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山西省臨汾市下善中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R)滿足z2+z=1﹣3i,則a=()A.﹣2 B.﹣2或1 C.2或﹣1 D.1參考答案:A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】把z=a+i代入z2+z=1﹣3i,整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a值.【解答】解:∵z=a+i,∴z2+z=(a+i)2+a+i=a2+a﹣1+2ai+i=1﹣3i,∴,解得a=﹣2.故選:A.【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)在區(qū)間恰有一個零點,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.參考答案:D3.(5分)(2015?慶陽模擬)已知向量=(1,n),=(﹣1,n),若2﹣與垂直,則n2的值為()A.1B.2C.3D.4參考答案:C【考點】:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【專題】:計算題;平面向量及應(yīng)用.【分析】:運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和向量垂直的條件:數(shù)量積為0,計算即可得到所求值.解:向量=(1,n).=(﹣1,n),則2﹣=(3,n),若2﹣與垂直,則(2﹣)=0,則有﹣3+n2=0,n2=3.故選C.【點評】:本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量的垂直的條件,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.命題“若,則有實數(shù)根”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,假命題的個數(shù)是(▲)
A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:C略5.閱讀右邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出S的值為(
)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8參考答案:B試題分析:依次循環(huán):結(jié)束循環(huán),輸出,選B.6.在中,角的對邊分別為,則“”是“是等腰三角形”的(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充分必要條件
(D)既不充分也不必要條件參考答案:A若,由正弦定理得,即,所以,即,所以,即,所以是等腰三角形。若是等腰三角形,當(dāng)時,不一定成立,所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件,選A.7.若向量,的夾角為,且||=2,||=1,則與+2的夾角為(
) A. B. C. D.參考答案:A考點:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.專題:平面向量及應(yīng)用.分析:利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的夾角公式即可得出.解答: 解:∵向量,的夾角為,且||=2,||=1,∴===1.∴==22+2×1=6,==.∴===,∴與+2的夾角為.故選:A.點評:本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的夾角公式,屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},則M中元素的個數(shù)為(
)A.3 B.4 C.5 D.6參考答案:B【考點】集合的確定性、互異性、無序性;集合中元素個數(shù)的最值.【專題】計算題.【分析】利用已知條件,直接求出a+b,利用集合元素互異求出M中元素的個數(shù)即可.【解答】解:因為集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},所以a+b的值可能為:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8,所以M中元素只有:5,6,7,8.共4個.故選B.【點評】本題考查集合中元素個數(shù)的最值,集合中元素的互異性的應(yīng)用,考查計算能力.9.已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示,則()A.ω=1,φ=
B.ω=1,φ=-C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-參考答案:D10.已知過曲線上一點與原點的直線的傾斜角為,則點坐標(biāo)是(
)A.(,)B.C.(,)D.參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若(其中為整數(shù)),則稱為離實數(shù)最近的整數(shù),記作,即.(1)若,則的值域是
;(2)設(shè)集合,,若集合的子集恰有個,則實數(shù)的取值范圍是
.參考答案:;或.(1)當(dāng)時,,.故填.(2)由條件知是周期為的周期函數(shù),由周期性可作出其圖象.又集合的子集恰有個,即中只有兩個元素.作出和的圖象如圖所示,則有
