山東省青島市第二十四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山東省青島市第二十四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等式成立是成等差數(shù)列的 （

）A．充分不必要條件

B.充要條件

C．必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：【答案解析】A

解析：若等式成立，則，

此時(shí)不一定成等差數(shù)列，

若成等差數(shù)列，則，等式成立，所以“等式成立”是“成等差數(shù)列”的．必要而不充分條件．

故選A．【思路點(diǎn)撥】由正弦函數(shù)的圖象及周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行雙向判斷即可．2.過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為（）A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=0參考答案：B【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】由題意畫出圖形，可得點(diǎn)（3，1）在圓（x﹣1）2+y2=r2上，求出圓心與切點(diǎn)連線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：如圖，∵過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=r2的切線有且只有一條，∴點(diǎn)（3，1）在圓（x﹣1）2+y2=r2上，連接圓心與切點(diǎn)連線的斜率為k=，∴切線的斜率為﹣2，則圓的切線方程為y﹣1=﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7=0．故選：B．3.設(shè)集合，，則A. B. C. D.參考答案：C4.下列命題中的假命題是

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C5.函數(shù)的圖像大致是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)奇偶性和函數(shù)的特殊點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】令，則，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，排除C選項(xiàng).由，解得且.，排除D選項(xiàng).，故可排除B選項(xiàng).所以本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，主要通過(guò)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)進(jìn)行排除，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(

)

A．（3,+∞）

B．（2,3）

C．（1,2）

D．（0,1）參考答案：B略7.命題，，則為…………（

）A． B．

C． D．參考答案：C略8.已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是A.

B.

C.

D.參考答案：C9.設(shè)i為虛數(shù)單位，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】化簡(jiǎn)題目所給表達(dá)式為的形式，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.命題“存在”為假命題是命題“”的(

)A．充要條件

B．必要不充分條件

C．充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則cos2θ=．參考答案：【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用．12.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為

參考答案：13.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為_____；系數(shù)最大的項(xiàng)為_____．參考答案：﹣160

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中x2的系數(shù)，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求出系數(shù)最大的項(xiàng)．【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中的系數(shù)為．第項(xiàng)的系數(shù)為，要使該項(xiàng)的系數(shù)最大，應(yīng)為偶數(shù)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，時(shí)，該項(xiàng)的系數(shù)最大，為240，故系數(shù)最大的項(xiàng)為，故答案為：﹣160；．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率為

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型．解：由已知得半圓（a＞0）則半圓的面積S=其中原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸夾角小于的平面區(qū)域面積為：S1=故原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸夾角小于的概率P===故答案為：【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件，分別求出題目中半圓的面積，再求出滿足條件原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸夾角小于的事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，然后代入幾何概型，即可得到答案．【典型總結(jié)】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=求解．15..已知復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的模為______參考答案：【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算性質(zhì)可直接求得結(jié)果.【詳解】

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，若,則實(shí)數(shù)的最小值為

．參考答案：317.是定義在R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=________.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，設(shè)橢圓C1：+=1（a＞b＞0），長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線C2：y2=8x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓C1的離心率是．（1）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F作直線l交拋物線C2于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F且與直線l垂直的直線交橢圓C1于另一點(diǎn)C，求△ABC面積的最小值，以及取到最小值時(shí)直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由已知可得a，又由橢圓C1的離心率得c，b=1即可．（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）的直線l的方程設(shè)為：x=my+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=，同理得|CF|=?．△ABC面積s=|AB|?|CF|=．令，則s=f（t）=，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可．【解答】解：（1）∵橢圓C1：+=1（a＞b＞0），長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線C2：y2=8x的焦點(diǎn)F重合，∴a=2，又∵橢圓C1的離心率是．∴c=，?b=1，∴橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程：．（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）的直線l的方程設(shè)為：x=my+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立得y2﹣8my﹣16=0．y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|==8（1+m2）．過(guò)F且與直線l垂直的直線設(shè)為：y=﹣m（x﹣2）聯(lián)立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，xC+2=，?xC=．∴|CF|=?．△ABC面積s=|AB|?|CF|=．令，則s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，則t2=，即1+m2=時(shí)，△ABC面積最?。串?dāng)m=±時(shí)，△ABC面積的最小值為9，此時(shí)直線l的方程為：x=±y+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．19.(本小題滿分14分)已知函數(shù)，.(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)設(shè)，，，為函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，若過(guò)，兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)依題意，的定義域?yàn)椋?(ⅰ)若，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).(ⅱ)若，恒成立，故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).20.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。參考答案：21.雙曲線的焦點(diǎn)分別為：,且雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A在雙曲線C上，點(diǎn)B在直線上，且，是點(diǎn)的面積.參考答案：（1）設(shè)直線，代入得：設(shè)，則；由得：因?yàn)?所以化簡(jiǎn)得：，于是原點(diǎn)到的距離特別地，當(dāng)軸時(shí)，也符合，故存在圓與直線恒相切.（2）設(shè)，則代入得，，于是所以.22.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求sin2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理列出關(guān)系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把cosB的值代入計(jì)算即可求出值；（Ⅱ）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式求出面積的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a2+c2﹣b2=2