高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量向量的應(yīng)用 蘇教版 向量的應(yīng)用 教案

教學(xué)設(shè)計(jì)向量的應(yīng)用eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析1．在生產(chǎn)和日常生活中，有時(shí)會(huì)遇到既有大小，又有方向的量，這就為采用向量法解決問(wèn)題提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特征，又有幾何特征，通過(guò)向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的互相轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁．這樣向量又為解決幾何問(wèn)題提供了理論基礎(chǔ)，本節(jié)主要在于讓學(xué)生了解向量來(lái)源于實(shí)際又為解決實(shí)際問(wèn)題及幾何問(wèn)題提供方便，教學(xué)中注意難度的控制，同時(shí)還要注意，向量也是解決許多物理問(wèn)題的有力工具．2．本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí)，更好地體會(huì)向量這個(gè)工具的優(yōu)越性．對(duì)于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來(lái)代替“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”．這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果．代數(shù)方法的流程圖可以簡(jiǎn)單地表述為：則向量方法的流程圖可以簡(jiǎn)單地表述為：這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”，也是本節(jié)的重點(diǎn)．3．研究幾何可以采取不同的方法．這些方法包括：綜合方法——不使用其他工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論；解析方法——以數(shù)(代數(shù)式)和數(shù)(代數(shù)式)的運(yùn)算為工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論；向量方法——以向量和向量的運(yùn)算為工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論；分析方法——以微積分為工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論，等等．前三種方法都是中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的內(nèi)容．有些平面幾何問(wèn)題，利用向量方法求解比較容易．使用向量方法的要點(diǎn)在于用向量表示線段或點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)與線之間的關(guān)系，建立向量等式，再根據(jù)向量的線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的性質(zhì)，得出向量的系數(shù)應(yīng)滿足的方程組，求出方程組的解，從而解決問(wèn)題．使用向量方法時(shí)，要注意向量起點(diǎn)的選取，選取得當(dāng)可使計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化．①通過(guò)抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問(wèn)題；②認(rèn)真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；③利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問(wèn)題，并獲得這個(gè)向量的解；④利用這個(gè)結(jié)果，對(duì)原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識(shí)圓滿解決物理問(wèn)題．教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的觀察、分析和比較，得出抽象的數(shù)學(xué)模型．例如，物理中力的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原型．同時(shí)，注重向量模型的運(yùn)用，引導(dǎo)解決現(xiàn)實(shí)中的一些物理和幾何問(wèn)題．這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用．三維目標(biāo)1．通過(guò)平行四邊形這個(gè)幾何模型，歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟．明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示．2．通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性，活躍學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并體會(huì)向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義．教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個(gè)現(xiàn)代化手段．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法；向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”．教學(xué)難點(diǎn)：如何將實(shí)際問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題．課時(shí)安排2課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過(guò)程))第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景，當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后，向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)了極大的方便．本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法．思路2.(情境導(dǎo)入)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題．下面通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，說(shuō)明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))一、向量在幾何中的應(yīng)用1．證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的條件a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0(b≠0)．2．證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的條件a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.3．求夾角問(wèn)題利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).4．求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2)或|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).5．用向量處理其他代數(shù)或幾何問(wèn)題．二、用向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”1．建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；2．通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；3．把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾何問(wèn)題的一般步驟．