或,即或.故填或.【解題探究】本題是一道涉及創(chuàng)新定義、體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的小綜合題.解題關(guān)鍵是理解“離實數(shù)最近的整數(shù)”的數(shù)學(xué)意義,第(2)問由條件得到函數(shù)的周期性是解題的突破,這樣可以得到函數(shù)的圖象,從而求出實數(shù)的取值范圍.另外解題中還要注意特殊點的選取,對應(yīng)區(qū)間端點是否取得.12.點A,B,C,D在同一球面上,AB=BC=,AC=2,若球的表面積為,則四面體ABCD體積的最大值為.參考答案:【考點】球的體積和表面積;棱柱、棱錐、棱臺的體積.【專題】計算題;空間位置關(guān)系與距離.【分析】根據(jù)幾何體的特征,判定外接球的球心,求出球的半徑,即可求出球的表面積.【解答】解:根據(jù)題意知,△ABC是一個直角三角形,其面積為1.其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上,設(shè)小圓的圓心為Q,球的半徑為r,因為球的表面積為,所以4πr2=所以r=,四面體ABCD的體積的最大值,底面積S△ABC不變,高最大時體積最大,就是D到底面ABC距離最大值時,h=r+=2.四面體ABCD體積的最大值為×S△ABC×h==,故答案為:.【點評】本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體,球的表面積,其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值,是解答的關(guān)鍵.13.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,點到直線的距離是
參考答案:114.設(shè)a=log36,b=log510,c=log714,則(A)c>b>a
(B)b>c>a
(C)a>c>b
(D)a>b>c參考答案:D15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點F為拋物線x2=8y的焦點,則F到雙曲線的漸近線的距離為
.參考答案:【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】求得拋物線的焦點和雙曲線的漸近線方程,再由點到直線的距離公式計算即可得到所求值.【解答】解:拋物線x2=8y的焦點F(0,2),雙曲線的漸近線方程為y=±3x,則F到雙曲線的漸近線的距離為d==.故答案為:.【點評】本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì),主要考查焦點和漸近線方程的求法,考查點到直線的距離公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)α為銳角,若sin(α﹣)=,則cos2α=.參考答案:﹣【考點】二倍角的余弦.【專題】三角函數(shù)的求值.【分析】由已知及同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cos(α﹣),從而可求sin的值,利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可得解.【解答】解:∵α為銳角,若sin(α﹣)=,∴cos(α﹣)=,∴sin=[sin(α﹣)+cos(α﹣)]=,∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣.故答案為:﹣.【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.17.已知某幾何體的三視圖如圖所示,這該幾何體的體積為▲
,表面積為▲
.參考答案:,
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值.參考答案:解:(Ⅰ)
…………2分
……………4分所以函數(shù)的最小正周期為.
…………6分由,,則.則函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是,.
………………9分
(Ⅱ)由,得.
………11分則當(dāng),即時,取得最小值.…13分
略19.已知函數(shù),.(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)證明:對于任意正整數(shù),都有成立.附:.參考答案:(1)設(shè)..,,所以當(dāng)時,,于是在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,于是在上單調(diào)遞減.所以,,所以.(2)根據(jù)(1)可知時有不等式在上恒成立,又因為,所以,即成立.所以不等式在上恒成立.所以對于任意正整數(shù),恒成立.所以,,…,,所以,所以,,所以.20.已知等差數(shù)列前項和為,且(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)令()求數(shù)列前項和為參考答案:解:(1)由題意得,即,
,故
(2)由(1)有
∴21.甲乙兩個口袋分別裝有四張撲克牌,甲口袋內(nèi)的四張牌分別為紅桃A,方片A,黑桃Q與梅花K,乙口袋內(nèi)的四張牌分別為黑桃A,方片Q,梅花Q與黑桃K,從兩個口袋分別任取兩張牌.(Ⅰ)求恰好抽到兩張A的概率.(Ⅱ)記四張牌中含有黑桃的張數(shù)為x,求x的分布列與期望.參考答案:【考點】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列.【分析】(Ⅰ)基本事件總數(shù)n==36,恰好抽到兩張A包含的基本事件個數(shù)m==15,由此能求出恰好抽到兩張A的概率.(Ⅱ)由題意X的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和E(X).【解答】解:(Ⅰ)甲乙兩個口袋分別裝有四張撲克牌,甲口袋內(nèi)的四張牌分別為紅桃A,方片A,黑桃Q與梅花K,乙口袋內(nèi)的四張牌分別為黑桃A,方片Q,梅花Q與黑桃K,從兩個口袋分別任取兩張牌.基本事件總數(shù)n==36,恰好抽到兩張A包含的基本事件個數(shù)m==15,∴恰好抽到兩張A的概率p==.(Ⅱ)由題意X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,∴X的分布列為:X0123PE(X)==.22.(本小題滿分12分)已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值;(2)用定義證明在上為減函數(shù).(3)若對于任意,不等式恒成立,求的范圍.參考答案:(1)
……………2分
經(jīng)檢驗符合題意.
……………4分
(2)任取
則=
…
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