元正交信號PM的邊界值:（推導從略）信道模型和信道容量C

：無限帶寬AWGN信道容量

R：比特率72稱為無限帶寬AWGN信道的信道可靠性函數(shù)。其中：

在M較大時，可靠性函數(shù)E(R)決定了數(shù)字信號在無限帶寬AWGN信道傳輸時，差錯概率呈指數(shù)變化。將前面的式子表示為：信道模型和信道容量73注意：該差距是尋找更有效的信號波形的源動力采用編碼的波形能可觀地減小這個差距！信道模型和信道容量R<C時，增加正交信號數(shù)目M可以使PM任意小。但實際得到的性能與信道容量公式算出的性能之間存在較大差距例如：相干檢測：M=16的正交信號，Pe=10-5時，需要SNR=7.5dB信道容量公式結(jié)果：C/w=0.5條件下，SNR為-0.8dB就能可靠傳輸。兩者之間存在8.3dB/比特的差距！746.8

信道截止速率基于截止速率的通信系統(tǒng)的設計75基于M元二進制編碼信號的隨機編碼映射碼字Ci對應的信號波形：每個波形與一個n維矢量相對應：一共有M個碼字；與n維空間中超立方體的某個頂點對應。其中：隨機選擇編碼編碼過程:輸入k個比特輸出n個比特：碼字C編碼器碼字：每個碼字長度為n(n維）每比特→二進制PSK定義：——符號率n=DT是信號空間的維數(shù)。（M元：M個二進制碼字）每個碼字在T時間內(nèi)傳送。76用作編碼信號的頂點數(shù)與總頂點數(shù)之比：只有M=2k=2RT個被用來傳送信息。問題：

能否在全部2n=2DT個可用頂點中選出一個含M=2RT個頂點的子集，使得當T

時（等效于n→∞，∵n=DT），差錯概率Pe0？如果D>R，當T→時，F(xiàn)→0隨機選擇編碼n維空間

超立方體總共有2n=2DT個頂點可行性：,選出具有最小距離的M個信號波形是可能的最小距離隨T→而增大，從而使Pe→0假設：進入編碼器的信息速率為Rbit/s，每次編碼k比特：k=RT共需要M=2k=2RT種編碼波形信號77隨機地選如何選？第m個碼({si}m)被隨機選中的概率：假設與該碼對應的條件差錯概率為：隨機選擇編碼有種不同的選法！每一種選擇都構(gòu)成一種碼。假設M個編碼波形是隨機地從2nM個候選碼集中選取的。2nM個候選碼集中選取M個隨機地在整個碼集上的平均差錯概率：78而有些碼的選擇會小于計算的上邊界，令T→時，，那么也必有：如果計算出的上邊界，該邊界對于的碼照樣成立。“平均差錯概率”的含義意味著：討論隨機選擇編碼有些碼的選擇會大于啟示：計算的上邊界：考慮k比特消息：思路：求出該k比特的差錯概率，然后將條件差錯概率在整個碼集上的平均。K比特消息xk用{si}m碼傳送時的條件差錯概率({si}m)({si}l)這些碼對應于:k比特的差錯概率：79結(jié)果：為了簡化，定義:

截止速率注意：截止速率R0是SNR（c

/N0）的單調(diào)函數(shù)。隨機選擇編碼對所有的k比特信息序列求平均80當碼率小于截止速率Rc<R0，碼長n時，由于n時，可以任意小，因此，在2nm個碼集里一定存在若干個碼，它們的差錯概率不大于2.

由其中：隨機選擇編碼結(jié)論：好碼必定存在！D=n/T—碼率結(jié)論:只要信息速率R<DR0，當T時，1.

由：下面討論信息速率、碼速率、信噪比與截止速率對性能的影響81隨機選擇編碼3.

從每比特信噪比的角度來看平均差錯率結(jié)論：每個信號波形的能量：其中：當信號維數(shù)足夠大時，M元二進碼的Pe與M元正交信號的Pe相當。都是SNR的函數(shù)。參數(shù)0作為Rcb函數(shù)曲線注意：0：與截止速率R0有關的SNRc：每個碼字比特能量b：每個信息比特能量824.