由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長(zhǎng)度)、夾角問(wèn)題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問(wèn)題．解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素，然后通過(guò)向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來(lái)研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系．最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論．這就是用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”．即：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．這個(gè)“三步曲”用流程圖表示為：eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練1.如圖1，連結(jié)平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B至AD、DC邊的中點(diǎn)E、F，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？圖1活動(dòng)：為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力，讓學(xué)生能動(dòng)態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中AR、RT、TC之間的相等關(guān)系，教學(xué)中可以充分利用多媒體，作出上述圖形，測(cè)量AR、RT、TC的長(zhǎng)度，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)AR＝RT＝TC，拖動(dòng)平行四邊形的頂點(diǎn)，動(dòng)態(tài)觀察發(fā)現(xiàn)，AR＝RT＝TC這個(gè)規(guī)律不變，因此猜想AR＝RT＝TC.事實(shí)上，由于R、T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可．又因?yàn)锳R、RT、TC、AC共線，所以只需判斷eq\o(AR,\s\up6(→))，eq\o(AT,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))之間的關(guān)系即可．探究過(guò)程對(duì)照用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”很容易地可得到結(jié)論．第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；第二步，通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AR＝RT＝TC.解：如圖1，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AR,\s\up6(→))＝r，eq\o(AT,\s\up6(→))＝t，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.由于eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以，我們?cè)O(shè)r＝n(a＋b)，n∈R，又因?yàn)閑q\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(ER,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))共線，所以我們?cè)O(shè)eq\o(ER,\s\up6(→))＝meq\o(EB,\s\up6(→))＝m(a－eq\f(1,2)b)．因?yàn)閑q\o(AR,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ER,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)b＋m(a－eq\f(1,2)b)．因此n(a＋b)＝eq\f(1,2)b＋m(a－b)，即(n－m)a＋(n＋eq\f(m－1,2))b＝0.由于向量a、b不共線，要使上式為0，必須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－m＝0，,n＋\f(m－1,2)＝0.))解得n＝m＝eq\f(1,3).所以eq\o(AR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).同理eq\o(TC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).于是eq\o(RT,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以AR＝RT＝TC.2.如圖2，AD、BE、CF是△ABC的三條高．求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)．圖2證明：設(shè)BE、CF相交于H，并設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(AH,\s\up6(→))＝h，則eq\o(BH,\s\up6(→))＝h－b，eq\o(CH,\s\up6(→))＝h－c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b.因?yàn)閑q\o(BH,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CH,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，即(h－b)·c＝(h－c)·b，化簡(jiǎn)得h·(c－b)＝0.所以eq\o(AH,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以AH與AD共線，即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.例2課本本節(jié)例3.思路21如圖3，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是兩腰上的中線，且BB′⊥CC′，求頂角A的余弦值．圖3活動(dòng)：教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，上例利用向量的幾何法簡(jiǎn)捷地解決了平面幾何問(wèn)題．可否利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算呢？這需要建立平面直角坐標(biāo)系，找出所需點(diǎn)的坐標(biāo)．如果能比較方便的建立起平面直角坐標(biāo)系，如本例中的圖形，很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也容易寫出，是否利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算能更快捷地解決問(wèn)題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生建系、找點(diǎn)的坐標(biāo)，然后讓學(xué)生獨(dú)立完成．解：建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，取A(0，a)，C(c,0)，則B(－c,0)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，a)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(c，a)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(c,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2c,0)，因?yàn)锽B′、CC′為兩中線，所以eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(2c,0)＋(c，a)]＝(eq\f(3c,2)，eq\f(a,2))．同理eq\o(CC′,\s\up6(→))＝(－eq\f(3c,2)，eq\f(a,2))．因?yàn)锽B′⊥CC′，所以－eq\f(9,4)c2＋eq\f(a2,4)＝0，a2＝9c2.所以cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(a2－c2,a2＋c2)＝eq\f(9c2－c2,9c2＋c2)＝eq\f(4,5).變式訓(xùn)練如圖4，在Rt△ABC中，已知BC＝a.