大學(xué)物理第五版下冊(cè)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)描述波動(dòng)過程中介質(zhì)的任一質(zhì)點(diǎn)（坐標(biāo)為x）相對(duì)其平衡位置的位移（坐標(biāo)為y）隨時(shí)間的變化關(guān)系，即稱為波函數(shù)，或稱波動(dòng)方程.各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移波線上各質(zhì)點(diǎn)平衡位置簡(jiǎn)諧波：在均勻的、無吸收的介質(zhì)中，波源作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，在介質(zhì)中所形成的波為簡(jiǎn)諧波.平面簡(jiǎn)諧波：波面為平面的簡(jiǎn)諧波.1

表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻離開平衡位置的距離.

考察波線上點(diǎn)(坐標(biāo))在時(shí)刻的位移

設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧波沿軸正方向傳播，波速為。坐標(biāo)原點(diǎn)

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為tx如何描述任意時(shí)刻、波線上距原點(diǎn)為的任一點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律？P2點(diǎn)O

的振動(dòng)狀態(tài)點(diǎn)

Pt時(shí)刻點(diǎn)

P的運(yùn)動(dòng)t-x/u時(shí)刻點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間推遲方法點(diǎn)P

振動(dòng)方程3考察波線上點(diǎn)(坐標(biāo)),

點(diǎn)比點(diǎn)的振動(dòng)落后,

點(diǎn)在時(shí)刻的位移是點(diǎn)在時(shí)刻的位移，由此得表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻離開平衡位置的距離.OPx4

由于為波傳播方向的上任意一點(diǎn)，因此上述方程能描述波傳播方向上任意一點(diǎn)的振動(dòng)，具有一般意義，即為沿軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，又稱波動(dòng)方程.5點(diǎn)

O

振動(dòng)方程

波函數(shù)

沿軸正向

O

如果原點(diǎn)的初相位不為零6可得波動(dòng)方程的幾種不同形式：利用和7波函數(shù)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度8二波函數(shù)的物理含義（波具有時(shí)間的周期性）則令

1一定，

變化

表示點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（的關(guān)系）9波線上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖10令（定值）則

y

o

x

2

一定

變化

該方程表示時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)的位移,即時(shí)刻的波形（的關(guān)系）11（波具有空間的周期性）即：當(dāng)一定時(shí)，波函數(shù)表示該時(shí)刻波線上各點(diǎn)相對(duì)其平衡位置的位移，即此刻的波形.12同一時(shí)刻相位差與波程差的關(guān)系

t一定時(shí)，波函數(shù)表示該時(shí)刻波線上各點(diǎn)相對(duì)其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差133、都變

波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運(yùn)動(dòng)情況，即在不同時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移，也就是不同時(shí)刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播.O14

OO時(shí)刻時(shí)刻15OPx如圖，設(shè)點(diǎn)振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)比點(diǎn)超前了4沿

軸方向傳播的波動(dòng)方程

16從形式上看：波動(dòng)是波形的傳播.從實(shí)質(zhì)上看：波動(dòng)是振動(dòng)的傳播.

對(duì)波動(dòng)方程的各種形式，應(yīng)著重從物理意義上去理解和把握.

故點(diǎn)的振動(dòng)方程（波動(dòng)方程）為：17波函數(shù)的物理意義：波動(dòng)是介質(zhì)質(zhì)元保持一定相位聯(lián)系的集體運(yùn)動(dòng)，任一瞬時(shí)，各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)此起彼伏，紛繁復(fù)雜。1.波函數(shù)既定量描述每個(gè)質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間周期性變化的規(guī)律（振動(dòng)規(guī)律）；又定量描述每個(gè)質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在空間周期性分布的規(guī)律；所以波函數(shù)定量描述了波動(dòng)的時(shí)空周期性。2.波函數(shù)還給出了各質(zhì)元在相位上的定量聯(lián)系，揭示了波動(dòng)是振動(dòng)相位傳播的這一物理實(shí)質(zhì)。波函數(shù)是波動(dòng)這一物理過程的全面、精確的數(shù)學(xué)概括，是對(duì)波動(dòng)物理量時(shí)空變化關(guān)系的準(zhǔn)確描述。18例1一平面簡(jiǎn)諧波沿軸正方向傳播，已知振幅，，.在時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿軸正向運(yùn)動(dòng).求：

(2)

波形圖；(3)

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖.

