山東省青島市第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

山東省青島市第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱點(diǎn)對(duì)(P,Q)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)(P,Q)與點(diǎn)對(duì)(Q,P)為同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”).已知函數(shù)f(x)=則f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（

）個(gè).A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：C2.設(shè)全集,集合M,則的值為A.2或

B.或

C.或8

D.2或8參考答案：D3.下列四個(gè)選項(xiàng)給出的條件中，能唯一確定四面體ABCD的是

A．四面體ABCD三對(duì)對(duì)棱（即沒有公共頂點(diǎn)的棱）分別相等，長(zhǎng)度分別是1cm，2cm,3cm

B．四面體ABCD有五條棱長(zhǎng)都是1cm

C．四面體ABCD內(nèi)切球的半徑是1cm

D．四面體ABCD外接球的半徑是1cm參考答案：A4.對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，若的運(yùn)算原理如右圖程序框圖所示，則=________。參考答案：略5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）．

A． B． C． D．參考答案：A解：∵，，，∴．

故選．6.四面體中，三組對(duì)棱的長(zhǎng)分別相等，依次為5，4，，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉(cāng)，高1丈3尺3寸，容納米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛為容積單位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），則圓柱底圓周長(zhǎng)約為（）A．l丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺參考答案：B【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)圓柱的體積和高計(jì)算出圓柱的底面周長(zhǎng)，從而求出圓周的底面周長(zhǎng)．【解答】解：由題意得，圓柱形谷倉(cāng)底面半徑為r尺，谷倉(cāng)高h(yuǎn)=尺．于是谷倉(cāng)的體積V==2000×1.62．解得r≈9．∴圓柱圓的周面周長(zhǎng)為2πr≈54尺．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的體積計(jì)算，注意單位換算，屬于基礎(chǔ)題．8.若,則下列不等式成立的是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以.故D項(xiàng)正確.9.給出兩個(gè)命題：：的充要條件是為非負(fù)實(shí)數(shù)；：奇函數(shù)的圖像一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則假命題是A．或Ｂ．且

C．﹁且

D．﹁或參考答案：C10.設(shè)向量，，定義一運(yùn)算：,已知，。點(diǎn)Q在的圖像上運(yùn)動(dòng)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最大值及最小正周期分別是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若

，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：12.《九章算術(shù)》中“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有恒厚若千尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，則的值為，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)―尺，以后每天減半，如果墻足夠厚，為前天兩只老鼠打洞之和，則

尺．參考答案：試題分析：由題意知:大老鼠每天打洞的距離是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,前天打洞之和為,同理,小老鼠每天打洞的距離為,所以,因此,本題正確答案是.考點(diǎn)：等比數(shù)列求和.【思路點(diǎn)晴】解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟為:?審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型；?建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；?求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原:將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義,求最值常用基本不等式或?qū)?shù).13.函數(shù)f（x）=的最小正周期是

．參考答案：π【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用行列式的運(yùn)算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)的最小正周期．【解答】解：函數(shù)f（x）==sin2x﹣4cos2x=1﹣5cos2x=1﹣5?=﹣﹣cos2x的最小正周期是=π，故答案為：π．14.設(shè)，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則所取的值為

參考答案：；15.下圖甲是某市有關(guān)部門根據(jù)對(duì)當(dāng)?shù)馗刹康脑率杖肭闆r調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖甲中從左向右第一組的頻數(shù)為4000．在樣本中記月收入在，,的人數(shù)依次為、、……、．圖乙是統(tǒng)計(jì)圖甲中月工資收入在一定范圍內(nèi)的人數(shù)的算法流程圖，圖乙輸出的

．（用數(shù)字作答）參考答案：6000略16.設(shè)計(jì)算法，輸出1000以內(nèi)能被3和5整除的所有正整數(shù)，已知算法流程圖如右圖，請(qǐng)?zhí)顚懣沼嗖糠郑孩賍________；②__________.參考答案：①a=15n；②n>66略17.定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足（1）；（2），則有

參考答案：(2分)（3分）

注意到和，易求得；因?yàn)?，所以故有三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系將f（x）=4cosxsin（x+）﹣1轉(zhuǎn)化為f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求其的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，﹣1≤2sin（2x+）≤2．∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．19.（本題滿分14分）已知數(shù)列、

滿足，，。（I）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求證：。參考答案：（本題滿分14分）解：（I）由得

代入，

得，整理得。∵，否則，與

矛盾。從而得，∵

∴數(shù)列

是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列?！?，即．---------------------------------7分（II）∵，∴＝＝。證法1：∵

＝

＝∴．------------------------------------------14分證法2：∵，∴，∴?！啵?-------------------------------------14分略20.（本題滿分14分）已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，滿足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)當(dāng)f(3)＝5時(shí)，解不等式f(a2－2a－2)<3.參考答案：解：(1)證明：設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，···············1∵當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2∴f(x2－x1)>2

·····························2∵f(x＋y)=f(x)＋f(y)-2，∴f(x2)-f(x1)=f[(x2－x1)＋x1]-2-f(x1)=f(x2－x1)＋f(x1)-2-f(x1)=f(x2－x1)-2>2-2=0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函數(shù)．

································7(2)由題意知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－2.∴5＝f(3)＝f(1＋2)＝f(2)＋f(1)－2

＝f(1)＋f(1)－2＋f(1)－2＝3f(1)－4.∴f(1)＝3.

····························9∴不等式f(a2－2a－2)<3等價(jià)于f(a2－2a－2)<f(1)．

·····························10又f(x)在R上為增函數(shù)，∴a2－2a－2<1

·················11即a2－2a－3<0，∴－1<a<3.

····················13即原不等式的解集為{a|－1<a<3}．

·····················1421.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并把這個(gè)元素寫出來；(3)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．參考答案：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0無(wú)解，得∴a>，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，＋∞)．(2)當(dāng)a＝0時(shí)，方程只有一解，方程的解為x＝；當(dāng)a≠0時(shí)，應(yīng)有Δ＝0，∴a＝，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，A中只有一個(gè)元素，∴當(dāng)a＝0或a＝時(shí)，A中只有一個(gè)元素，分別是和．(3)A中至多有一個(gè)元素，包括A是空集和A中只有一個(gè)元素兩種情況，根據(jù)