2021高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(文 精講)

ππ專(zhuān)題8.3

空間點(diǎn)、線、平面之的位置關(guān)系【情析1.理解空間直線、平面位置關(guān)系定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理定理；3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命.【點(diǎn)識(shí)理知點(diǎn)平面基性(1)公理：果一條直線上的點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理：不在一條直線上三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平注：三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)平．推論：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有只有一個(gè)平面．推論：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有只有一個(gè)平面．(3)公理：果兩個(gè)不重合的面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．知點(diǎn)空間兩線位關(guān)(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(1)兩條異面直線不能確定一個(gè)面．(2)不能把異面直線誤解為分別不同平面內(nèi)的兩條直.(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)，是條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作線a′①，′①，把與b所的銳角或角叫做異面直線a成的角或夾．①范圍：，.2(3)公理：行于同一條直線兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個(gè)角的邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么

這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(1)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這

兩個(gè)角互補(bǔ)．(3)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個(gè)角相等．知點(diǎn)空間直與面平與面位關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平、相交兩種情況．【識(shí)備1．唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個(gè)結(jié)論(1)平面外一點(diǎn)A與面內(nèi)一點(diǎn)B的線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的線是異面直線．(2)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直平行或異面．【型分】高考一

平的本質(zhì)應(yīng)【例】（2020·湖襄陽(yáng)五中模擬）以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)(①不共面的四點(diǎn)中，其中任意點(diǎn)不共線；①若點(diǎn)A，，D共，A，共面，則A，C，共面；①若直線a，共面，直線a，共面，則直線，c面；①依次首尾相接的四條線段必面．A．B．．．【方法技巧】證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的兩種方法(1)先由所給條件中的部分或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其的線()在這個(gè)平面內(nèi)(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重.證明點(diǎn)線問(wèn)題的兩種方法：先兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證

111111明這些點(diǎn)都在同一條特定直線如某兩個(gè)平面的交線上證明線點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該.【變式探究】（2020·江啟東中學(xué)模擬）如圖，正方體ACD中，，分是AB和AA的中點(diǎn)．求證：

1①，，，四點(diǎn)共面；1①，F(xiàn)DA三線共點(diǎn)．1高考二

判空直的置系【例2【全國(guó)Ⅲ卷】如圖，點(diǎn)N為方形ABCD的心eq\o\ac(△,，)為三角形，平面⊥面ABCD，M是段ED中點(diǎn)，()ABM，且直線BMEN是相交直線B．BM，直線BM，是相交直線C．BM=，且直線BM是異面直線D．EN且直線BM，是異面直線【方法技巧】異面直的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異.(2)定理：平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的線是異面直.點(diǎn)、線面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。

11111111111111111【變式探究】（2020·四綿陽(yáng)中學(xué)模擬）如圖，在正方體BCD中點(diǎn)E，分在A，AC上且E＝ED＝，EF與BD的置關(guān)系()11A．交不垂直B相交且垂直C異面D．行高考三

異直所的【例浙卷圖棱臺(tái)ABC中①ACB①ACD=45°．（）明①DB（）DF與面DBC所角的正弦值．【變式探究全國(guó)Ⅱ卷在長(zhǎng)方體－ABD中＝＝，AA＝3則異面直線AD與DB所角的余弦值)

1

52C.D.52【方法技巧】用平移法求異面直線所成角的一般步驟：

11111111111(1)作角用移法找或作)出符合題意的角；(2)求角轉(zhuǎn)為求一個(gè)三角形內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出角的大.【舉一反三(2018·全卷Ⅱ)在正方體－D中，E為棱CC的點(diǎn)，則面直線與所成角的切值()C.

【變式探究寧大連模擬）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDBD中＝，＝，＝，是的點(diǎn)，則異面直線與PD所的角等()A．C60°

B．45°D．專(zhuān)題8.3

空間點(diǎn)、線、平面之的位置關(guān)系【情析1.理解空間直線、平面位置關(guān)系定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理定理；3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命.【點(diǎn)識(shí)理知點(diǎn)平面基性(1)公理：果一條直線上的點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理：不在一條直線上三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平注：三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)平．推論：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有只有一個(gè)平面．推論：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有只有一個(gè)平面．

ππ(3)公理：果兩個(gè)不重合的面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．知點(diǎn)空間兩線位關(guān)(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(1)兩條異面直線不能確定一個(gè)面．(2)不能把異面直線誤解為分別不同平面內(nèi)的兩條直.(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)，是條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作線a′①，′①，把與b所的銳角或角叫做異面直線a成的角或夾．①范圍：，.2(3)公理：行于同一條直線兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個(gè)角的邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么