(1)波動(dòng)方程；解(1)

寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式已知振源的振動(dòng)求波動(dòng)方程19O(m)20

(2)求波形圖波形方程02.01.0-1.0

時(shí)刻波形圖(m)21

(3)

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程01.0-1.02.0O******處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線123412341.022已知振源的振動(dòng)曲線求波動(dòng)方程例2：一振源在介質(zhì)內(nèi)作諧振動(dòng)，振動(dòng)曲線如圖。此振源向x正方向發(fā)出一平面簡(jiǎn)諧波，波速為0.3m.s-1（1）若以振源處為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出此波動(dòng)方程；（2）求距振源0.45m處A點(diǎn)的振動(dòng)方程；（3）作出t1=0.1s和t2=1.5s時(shí)的波形曲線，并標(biāo)出t2時(shí)刻A點(diǎn)的振動(dòng)方向。23解：（1）由圖可知：則平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程為：24（2）以x=0.45m代入波動(dòng)方程，得A點(diǎn)的振動(dòng)方程為：（3）分別以t1=1.0s和t2=1.5s代入波動(dòng)方程，得25分別畫出t1=1.0s和t2=1.5s的波形曲線如圖，A點(diǎn)在t2時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向如圖。故t2時(shí)刻的波形相對(duì)t1時(shí)刻的波形向前傳播了的距離。26已知波函數(shù)求振幅、頻率、波速和波長(zhǎng)例3：一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為：試求：（1）波的振幅、頻率、波速和波長(zhǎng)；（2）x1=0.2m處質(zhì)元在t1=1.0s時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；（3）此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在t2=1.5s時(shí)傳到波線上那一點(diǎn)。27解：（1）將波函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式：比較得：28（2）x1=0.2m處質(zhì)元在t1=1.0s時(shí)的振動(dòng)相位為：此相位所表示的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為：位移：振動(dòng)的速度：29（3）振動(dòng)狀態(tài)傳播的速度就是波速u，在Δt=t2-t1=0.5s時(shí)間內(nèi)，t1時(shí)刻x1處質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)傳播的距離為因此t1時(shí)刻x1處質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)在t2時(shí)刻應(yīng)傳播到距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：30

例4一平面簡(jiǎn)諧波以速度沿直線傳播，波線上點(diǎn)A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程求:(1)以A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；(3)求傳播方向上點(diǎn)C、D

的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；(4)分別求出BC

，CD

兩點(diǎn)間的相位差.ABCD5m9m8m單位分別為m，s).,;(已知波線上任一點(diǎn)的振動(dòng)求波動(dòng)方程31(1)

以A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程ABCD5m9m8m(m)32(2)

以B

為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程ABCD5m9m8m(m)33

(3)

寫出傳播方向上點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)C

的相位比點(diǎn)A

超前ABCD5m9m8m(m)34點(diǎn)D

的相位落后于點(diǎn)A

ABCD5m9m8m(m)35(4)分別求出BC

，CD

兩點(diǎn)間的相位差A(yù)BCD5m9m8m3665ll已知例PXOYA2A某正向余弦波時(shí)的波形圖如下t0則此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，振動(dòng)相位。PFP已知t=0時(shí)的波形圖求波動(dòng)方程3765lluPXOYA2A沿軸正向微移原波形圖得到下一時(shí)刻的波形，并可判斷出點(diǎn)此時(shí)向下運(yùn)動(dòng)。PX利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，得：38已知任意時(shí)的波形圖求波動(dòng)方程例6：一平面簡(jiǎn)諧波，沿x軸負(fù)方向傳播，角頻率為，波速為。設(shè)時(shí)刻的波形圖如圖所示，求該波的波動(dòng)方程。39解：由時(shí)刻的波形畫出t=0時(shí)刻的波形。由圖可得：t＝0時(shí)刻，坐標(biāo)原點(diǎn)處（x=0）的質(zhì)點(diǎn)處在-A處，且向y的正方向運(yùn)動(dòng)，所以波源處的振動(dòng)初相位為π，波源處的振動(dòng)方程為：則波動(dòng)方程為：40已知波線上任意點(diǎn)的振動(dòng)曲線求波動(dòng)方程例7：一平面簡(jiǎn)諧波，沿x軸負(fù)方向傳播，波長(zhǎng)為12m，如圖所示為x=0.1m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線，求該波的波動(dòng)方程。41解：波動(dòng)方程為：x=0.1m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：其中：是x=0.1m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相位；而：是x=0處（波源處）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相位；42

根據(jù)0.1m處的振動(dòng)方程，可以求出x=0.1m處和波源質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相位。當(dāng)t=0時(shí)，x=0.1m處質(zhì)點(diǎn)的