若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)：eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ取何值時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))的值最大？并求出這個(gè)最大值．圖4解：方法一：如圖4.∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2－eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝－a2＋eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－a2＋eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a2＋a2cosθ，故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向相同時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))最大，其最大值為0.方法二：如圖5.圖5以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB|＝c，|AC|＝b，則A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則Q(－x，－y)，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－c，y)，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(－x，－y－b)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－c，b)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)．∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.∵cosθ＝eq\f(\o(PQ,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(PQ,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(cx－by,a2)，∴cx－by＝a2cosθ.∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝－a2＋a2cosθ.故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向相同時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))最大，其最大值為0.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)2、3、4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．由學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些：平行四邊形向量加、減法的幾何模型，用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟，即“三步曲”．特別是這“三步曲”，要提醒學(xué)生理解領(lǐng)悟它的實(shí)質(zhì)，達(dá)到熟練掌握的程度．2．本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)方法：向量法，向量法與幾何法、解析法的比較，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的化歸的思想方法，深切體會(huì)向量的工具性這一特點(diǎn)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習(xí)題3、4、6、7.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))1．本節(jié)是對(duì)研究平面幾何方法的探究與歸納，設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：充分使用多媒體這個(gè)現(xiàn)代化手段，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、歸納、猜想、論證等一系列思維活動(dòng)．本節(jié)知識(shí)方法容量較大，思維含量較高，教師要把握好火候，恰時(shí)恰點(diǎn)的激發(fā)學(xué)生的智慧火花．2．由于本節(jié)知識(shí)方法在高考大題中得以直接的體現(xiàn)，特別是與其他知識(shí)的綜合更是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，因此在實(shí)際授課時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注向量知識(shí)、向量方法與本書的三角、后續(xù)的解析幾何內(nèi)容等知識(shí)的交匯，提高學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力．3．平面向量的運(yùn)算包括向量的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算．相比較而言，學(xué)生對(duì)向量的代數(shù)運(yùn)算要容易接受一些，但對(duì)向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難，無(wú)從下手．向量的幾何運(yùn)算主要包括向量加減法的幾何運(yùn)算，向量平行與垂直的條件及定比分點(diǎn)的向量式等，它們?cè)谔幚砥矫鎺缀蔚挠嘘P(guān)問(wèn)題時(shí)，往往有其獨(dú)到之處，教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、利用向量解決幾何問(wèn)題的進(jìn)一步探討用平面向量的幾何運(yùn)算處理平面幾何問(wèn)題有其獨(dú)到之處，特別是處理線段相等，線線平行，垂直，點(diǎn)共線，線共點(diǎn)等問(wèn)題，往往簡(jiǎn)單明了，少走彎路，同時(shí)避免了復(fù)雜，煩瑣的運(yùn)算和推理，可以收到事半功倍的效果．現(xiàn)舉幾例以供教師學(xué)生進(jìn)一步探究使用．1．證明線線平行例1如圖6，在梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別為腰AB，CD的中點(diǎn)．圖6求證：EF∥BC，且|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)．證明：連ED，EC，∵AD∥BC，可設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ>0)．又E，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝0.且eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))，而eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1＋λ,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).EF與BC無(wú)公共點(diǎn)，∴EF∥BC.又λ>0，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)(|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|λeq\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)．2．證明線線垂直例2如圖7，在△ABC中，由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE，且AD與BE交于H，連結(jié)CH，求證：CH⊥AB.圖7證明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，有eq\o(AH,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BH,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))，eq\o(BH,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))，故有(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，兩式相減，得eq\o(CH,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(CH,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CH,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即CH⊥AB.3．