組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

1.3.1

組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述對(duì)于許多復(fù)雜的生產(chǎn)過程與設(shè)備,其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以等效為多個(gè)子系統(tǒng)的組合結(jié)構(gòu),這些組合結(jié)構(gòu)可以由并聯(lián)、串聯(lián)反饋3種基本組合聯(lián)結(jié)形式表示。下面討論的由這3種基本組合聯(lián)結(jié)形式構(gòu)成的組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)陣。并聯(lián)聯(lián)結(jié)(1/4)1.并聯(lián)聯(lián)結(jié)圖2-15并聯(lián)聯(lián)接組合系統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)圖并聯(lián)聯(lián)結(jié)(2/4)設(shè)對(duì)應(yīng)于圖2-15示的并聯(lián)聯(lián)結(jié)的組合系統(tǒng)的兩個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式分別為并聯(lián)聯(lián)結(jié)(3/4)從圖2-15可知u1=u2=u

y1+y2=y故可導(dǎo)出并聯(lián)聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為并聯(lián)聯(lián)結(jié)(4/4)因此,由上述狀態(tài)空間表達(dá)式可知,并聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。由組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式可求得組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為因此,并聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為各并聯(lián)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣之和。串聯(lián)聯(lián)結(jié)(1/5)2.串聯(lián)聯(lián)結(jié)圖2-16串聯(lián)聯(lián)接組合系統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)圖設(shè)圖2-16所示的串聯(lián)聯(lián)結(jié)的組合系統(tǒng)的兩個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣分別和并聯(lián)連結(jié)的結(jié)構(gòu)相同,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式也分別相同。串聯(lián)聯(lián)結(jié)(2/5)從圖2-16可知

u1=u

u2=y1

y2=y因此可導(dǎo)出串聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為串聯(lián)聯(lián)結(jié)(3/5)相應(yīng)的輸出方程為即有串聯(lián)聯(lián)結(jié)(4/5)因此,由上述狀態(tài)空間模型可知,串聯(lián)連接組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。由串聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可求得組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為串聯(lián)聯(lián)結(jié)(5/5)因此,串聯(lián)聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為串聯(lián)系統(tǒng)各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣的順序乘積。應(yīng)當(dāng)注意,由于矩陣不滿足乘法交換律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能顛倒,它們的順序與它們?cè)谙到y(tǒng)中的串聯(lián)聯(lián)結(jié)順序一致。反饋聯(lián)結(jié)(1/5)3.反饋聯(lián)結(jié)圖2-17反饋聯(lián)接組合系統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)圖反饋聯(lián)結(jié)(2/5)設(shè)對(duì)應(yīng)于圖2-17所示的反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的兩個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型分別為反饋聯(lián)結(jié)(3/5)從圖2-17可知u1=u-y2

u2=y1=y因此可導(dǎo)出反饋組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為反饋聯(lián)結(jié)(4/5)即有故反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。反饋聯(lián)結(jié)(5/5)Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)[U(s)-Y2(s)]=G0(s)[U(s)-F(s)Y(s)]故[I+G0(s)F(s)]Y(s)=G0(s)U(s)或Y(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)U(s)因此,反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=[I+G0(s)F(s)]-1G0(s)由反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的聯(lián)結(jié)圖2-17可知反饋聯(lián)結(jié)(6/5)U(s)=Y2(s)+U1(s)=F(s)G0(s)U1(s)+U1(s)=[I+F(s)G0(s)]U1(s)=[I+F(s)G0(s)]Y(s)故Y(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1U(s)因