正態(tài)型指標的Bayes可靠性驗證試驗設計

正態(tài)型指標的Bayes可靠性驗證試驗設計★【摘要】可靠性統(tǒng)計驗證試驗設計是基于給定的風險要求，對產(chǎn)品的試驗方案進行規(guī)劃，給出試驗實施中產(chǎn)品的抽樣方案。根據(jù)Bayes理論，在復雜假設的情況下，對性能參數(shù)服從正態(tài)分布的產(chǎn)品可靠性進行了統(tǒng)計驗證試驗設計。綜合考慮試驗風險和兩類風險的約束要求，建立了求解最小樣本量的非線性約束規(guī)劃模型；利用0-1損失函數(shù)，按照驗后損失最小的原則，推導了基于樣本均值的決策臨界值，建立了兩類風險與樣本量之間的函數(shù)關系；依據(jù)樣本量的取值與兩類風險的關系，給出了基于MATLAB的最小樣本量計算步驟；最后用示例展示了求解的具體過程。【關鍵詞】裝備；可靠性；試驗設計；貝葉斯理論；兩類風險引言礎上，通過對兩類風險（生產(chǎn)方風險和使用方風險）設計與權衡設計方案，用盡可能少的試驗來獲取足夠有效的信息，對裝備的可靠性做出統(tǒng)計推斷[1產(chǎn)和試驗的費用越來越高，怎樣在充分利用已有各類信息的條件下，降低裝備的現(xiàn)場試驗費用，是試驗管理者長期以來重點關注的問題。由于Bayes方法可以充分利用裝備的各類驗前信息、樣本信息和總體信息，完成對裝備可靠性的評估分析。因此，與經(jīng)典的驗證試驗設計方法相比，可以節(jié)約樣本量和試驗時間，從而降低試驗成本[2]，所以Bayes方法在裝備試驗評價中有著廣泛的應用。正態(tài)分布作為統(tǒng)計學中的一個重要分布族，在裝備的可靠性分析中也有著大量的應用，并且有大量的學者在這方面進行了深入的研究。在正態(tài)分布的可靠性分析方面，Anna[3]通過對失效率服從正態(tài)分布的傳送帶進行了可靠性試驗分析，給出了系統(tǒng)可靠性的計算方法；美國的 Mil-Hdbk-338b[4]給出了壽命服從正態(tài)分布的產(chǎn)品的可靠性分析判斷技術，并且以微波管和機械器件為例，進行了實例說明。LiuChanghong[5]對可靠性分布函數(shù)的確定進行了研究，以正態(tài)分布為例進行了詳細的說明。劉琦[6]等對基于液體火箭發(fā)動機性能試驗數(shù)服從正態(tài)分布的情況，運用Bayes方法對正態(tài)分布天地試驗條件下的環(huán)境因進行了分析；在可靠性驗證試驗設計方面，W.S.Lin[7]對磨損量服從正態(tài)分布的切割工具的可靠性進行了試驗設計及分析；YangLuo[8]對結構參數(shù)服從正態(tài)分布的可靠性試驗設計進行了研究；榮吉利[9]等針對性能參數(shù)服從正態(tài)分的一類航天火工機構，參照“應力-強度”模型，提出了一種強化試驗的小子樣可靠性驗證方法；鄭波[10]等對于不合格率服從正態(tài)分布的火工品，推導出了可靠性試驗驗證的樣本量確定方法；張碩云[11]對簡單假設情況下，可靠性參數(shù)服從正態(tài)分布的試驗設計進行了研究，并且給出了滿足兩類風險要求的最小樣本量求解方法，但是對于復雜假設的情況沒有研究。從現(xiàn)有的研究情況看，在小子樣條件下，基于Bayes方法對于正態(tài)分布參數(shù)的假設檢驗，是基于損失函數(shù)，選擇試驗驗后損失達到最小的假設，而對接受或者拒絕原假設時，棄真或者采偽的概率（即兩類風險）關注得較少。從統(tǒng)計分析的角度來看，基于小概率事件原理[12]，在考慮兩類風險的條件下，選擇正確的檢驗假設，對于使用方和生產(chǎn)方而言都是比較有益的，而且在裝備生產(chǎn)定型后，可以降低事故的發(fā)生比例。