高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試 獲獎作品

專題一導(dǎo)數(shù)的概念及運算在對函數(shù)求導(dǎo)時，應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式，對不具備求導(dǎo)法則條件的式子，在求導(dǎo)前應(yīng)先利用代數(shù)、三角恒等變換對函數(shù)式進(jìn)行化簡，再求導(dǎo)．例1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x＋2)的導(dǎo)數(shù)解析因為Δy＝eq\f(1,x＋Δx＋2)－eq\f(1,x＋2)＝eq\f(－Δx,x＋Δx＋2x＋2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－1,x＋Δx＋2x＋2)，所以f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[eq\f(－1,x＋Δx＋2x＋2)]＝－eq\f(1,x＋2x＋2)＝－eq\f(1,x＋22)..（鞏固訓(xùn)練）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)等于()A．f′(x0)B．－f′(x0)C．f(x0)D．－f(x0)解析：lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝－lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f[x0＋－Δx]－fx0,－Δx)＝－f′(x0)．故選B例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝exlnx;(2)y＝eq\f(1＋sinx,1－cosx).解析(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋eq\f(ex,x).(2)y′＝eq\f(1＋sinx′1－cosx－1＋sinx1－cosx′,1－cosx2)＝eq\f(cosx1－cosx－1＋sinxsinx,1－cosx2)＝eq\f(cosx－sinx－1,1－cosx2)..（鞏固訓(xùn)練）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x2＋tanx;(2)y＝xe－x.解析：(1)因為y＝x2＋tanx＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋(eq\f(sinx,cosx))′＝2x＋eq\f(cos2x－sinx－sinx,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).(2)因為y＝xe－x＝eq\f(x,ex)，所以y′＝(eq\f(x,ex))′＝eq\f(ex－xex,ex2)＝eq\f(1－x,ex).專題二求切線的方程利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率求切線方程。有如下三種類型：①已知切點(x0，y0)，求切線方程；②已知切線的斜率k，求切線方程；③求過(x1，y1)的切線方程．其中①是基本類型，類型②和類型③都可轉(zhuǎn)化為類型①進(jìn)行處理．類型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切線方程．類型②，設(shè)出切點(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切線上，又在曲線上求解；類型③，先設(shè)出切點(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知點(x1，y1)在切線上求解．例3函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx－2x,x)的圖象在點(1，－2)處的切線方程為()A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0解析f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，則f′(1)＝1，故該切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C.（鞏固訓(xùn)練）曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程為____________．【答案】4x－y－3＝0解析因為y′＝3lnx＋4，所以k＝y(tǒng)′|x＝1＝3ln1＋4＝4，又切點為(1,1)，所以切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.例4與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程是()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0解析對y＝x2求導(dǎo)得y′＝2x.設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))，則切線斜率為k＝2x0.由2x0＝2得x0＝1，故切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故選D.（鞏固訓(xùn)練）已知點P在曲線f(x)＝x4－x上，曲線在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標(biāo)為________．答案：(1，0)解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因為f′(x)＝4x3－1，所以4xeq\o\al(3,0)－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．例5過點A(0,16)作曲線y＝x3－3x的切線，求此切線方程.解析因為點A(0,16)不在曲線y＝x3－3x上，設(shè)切點為M(x0，y0)，則有y0＝xeq\o\al(3,0)－3x0，又y′x＝x0＝3(xeq\o\al(2,0)－1)，故切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)．所以A(0,16)在切線上，所以16－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(0－x0)，化簡得xeq\o\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2.所以切點為M(－2，－2)，切線方程為9x－y＋16＝0（鞏固訓(xùn)練）已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xlnx上，∴設(shè)切點為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，