高中數(shù)學(xué)北師大版第二章解三角形單元測(cè)試學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)14

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十四)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h，則14時(shí)兩船之間的距離是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile【解析】到14時(shí)，輪船A和輪船B分別走了50nmile，30nmile，由余弦定理得兩船之間的距離為l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70nmile.【答案】B2．如圖2-3-7所示，從山頂望地面上C，D兩點(diǎn)，測(cè)得它們的俯角分別為45°和30°，已知CD＝100米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于()圖2-3-7A．100米 B．50eq\r(3)米C．50eq\r(2)米 D．50(eq\r(3)＋1)米【解析】設(shè)山高為h，則由題意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，所以eq\r(3)h－h(huán)＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1)米．【答案】D3．如圖2-3-8，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是β，α(α＜β)，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()圖2-3-8\f(asinα·sinβ,sinβ－α) \f(asinα·sinβ,cosα－β)\f(asinα·cosβ,sinβ－α) D．eq\f(acosα·sinβ,cosα－β)【解析】在△ADC中，∠DAC＝β－α.由正弦定理得eq\f(a,sinβ－α)＝eq\f(AC,sinα)，∴AC＝eq\f(a·sinα,sinβ－α)，∴AB＝AC·sinβ＝eq\f(a·sinα·sinβ,sinβ－α).【答案】A4．有一個(gè)長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長()A．1千米 B．eq\r(2)千米\r(3)千米 D．2千米【解析】如圖，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)千米．【答案】B5．(2023·四川高考)如圖2-3-9，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()圖2-3-9A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m【解析】如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．【答案】C二、填空題6．某人向正東方向走xkm后向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好eq\r(3)km，那么x的值為______.【解析】如圖所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理得(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3·x·cos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq\r(3)，x2＝2eq\r(3)，檢驗(yàn)均符合題意．【答案】eq\r(3)或2eq\r(3)7．在200m的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為________．【解析】如圖，設(shè)塔AB高為h，在Rt△CDB中，CD＝200m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝eq\f(200,cos30°)＝eq\f(400\r(3),3)(m)．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°)，∴AB＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(400,3)m.【答案】eq\f(400,3)m8．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距________m.【解析】如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．【答案】10eq\r(3)三、解答題9．A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)，如圖2-3-10，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A、D相距2km，C、D相距(3eq\r(2)－eq\r(6))km，求A、B兩景點(diǎn)的距離．圖2-3-10【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即BD＝eq\f(CD·sin75°,sin60°)＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD為等邊三角形，∴AB＝2.即A、B兩景點(diǎn)的距離為2km.10．據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島正東方向300km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響，問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？說明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67940044】圖2-3-11【解】設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，由題意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30t·cos60°，若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件|SB|≤270，即SB2≤2702，化簡(jiǎn)得t2－10t＋19≤0，解得5－eq\r(6)≤t≤5＋eq\r(6)，所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過5－eq\r(6)小時(shí)S島開始受到影響，5＋eq\r(6)小時(shí)后影響結(jié)束．持續(xù)時(shí)間為(5＋eq\r(6))－(5－eq\r(6))＝2eq\r(6)小時(shí)．即S島受臺(tái)風(fēng)影響，從現(xiàn)在起，經(jīng)過5－eq\r(6)小時(shí)臺(tái)風(fēng)開始影響S島，持續(xù)2eq\r(6)小時(shí)．[能力提升]1．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m【解析】設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.【答案】A2．甲船在島A的正南B處，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為()\f(150,7)min B．eq\f(15,7)hC．min D．h【解析】如圖所示，當(dāng)兩船航行th時(shí)，甲船到D處，乙船到C處，則AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120°或AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60°.∴CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝28t2－20t＋100，∴當(dāng)t＝eq\f(5,14)h時(shí)，CD2最小，即兩船最近，t＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.【答案】A3．某同學(xué)騎電動(dòng)車以24km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則點(diǎn)B與電視塔的距離是________km.圖2-3-12【解析】如題圖，由題意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2).【答案】3eq\r(2)4．如圖2-3-13，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100km/h的速度向東勻速行駛，汽車開動(dòng)時(shí)，在O點(diǎn)南偏東方向距O點(diǎn)500km且在海岸距離為300km的海上M處有一快艇，與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機(jī)，問快艇至少必須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機(jī)手中？并求快艇以最小速度行駛時(shí)方向與OM所成的角．圖2-3-13【解】如圖所示，設(shè)快艇從M處以vkm/h的速度出發(fā)，沿MN方向航行，th后與汽車在N點(diǎn)相遇，在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.設(shè)∠MON＝α，由題意知，sinα＝eq\f(3,5)，則cosα＝eq\f(4,5)，由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2·OM·ON·cosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f(4,5)，整理得，v2＝eq\b\lc\(\rc\)