這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(1)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．(3)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個(gè)角相等．知點(diǎn)空間直與面平與面位關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平、相交兩種情況．【識(shí)備1．唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個(gè)結(jié)論(1)平面外一點(diǎn)A與面內(nèi)一點(diǎn)B的線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的線是異面直線．(2)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直平行或異面．

11111【型分】高考一

平的本質(zhì)應(yīng)【例】（2020·湖襄陽(yáng)五中模擬）以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)(①不共面的四點(diǎn)中，其中任意點(diǎn)不共線；①若點(diǎn)A，，D共，A，共面，則A，C，共面；①若直線a，共面，直線a，共面，則直線，c面；①依次首尾相接的四條線段必面．A．．．．【答案B【解析①正，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與共面的四點(diǎn)矛盾中若點(diǎn)A，在同一條直線上，則A，，，D不定共面，故錯(cuò)誤；①，直線bc可是異面直線，故①錯(cuò)；①，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段不面，①誤．【方法技巧】證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的兩種方法(1)先由所給條件中的部分或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其的線()在這個(gè)平面內(nèi)(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重.證明點(diǎn)線問(wèn)題的兩種方法：先兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線如某兩個(gè)平面的交線上證明線點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該.【變式探究】（2020·江啟東中學(xué)模擬）如圖，正方體ACD中，，分是AB和AA的中點(diǎn)．求證：

1①，，，四點(diǎn)共面；1

1111111111111①，F(xiàn)DA三線共點(diǎn)．1【證明】①如圖，連接，CD，B.①，分是AB，的點(diǎn)，1①①BA.1又AB①C①EF①，①，，，四點(diǎn)共面．1①①①，<CD，11①與DF必交，設(shè)交點(diǎn)為P，1則由①線CE，①面ABCD，得P平面.同理①面A.又平面∩平面ADDA＝，①①線，①，DFDA三共點(diǎn)．1高考二

判空直的置系【例2【全國(guó)Ⅲ卷】如圖，點(diǎn)N為方形ABCD的心eq\o\ac(△,，)為三角形，平面⊥面ABCD，M是段ED中點(diǎn)，()

1111111111ABM，且直線BMEN是相交直線B．BM，直線BM，

是相交直線C．BM=，且直線BM是異面直線D．EN且直線BM，是異面直線【答案B【解析】如圖所示，作

EOCD

于

O

，連接ON，，得直線，是角形EBD的線，是相交直線過(guò)作OD于F，接BF，平面

平面

平面

CDE

平面

ABCD

平面

ABCD

，MFB

△EON均為直角三角．設(shè)正方長(zhǎng)為2易知EO3,EN2，5BF,BM，BM

，故選B．【方法技巧】異面直的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異.(2)定理：平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的線是異面直.點(diǎn)、線面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系?！咀兪教骄俊浚?020·四綿陽(yáng)中學(xué)模擬）如圖，在正方體BCD中點(diǎn)E，分在A，

11111111AC上且E＝ED＝，EF與BD的置關(guān)系()11A．交不垂直B相交且垂直C異面D．行【答案D【解析】連接E并長(zhǎng)，與AD交點(diǎn)，由EED，可得為AD的點(diǎn)，連接BF并長(zhǎng)，交AD于N因?yàn)镃F＝，可得N為的點(diǎn)，所以，重合，所以EF和MEMF1MEMFBD共，且＝，＝，以＝，所以①，選D.ED2ED11高考三

異直所的【例浙卷圖棱臺(tái)ABC中①ACB①ACD=45°．

（）明①DB（）DF與面DBC所角的正弦值．【答案證明見(jiàn)解析）【解析】

（）作

AC

交

于H，接BH．①平面ADFC平面，而平面ADFC

平面ABCAC，平面ADFC，①DH面

，而

平面

，即有

．①

ACBACD45

，①

CD

22CHBC．在

CBH

中BH

2

CH

2

BC

2

cos45

2

有

2

BC

2

CH

2

BHBC

．由棱臺(tái)的定義可知，

EF/

，所以DHEF，BHEF，

H

，①EF面BHD，而平BHD，①EF（）因?yàn)?/CH

，所以DF與面

DBC

所成角即為與

CH

平面

DBC

所成角．作HGBD于G，接CG，（）知，⊥平面，因?yàn)樗云矫?/p>

平面而平面

平面BHD

，HG

平面，①HG面BCD．即

CH

在平面

DBC

內(nèi)的射影為，

即為所求角．在△HGC

中，設(shè)

BC

，則CH，HG

BH2aBD3a

，

111111→→1111ADDB1111111→→1111ADDB11①

HG13CH

．故與面所角的正弦值為

．【變式探究全國(guó)Ⅱ卷在長(zhǎng)方體－ABD中＝＝，AA＝3則異面直線AD與DB所角的余弦值)

1

52C.D.52【答案C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，DD所直線分別為x軸，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，