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山西省臨汾市隰縣第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.若一個(gè)球的半徑為1,則它的表面積是()A.4π B.2π C.π D.參考答案:A【考點(diǎn)】球的體積和表面積.【分析】直接利用球的表面積公式,即可得出結(jié)論.【解答】解:由題意,半徑為1的球的表面積是4π?12=4π.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).2.已知數(shù)列{an}滿足:則a20=(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C3.若雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn).若直線的傾斜角分別為,且,那么的值是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a2=3,a1+a6=12,則a7+a8+a9=()A.27 B.36 C.45 D.63參考答案:C【考點(diǎn)】84:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差,然后將a7+a8+a9轉(zhuǎn)化成首項(xiàng)和公差,即可求出所求.【解答】解:∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a2=3,a1+a6=12∴a1+d=3,2a1+5d=12解得a1=1,d=2∴a7+a8+a9=3a1+21d=45故選C.5.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,若函數(shù)y=2f(x-1)-c與x軸有四個(gè)不同交點(diǎn),則c的取值范圍是A.(-1,2.5)B.(-1,5)
C.(-2,2.5)D.(-2,5)參考答案:D略6.已知是虛數(shù)單位,若,則A.
B.
C.
D.[參考答案:A7.若x、y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,則a的取值范圍是()A.(﹣4,2) B.(﹣1,2) C.(﹣4,0) D.(﹣2,4)參考答案:A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【專題】計(jì)算題;作圖題;不等式的解法及應(yīng)用.【分析】由題意作出其平面區(qū)域,將z=ax+2y化為y=﹣x+,相當(dāng)于直線y=﹣x+的縱截距,由幾何意義可得.【解答】解:由題意作出其平面區(qū)域,將z=ax+2y化為y=﹣x+,相當(dāng)于直線y=﹣x+的縱截距,則由目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值可知,﹣1<﹣<2,則﹣4<a<2,故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,作圖要細(xì)致認(rèn)真,屬于中檔題.8.已知x,y滿足的約束條件,則的最大值為(
)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:B【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形,確定出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】由題意,畫出約束條件所表示的平面區(qū)域,如圖所示,目標(biāo)函數(shù),可化為直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),此時(shí)在y軸上的截距最小,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.命題p:x∈R且滿足sin2x=1.命題q:x∈R且滿足tanx=1.則p是q的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:C【考點(diǎn)】2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【解答】解:由sin2x=1得2x=+2kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,由tanx=1,得x=,k∈Z,∴p是q的充要條件.故選:C.10.已知全集U={xIx<5},集合,則(A) (B)
(C)(D)參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.參考答案:(1,2]【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).【分析】當(dāng)x≤2時(shí),滿足f(x)≥4.當(dāng)x>2時(shí),由f(x)=3+logax≥4,即logax≥1,故有l(wèi)oga2≥1,由此求得a的范圍,綜合可得結(jié)論.【解答】解:由于函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),故當(dāng)x≤2時(shí),滿足f(x)=6﹣x≥4.當(dāng)x>2時(shí),由f(x)=3+logax≥4,∴l(xiāng)ogax≥1,∴l(xiāng)oga2≥1,∴1<a≤2.綜上可得,1<a≤2,故答案為:(1,2].12.函數(shù)在[0,3]上的最大值和最小值分別是_______.參考答案:5,-15;提示:求出極值和端點(diǎn)值,比較大小。13.(2﹣)6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答)參考答案:60【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出.【解答】解:通項(xiàng)公式Tr+1==(﹣1)r26﹣r,令3﹣=0,解得r=4.∴常數(shù)項(xiàng)是=60.故答案為:60.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.(x﹣)n的展開(kāi)式中,所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為512,則展開(kāi)式中x3的系數(shù)為(用數(shù)字作答).參考答案:126【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.【分析】先由條件求得n=9,在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中,令x的冪指數(shù)等于3,求出r的值,即可求得展開(kāi)式中x3的系數(shù).【解答】解:由題意2n=512,則n=9,通項(xiàng)公式為Tr+1=?(﹣1)r?,令9﹣r=3,求得r=4,可得該展開(kāi)式中x3的系數(shù)=126,故答案為:126.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.參考答案:略16.已知函數(shù),則函數(shù)的最小正周期是
.參考答案:π函數(shù)的最小正周期
17.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ),且直線2xcosα-2ysinα+1=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1相切,則向量a與b的夾角為_(kāi)_____.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題共13分)數(shù)列中,,(是常數(shù),),且成公比不為的等比數(shù)列.(I)求的值;(II)求的通項(xiàng)公式.參考答案:解析:(I),,,因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以,解得或.當(dāng)時(shí),,不符合題意舍去,故.(II)當(dāng)時(shí),由于,,,所以.又,,故.當(dāng)時(shí),上式也成立,所以.19.Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,,且.(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案:解:(I)由
①得
②②-①得整理得(Ⅱ)由可知?jiǎng)t20.已知函數(shù)f(x)=2lnx﹣ax+a(a∈R).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)若f(x)≤0恒成立,證明:當(dāng)0<x1<x2時(shí),.參考答案:考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析:(I)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′(x),對(duì)a分類討論即可得出其單調(diào)性;(II)通過(guò)對(duì)a分類討論,得到當(dāng)a=2,滿足條件且lnx≤x﹣1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”).利用此結(jié)論即可證明.解答: 解:(Ⅰ)求導(dǎo)得f′(x)=,x>0.若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上遞增;若a>0,當(dāng)x∈(0,)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若a≤0,f(x)在(0,+∞)上遞增,又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立.若a>2,當(dāng)x∈(,1)時(shí),f(x)遞減,f(x)>f(1)=0,不合題意.若0<a<2,當(dāng)x∈(1,)時(shí),f(x)遞增,f(x)>f(1)=0,不合題意.若a=2,f(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,f(x)≤f(1)=0,合題意.故a=2,且lnx≤x﹣1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”).當(dāng)0<x1<x2時(shí),f(x2)﹣f(x1)=2ln﹣2(x2﹣x1)<2(﹣1)﹣2(x2﹣x1)=2(﹣1)(x2﹣x1),∴<2(1﹣1).點(diǎn)評(píng):熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵.21.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)cn=anbn,n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.參考答案:【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】(Ⅰ)設(shè)出數(shù)列{an}的公比和數(shù)列{bn}的公差,由題意列出關(guān)于q,d的方程組,求解方程組得到q,d的值,則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;(Ⅱ)由題意得到,然后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.【解答】解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,數(shù)列{bn}的公差為d,由題意,q>0,由已知有,消去d整理得:q4﹣2q2﹣8=0.∵q>0,解得q=2,∴d=2,∴數(shù)列{an}的
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