這比單純采用損失函數(shù)來決定假設檢驗的結論更科學、合理。本文結合裝備試驗鑒定的這一需求，針對可靠性參數(shù)服從正態(tài)分布的裝備或產(chǎn)品，在復雜假設的情況下，基于Bayes理論，以驗后兩類風險為目標建立了可靠性驗證試驗設計的非線性約束規(guī)劃模型，并基于0-1損失函數(shù)對兩類風險的計算進行了推導。最后結合示例，對壽命服從正態(tài)分布的xx型號部件進行可靠性驗證試驗設計，給出了基于兩類風險的可靠性統(tǒng)計試驗方案的分析與求解過程。樣本量計算的非線性約束規(guī)劃模型在可靠性分析中，有些產(chǎn)品的壽命或者維修時間服從正態(tài)分布，記為Nμ式（1）中：μ0——MTBF的最小值。根據(jù)統(tǒng)計學理論[12]，在給定原假設和備擇假設的條件下，試驗中獲得的樣本量越大，統(tǒng)計推斷的結果就越可信，對應的兩類風險（棄真、采偽風險）式（2）中：C0——進行試驗所需的初始試驗費用，包括試驗場地建設費用、人員培訓費用、管理費用等；n——產(chǎn)品現(xiàn)場試驗所需的樣本量；α（n）——現(xiàn)場試驗樣本量為n時，運用Bayes的生產(chǎn)方的棄真風險；β（n）——現(xiàn)場試驗樣本量為n時，運用Bayes方法進行假設檢驗，所造成的使用方的采偽風險；C2——在H0正確的條件下，如果拒絕原假設H0，所造成的生產(chǎn)方的損失，包括產(chǎn)品的重新設計與生產(chǎn)延誤、銷售市場的萎縮等；C3——在H0不成立的條件下，如果采納原假設H0，所造成的使用方的損失，包括產(chǎn)品使用過程中的維護保障、任務延遲損失等。況考慮與兩類風險、試驗費用相關的各種損失，建立比較全面的損失模型。定α0，β0，并要求由于產(chǎn)品的試驗不可能無限制地進行下去，所以研制方和使用方通常會給定現(xiàn)場試驗的最大次數(shù)N。為了保證將來產(chǎn)品使用的安全性、可靠性，并且通常要求現(xiàn)場試驗次數(shù)大于等于某一給定的最小試驗次數(shù)n0，從而給定現(xiàn)場試驗次數(shù)的約束條件裝備試驗設計的目的是在滿足兩類風險要求的前提下，使得試驗損失達到最小。所以，可建立如下的非線性約束規(guī)劃模型：約束條件為：利用Bayes方法，進行試驗設計，就是結合裝備的關于μ的驗前信息，在滿足式（4）條件下，選擇使式（3）成立的最小的現(xiàn)場試驗次數(shù)n?；趕方法的α、β）的計算假設某產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布（μ，σ2，其中方差2已知，對參數(shù)μ（式1。在s分析中，通常是基于損失函數(shù)進行假設檢驗，選擇使得驗后損失達到最小的原假設或者備擇假設。0-1損失函數(shù)是Bayes方法中應用較為廣泛的一種損失函數(shù)，所以在此采用0-1損失函數(shù)[2]進行分析。設損失函數(shù)為：式（5）中：αi(i=0,1)——采納假設Hi的行為；μ——上述正態(tài)分布中的參數(shù)；Θ=Θ0∪Θ1，Θ0∩Θ1=Φ，Θ為參數(shù)空間，取Θ=(-∞，∞)，Θ0，Θ1為Θ的一個分劃。設X=(x1,x2,…,xn)為對總體進行抽樣所得到的樣本，按照驗后期望損失最小的原則可得Bayes決策不等式[13]為：式（6）中：accH0——接納原假設；accH1——接納備擇假設。取μ的驗前分布π(μ)為正態(tài)分布N(θ,τ2)，其中超參數(shù)θ,τ2已知，否則可通過驗前分布確定的相關計算方法得到，如工程意義法、專家信息法等[2]計算得到。