證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線例3求證：三角形三邊中線共點(diǎn)，且該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于該中線長(zhǎng)的eq\f(2,3).解：已知：△ABC的三邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)(如圖8)，圖8求證：AE，BF，CD共點(diǎn)，且eq\f(AG,AE)＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).證明：設(shè)AE，BF相交于點(diǎn)G，eq\o(AG,\s\up6(→))＝λ1eq\o(GE,\s\up6(→))，由定比分點(diǎn)的向量式有eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))＋λ1\o(BE,\s\up6(→)),1＋λ1)＝eq\f(1,1＋λ1)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(λ1,21＋λ1)eq\o(BC,\s\up6(→))，又F是AC的中點(diǎn)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，設(shè)eq\o(BG,\s\up6(→))＝λ2eq\o(BF,\s\up6(→))，則eq\f(1,1＋λ1)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(λ1,21＋λ1)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(λ2,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(λ2,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋λ1)＝\f(λ2,2)，,\f(λ1,21＋λ1)＝\f(λ2,2).))∴eq\f(1,1＋λ1)＝eq\f(λ1,21＋λ1)λ1＝2，λ2＝eq\f(2,3)，即eq\f(AG,AE)＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(2,3).又eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(\o(CA,\s\up6(→))＋λ1\o(CE,\s\up6(→)),1＋λ1)＝eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)·eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴C，G，D共線，且eq\f(AG,AE)＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).二、備用習(xí)題1．有一邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|＝________.2．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a與b的夾角為45°，則使λb－a與a垂直的λ＝________.3．在等邊△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且|a|＝1，則a·b＋b·c＋c·a＝________.4．已知三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝________.5．如圖9所示，已知矩形ABCD，AC是對(duì)角線，E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，試運(yùn)用向量知識(shí)證明AM＝CN.圖96．已知四邊形ABCD滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2，M為對(duì)角線AC的中點(diǎn)．求證：|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|.7．求證：如果一個(gè)角的兩邊平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．參考答案：1．23.－eq\f(3,2)4.－2或115解：建立如圖10所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝a，BA＝b，則C(a,0)，A(0，b)，E(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．圖10又設(shè)M(x2，b)，N(x1,0)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x2,0)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x1－a,0)，∵eq\o(ME,\s\up6(→))∥eq\o(EN,\s\up6(→))，eq\o(ME,\s\up6(→))＝(eq\f(a,2)－x2，－eq\f(b,2))，eq\o(EN,\s\up6(→))＝(x1－eq\f(a,2)，－eq\f(b,2))，∴(eq\f(a,2)－x2)×(－eq\f(b,2))－(x1－eq\f(a,2))×(－eq\f(b,2))＝0.∴x2＝a－x1.∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\r(x\o\al(2,2))＝|x2|＝|a－x1|＝|x1－a|.而|eq\o(CN,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－a2)＝|x1－a|，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CN,\s\up6(→))|，即AM＝CN.6．解：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→))＝d，∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)．∴a2＋b2＋2a·b＝c2＋d2＋2c·d.①∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2，∴a2＋b2＝(－d)2＋(－c)2＝c2＋d2.②由①②得a·b＝c·d.∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，如圖11所示，則eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(d－c)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)，圖11∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝eq\o(BM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(b2＋a2－2a·b)，|eq\o(MD,\s\up6(→))|2＝eq\o(DM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(d2＋c2－2c·d)．∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|2.∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|.7．解：已知OA∥O′A′，OB∥O′B′，求證：∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝π.證明：∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴可設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(O′A′,\s\up6(→))(λ∈R，λ≠0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝μeq\o(O′B′,\s\up6(→))(μ∈R，μ≠0)．