信號維數(shù)參數(shù)D的討論D=n/TD與傳輸信號所需的信道帶寬成正比抽樣定理（維數(shù)定理）：隨機選擇編碼83截止速率與AWGN信道容量C的比較考慮到：定義：AWGN信道容量:——歸一化信道容量隨機選擇編碼——表示截止速率R0的上邊界，經(jīng)推導：（推導從略）84討論：●

由于Cn是傳輸速率R/D的最終上限，必有：R0*<Cn●

對于小值，R0與Cn之差約3dB

因此，采用隨機選擇、最佳平均功率限制、多幅度信號得到的速率函數(shù)R0*位于信道容量的3dB范圍內(nèi)。隨機選擇編碼比較：R0*—Cn85圍繞兩種截止速率展開討論Q電平量化的截止速率RQ不作量化軟判決譯碼的截止速率R0檢測器判決相當于一個量化過程；兩種判決方法：硬判決和軟判決，對應于不同的量化電平Q設置；M進制信號的量化：Q=M——硬判決；Q>M——軟判決；

Q=——不作量化回顧本小節(jié)內(nèi)容：主要討論運行于截止速率R0（或RQ）時，對通信系統(tǒng)的性能要求?；诮刂顾俾实耐ㄐ偶僭O信道模型：轉(zhuǎn)移概率：P(i/j)q種輸入符號：{0,1,…q-1}，各輸入符號發(fā)生概率{pj}Q種輸出符號：{0,1,…Q-1}，Qqj=0,1,…q-1；i=0,1,…Q-1基于截止速率的通信系統(tǒng)的設計86對于離散無記憶信道：j=0,1RQ

—Q電平量化器的截止速率一般性結(jié)論：如：二進制AWGN信道基于截止速率的通信抽樣瞬間相關器的輸出：無量化軟判決時：由RQ,令Q未量化（軟判決）譯碼器的截止速率R0第1個求和號改為積分轉(zhuǎn)移概率P(i|j)取決于信道噪聲特性、量化等因素。n：碼塊長度；R：信息速率；D：符號率（如同前面推導）推導中，定義：87例：AWGN信道中當接收機將輸出量化成Q=2,4,8電平時，二進制PSK輸出信號的性能的比較假設：量化器電平設置在：量化器步長；b：量化器的比特數(shù)選擇的策略：選擇h，使運行于碼率R0上所要求的每比特SNRb

最小.基于截止速率的通信考慮b=1（硬判決譯碼），b=2,b=3相當于Q=2,4,8電平量化Q電平量化未量化軟判決譯碼直接利用前面的結(jié)論：1.不同量化步長、不同量化電平數(shù)設置對系統(tǒng)性能的影響88采用步長h

=1，2比特量化（Q=4）的軟判決譯碼，與硬判決譯碼（1比特）相比，可以獲得1.4dB的增益；采用步長h

=0.5，3比特量化（Q=8）時，又可增添0.4dB增益；用3比特量化器，獲得的結(jié)果與未量化軟判決譯碼極限值之差在0.2dB以內(nèi)基于截止速率的通信AWGN信道、二進制PSK調(diào)制、碼率R=R0

或R=RQ時，量化對編碼的通信系統(tǒng)性能的影響：089硬判決譯碼（Q=2）時二元PSK經(jīng)過AWGN信道，差錯概率：2.二進制信號硬/軟判決譯碼，當運行于截止速率時，所要求的最小SNR令R2=Rc（即運行于截止速率下），代入p；滿足上述方程的b