由樣本X，可得似然函數(shù)為：由Bayes公式，可得м的驗后分布為：由于N(θ,τ2)是μ的共軛分布[2]，所以，π(μ|X)仍為正態(tài)分布，記為N(θ1,)，其中：式（9）中：考慮到檢驗的假設式（1，從而有式（10）中：f(μ|θ1,)——正態(tài)分布N(θ1,)的密度函數(shù)。記A為：則P(H1|X)=Φ(A)，P(H0|X)=1-Φ(A)。其中，為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。從而有A＝0時，Φ（）＝1－Φ（）＝5。聯(lián)合式（6、（，可得如下的決策不等式：從而可得拒絕原假設的拒絕域為：即由式（51即應滿足：定義決策臨界值為：從而有：進一步計算可得采納原假設H0的區(qū)域D0為：根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計[12]的相關理論，可知樣本均值服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)，在Bayes假設檢驗的情況下，犯兩類錯誤的概率為：例1假定θ=5001.2，τ2=5.7788，即取π(μ)為N(5001.2，5.7788)，并假定σ2=64，μ0=5000。由式（19）計算，可得不同樣本量n條件下兩類風險的具體取值，如圖1所示。從圖1可以看出，第二類風險隨著樣本量的增加而嚴格地遞減，第一類風險在剛開始有上升趨勢，這只是在極小樣本時產(chǎn)生的波動問題，但是變化幅度并不大，隨后也是嚴格地遞減，這是符合實際情況的。Matlab由于Matlab[14]具備強大的計算功能，能進行復雜的積分運算，因此在N不大的條件下，可采用b進行枚舉計算，選擇滿足式（3、4）要求的n。計算步驟如下：a）Step1根據(jù)實際情況選擇C0，C1，C2，C3，α0，β0和n0，N的具體數(shù)值。b）Step2根據(jù)驗前信息，包括歷史試驗數(shù)據(jù)、子系統(tǒng)信息、專家信息和仿真信息等確定μ驗前分布，確定θ,τ2的具體數(shù)值。p3（9）α（n，β（n）αn，n）（4，則繼續(xù)下面的步驟；否則，說明現(xiàn)有的信息和樣本量還不能滿足最低的檢驗條件，需修改約束條件（4）或者收集更多的驗前Step。d）Step4定義損失的初始值CT=C0+C1N+C2α(N)+C3β(N)+1。e）Step5取n=n0。f）p6由式（）計算α（n，β（n，若α（n，β（n）滿足式4，則由式（2）計算f（nf（n）＜，則記n為當前最優(yōu)的試驗次數(shù)，MC=μ0+(μ0-θσ2/(nCτ2CT=fc，1，繼續(xù)進行p6；若α（n，βn）不滿足式（4，n=n+1，Step。在假設檢驗中，若僅要求則僅需對模型 （3）進行修正，選擇一個較大的0（例如0，令0，并取1，即可。通過上述的循環(huán)計算，即可得到最優(yōu)的試驗次數(shù)nC和決策的臨界值MC。試驗實施時，安排進行nC次試驗。試驗完畢后，計算樣本均值，并進行判斷，若樣本的試驗結果X∈D1則拒絕原假設，否則不能拒絕原假設。4示例分析例2假設xx型號產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布N(μ,64)，假設使用方要求該部件的壽命不能低于5000h，如果規(guī)定的兩類風險為α0=0.10，β0=0.15，試給出驗證試驗設計方案。驗前分布超參數(shù)的估計在本項目研究中，對于正態(tài)分布中方差σ2已知的情況，取正態(tài)分布N(θ,τ2)為期望μ的共軛驗前分布，其參數(shù)可采用工程意義法來確定。