∴cos∠AOB＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)，cos∠A′O′B′＝eq\f(\o(O′A′,\s\up6(→))·\o(O′B′,\s\up6(→)),|\o(O′A′,\s\up6(→))||\o(O′B′,\s\up6(→))|)＝eq\f(λ\o(OA,\s\up6(→))·μ\o(OB,\s\up6(→)),|λ\o(OA,\s\up6(→))||μ\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(λμ\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|λμ||\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝±eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|).當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(O′A′,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(O′B′,\s\up6(→))均同向或反向時(shí)，取正號(hào)，即cos∠AOB＝cos∠A′O′B′.∵∠AOB，∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝∠A′O′B′.當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(O′A′,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(O′B′,\s\up6(→))只有一個(gè)反向時(shí)，取負(fù)號(hào)，即cos∠AOB＝－cos∠A′O′B′＝cos(π－∠A′O′B′)．∵∠AOB，π－∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝π－∠A′O′B′.∴∠AOB＋∠A′O′B′＝π.∴命題成立．(設(shè)計(jì)者：鄭吉星)第2課時(shí)導(dǎo)入新課(問(wèn)題導(dǎo)入)你能舉出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，學(xué)生很容易就舉出來(lái)．進(jìn)一步，你能舉出應(yīng)用向量來(lái)分析和解決物理問(wèn)題的例子嗎？你是怎樣解決的？教師由此引導(dǎo)：向量是有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，對(duì)向量在物理中的研究，有助于進(jìn)一步加深對(duì)這方面問(wèn)題的認(rèn)識(shí)．我們可以通過(guò)對(duì)下面若干問(wèn)題的研究，體會(huì)向量在物理中的重要作用．由此自然的引入新課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))向量在物理中的應(yīng)用1．向量的加法與減法在力的分解與合成中的應(yīng)用．2．向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用．如何用向量法來(lái)解決物理問(wèn)題1．將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來(lái)．2．將物理問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．3．最后將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為物理問(wèn)題．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1課本本節(jié)例1.變式訓(xùn)練1．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？活動(dòng)：這個(gè)日常生活問(wèn)題可以抽象為如圖12所示的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識(shí)來(lái)思考探究這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．這樣物理中用力的現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題．只要分析清楚F、G、θ三者之間的關(guān)系(其中F為F1、F2的合力)，就得到了問(wèn)題的數(shù)學(xué)解釋．圖12在教學(xué)中要盡可能地采用多媒體，在信息技術(shù)的幫助下讓學(xué)生來(lái)動(dòng)態(tài)地觀察|F|，|G|，θ之間在變化過(guò)程中所產(chǎn)生的相互影響．由學(xué)生獨(dú)立完成本例后，與學(xué)生共同探究歸納出向量在物理中的應(yīng)用的解題步驟，也可以由學(xué)生自己完成，還可以用信息技術(shù)來(lái)驗(yàn)證．用向量解決物理問(wèn)題的一般步驟是：①問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；②模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；③參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；④問(wèn)題的答案，即回到問(wèn)題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．解：不妨設(shè)|F1|＝|F2|，由向量的平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道coseq\f(θ,2)＝eq\f(\f(1,2)|G|,|F1|)|F1|＝eq\f(|G|,2cos\f(θ,2)).通過(guò)上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)θ由0°到180°逐漸變大時(shí)，eq\f(θ,2)由0°到90°逐漸變大，coseq\f(θ,2)的值由大逐漸變小，因此|F1|由小逐漸變大，即F1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力．點(diǎn)評(píng)：本題是日常生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，學(xué)生也會(huì)有兩人共提一個(gè)旅行包以及在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)．本題的關(guān)鍵是作出簡(jiǎn)單的受力分析圖，啟發(fā)學(xué)生將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成模型，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行解釋，這就是本題活動(dòng)中所完成的事情．教學(xué)中要充分利用好這個(gè)模型，為解決其他物理問(wèn)題打下基礎(chǔ)．得到模型后就可以發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的向量問(wèn)題，這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn)．2．某人騎摩托車以20km/h的速度向西行駛，感到風(fēng)從正南方向吹來(lái)，而當(dāng)其速度變?yōu)?0km/h時(shí)，他又感到風(fēng)從西南方向吹來(lái)，求實(shí)際的風(fēng)向和風(fēng)速．解：如圖13所示．設(shè)v1表示20km/h的速度，在無(wú)風(fēng)時(shí)，此人感到的風(fēng)速為－v1，實(shí)際的風(fēng)速為v，那么此人所感到的風(fēng)速為v＋(－v1)＝v－v1.圖13令eq\o(AB,\s\up6(→))＝－v1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2v1，實(shí)際風(fēng)速為v.∵eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝v－v1，這就是騎車人感受到的從正南方向吹來(lái)的風(fēng)的速度．∵eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝v－2v1，這就是當(dāng)車的速度為40km/h時(shí)，騎車人感受到的風(fēng)速．由題意得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，∴△DCA為等腰三角形．DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴DA＝DC＝eq\r(2)BC＝20eq\r(2)，∴|v|＝20eq\r(2)km/h，答：實(shí)際吹來(lái)的風(fēng)的速度v的大小是20eq\r(2)km/h，v的方向是東南方向.例2在靜水中劃船的速度是每分鐘40，水流的速度是每分鐘20，如果船從岸邊出發(fā)，徑直沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船行進(jìn)的