就是運行速率等于截止速率R2時所要求的最小SNR。軟判決譯碼（Q=）時在截止速率公式中，令R0=Rc，得到：R0=Rc滿足上式的b

就是運行速率等于截止速率R0時所要求的最小SNR?；诮刂顾俾实耐ㄐ庞蓂=2，Q=2代入前面公式得：90R0（軟判決譯碼）R2（硬判決譯碼）比較結(jié)論：對于任意給出的Rc值（即Rc固定），硬判決和軟判決譯碼每比特所需SNR的差值，在AWGN中約為2dB左右。二進制信號情況下，軟、硬判決譯碼的比較：其中每比特相應的信噪比SNR：基于截止速率的通信截止速率與SNR的關系913.非二進制碼與M元信號（M=q）結(jié)合的情況：M輸入、M輸出（未量化）的信道的截止速率為：假設M個信號正交，統(tǒng)計獨立，則：與發(fā)送信號對應的匹配濾波器輸出的PDF代入上式、化簡得M元輸入、M元矢量輸出、未量化信道截止速率：基于截止速率的通信M個匹配濾波器的輸出直接作為檢測器輸出y=[y1,y2,…yM]92對于M元正交信號的相干檢測：—接收的每波形能量；Rw—信息速率，單位：比特/波形b=b/N0—每比特SNR其中：基于截止速率的通信討論：(1)M=2正交信號時：比雙極性信號的截止速率差3dB（2）M元正交信號，當以截止速率運行時：令Rw=R0：注意：對于M的任何取值，曲線飽和于R0=log2M處。93（3）M的極限情況比特/波形結(jié)論：以速率R0傳送信號所需功率比Shannon極限大3dB。結(jié)論：M→的極限情況下，截止速率是無限帶寬AWGN信道容量的一半?？紤]到：M→時，運行于截止速率R0所要求的最小SNR代入基于截止速率的通信第7、8章

信道編碼線性分組碼基于網(wǎng)格和圖形的編碼95線性分組碼96線性分組碼線性分組碼基本概念：由一組固定長度的碼字矢量組成。碼長——矢量元數(shù)的個數(shù)n。碼字元素選自由q個元素組成的字符集（二進制分組碼，非二進制分組碼）長度為n的碼字2n個碼字k個信息比特2k種組合(n,k)碼映射信息比特與碼字之間的關系碼率：更一般地：對于一個q進制碼，存在qn個可能的碼字，可以選擇其中一個由M=2k

個碼字構(gòu)成的子集來傳送k比特長的信息分組。97任何碼字都是G的矢量的線性組合：生成矩陣和奇偶校驗矩陣假設：k個信息比特碼字（n位）編碼運算：矩陣形式：j=1,…nG——

生成矩陣線性分組碼可以用一組n個方程來表示：98其中：編碼電路：編碼器輸出碼字：線性分組碼例:

(7,4)碼生成矩陣

由k級移位寄存器和n-k個模2加法器組成99(n,k)線性碼的對偶碼是一種(n,n-k)線性碼，有2n-k個碼矢量，屬于(n,k)碼的零空間。生成矩陣H，由零空間中的n-k個線性無關的碼矢量組成由于對(n,k)碼的每個碼字都成立，于是：(n,k)碼線性分組碼(n,k)碼任意一個碼字Cm都正交于矩陣H的每一行對偶碼(n,n-k)正交于H矩陣用于譯碼器檢查收到的碼字Y是否滿足

YHT=0H矩陣稱為(n,k)碼的一致校驗矩陣（簡稱校驗矩陣）100例：(7，4)系統(tǒng)碼，G如前所述H矩陣：由CmHT=0

可得：CmHT的積等于信息位的線性組合加上相應的校驗位，與前面的結(jié)果等效。線性分組碼101循環(huán)碼是線性碼的一個子集。碼字碼字C的所有循環(huán)移位都是碼字碼字多項式：

n-1次多項式，用它與碼字C聯(lián)系起來特點：若兩邊同乘p：pC(p)除于pn+1：其中：C1(p)代表碼字：C1(p)是pC(p)除于pn+1的余式，因此：循環(huán)移位得到線性分組碼102循環(huán)碼的生成多項式g(t)