當具有多批驗前試驗數(shù)據(jù)時，也可采用下述方法來估計超參數(shù)。假設驗前試驗數(shù)據(jù)為，其中i=1，2，…，mj表示第j批試驗數(shù)據(jù)中的序號，j=1，2，…，t表示試驗數(shù)據(jù)的批次。那么第j批數(shù)據(jù)的均值為：超參數(shù)θ和τ2的估計為：1（2（20）計算可得=5001.2=5.7788。最小樣本量的求解根據(jù)題意對參數(shù)做出如下檢驗假設：由式（7n在本例中，若選擇n0=1，N=1000，C0=100，C1=30，C2=40000，C3=30000，則可得nC=57，此時MC=4999.7668，f(57)=5782.4954。此時實際的α(57)=0.0489，β(57)=0.0660。損失隨試驗次數(shù)n的變化情況如圖2所示。表3列出了不同現(xiàn)場試驗次數(shù)下的兩類風險與損失的計算結果。n0=1N=1000C0=100C1=30C2=40000C3=50000000，C2=1，C3=1時,則可得nC=10，此時實際的α(10)=0.0727，β(10)=0.1471。分析上述計算結果可以看出，損失模型中的系數(shù)(C0，C1，C2，C3)不一樣時，同樣的樣本量所對應的損失是不一樣的，所得出的最優(yōu)樣本量也不一樣。這就說明，對于一個損失模型來說，系數(shù)的確定非常重要，當系數(shù)選取恰當時，可以準確地對試驗方案進行評價，從而挑選出最優(yōu)試驗方案，為裝備的驗收鑒定提供決策依據(jù)。因此，在進行試驗設計時，應通過充分、全面的市場調研與分析，給出各系數(shù)一精確取值，從而確保得到優(yōu)化的試驗設計方案。6結束語本文根據(jù)Bayes理論，在兩類風險的要求下，對裝備戰(zhàn)技指標服從正態(tài)分布條件下的可靠性的驗證試驗設計進行了研究，建立了滿足兩類風險的最小樣本量的非線性約束模型；基于0-1損失函數(shù)，按照驗后風險最小的原則，推導出了兩類風險的計算公式，并基于Matlab給出了最小樣本量的計算步驟。這種方但在具體的應用過程中可在如下方面進行進一步的研究：a）對于具體的可靠性驗證試驗，如何根據(jù)待試驗的裝備、現(xiàn)有的試驗條件以及該裝備在未來作戰(zhàn)中擔負的職能等因素來確定試驗的初始費用、單個樣本的試系數(shù)C0，C1，C2，C3。b）本文僅對可靠性指標服從正態(tài)分布的情況進行了研究，當裝備的可靠性指對其可靠性驗證試驗方案進行設計。0-10-1設比較簡單，在具體的應用中，可以根據(jù)實際情況來選擇合適的損失函數(shù)，構建更加準確的損失模型，從而找到最優(yōu)的試驗方案。參考文獻：PatrickD.T.O'connor[M].北京：電子工業(yè)出版社,2005.武小悅,劉琦.裝備試驗與評價[M].北京：國防工業(yè)出版社,2008.AnnaPavlisková.Reliabilityandcontinuousregenerationmodel[J].ActaMontanisticaSlovacaRoník,2006，(2):119-121.MIl-HDBK-338b-1998，Electronicreliabilitydesignhandbook[S].LIUChang-hong,LIUXin-tian,WangRen-liang.Theanalysisofthedistributionofthefailurestatisticaldatahydrogen-adjacentpipelines[