(n-k次)g(t)是多項式（pn+1）的因子，其通式為：定義：k比特的信息多項式：結(jié)論：則乘積

X(p)g(p)

是一個

n-1次多項式，它代表一個碼字循環(huán)碼可以由唯一的g(p)多項式乘于2k

個消息多項式生成。線性分組碼g(p)稱為(n,k)碼的生成多項式，次數(shù)為

n-k

，并可整除pn+1。103BCH碼的生成多項式由的因式構(gòu)成BCH碼特點：循環(huán)碼的一個大類；（二進制，非二進制）二進制BCH碼：m和t是任意正整數(shù)，非二進制BCH碼：包括Reed-Solomon碼線性分組碼104線性分組碼的譯碼軟判決譯碼不進行量化，直接對濾波器輸出進行譯碼；譯碼按照最大相關度量準則進行。制約因素:要形成M個相關度量，比較這些量并獲取最大值的過程中，需要巨大的計算量。硬判決譯碼先將模擬樣值量化，然后用數(shù)字方式實現(xiàn)譯碼。（軟判決譯碼，硬判決譯碼）線性分組碼譯碼過程計算接收碼字與2k個可能發(fā)送碼字之間的距離（硬判決——漢明距離；軟判決——歐氏距離）選擇離接收碼字最接近的碼字作為判決輸出。105卷積碼106二進制數(shù)據(jù)移位輸入到編碼器，沿著移存器每次移動k比特；每個k比特長的輸入序列對應一個n比特長的輸出序列；碼率：Rc=k/nK（移存器的級數(shù)）稱為卷積碼的約束長度。編碼器由K級移存器（每級k比特）和n個模2加法器組成編碼過程：卷積碼107代數(shù)方法

——生成矩陣、生成矢量圖形方法

——樹圖、網(wǎng)格圖、狀態(tài)圖卷積碼的描述方法：卷積碼例：K=3，k=1，n=3的卷積編碼器狀態(tài)圖網(wǎng)格圖樹圖108卷積碼譯碼卷積碼沒有固定長度，有記憶，采用序列譯碼；譯碼器是一個最大似然序列估計器；譯碼過程：搜遍網(wǎng)格圖找出最可能的序列譯碼度量：硬判決——漢明距離；軟判決——歐氏距離卷積碼109級聯(lián)碼分組碼與分組碼級聯(lián)分組碼與卷積碼級聯(lián)卷積碼與卷積碼級聯(lián)分組碼——RS碼卷積碼——雙k碼外碼：常選用非二進制碼內(nèi)碼：可選用二進制碼，也可選用非二進制碼；可以是分組碼，也可以是卷積碼。級聯(lián)碼級聯(lián)碼例：級聯(lián)分組碼110編碼器結(jié)構(gòu)：由兩個并聯(lián)的卷積編碼器組成，第2級編碼器前串接了一個交織器交織器：信息比特進入下一級編碼器之前對它們重新排序?qū)ΧM制卷積編碼器輸出的校驗比特進行刪余處理，目的是為了提高碼率級聯(lián)碼帶交織的并行級聯(lián)卷積碼——Turbo碼

1993，Berrou等人提出111特色之一：兩個編碼器與交織結(jié)合的效果：使碼字變得相對稀疏，即各碼字極少有離它很靠近的鄰碼。交織導致緊鄰碼字數(shù)量的減少，由此使編碼增益提高。已經(jīng)證明，當交織器長度為N時，緊鄰碼字的數(shù)目減少N倍特色之二：使用基于MAP準則的迭代譯碼級聯(lián)碼112Turbo碼的性能影響Turbo碼性能的一個重要因素——交織長度（交織增益）大交織產(chǎn)生的問題：譯碼時延；計算復雜帶交織的串行級聯(lián)卷積碼

1998年Benedetto另一種級聯(lián)卷積碼在低誤碼率時，具有比并行級聯(lián)碼更好的性能使用足夠大的交織器，采用MAP迭代譯碼Turbo碼的性能可以非常接近S