高中數(shù)學人教A版第四章圓和方程 第4章習題課

習題課圓與方程【課時目標】1．鞏固圓的方程的兩種形式，并熟練應用圓的方程解決有關問題．2．熟練掌握直線與圓、圓與圓的位置關系的判定及應用．1．圓的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(①圓的標準方程：，,其中為圓心，r為半徑.,②圓的一般方程：,其中>0.))2．直線與圓的位置關系的判定(d表示圓心到直線的距離，r表示圓半徑)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交?d<r；,相離?；,相切?.))3．圓與圓的位置關系(d表示兩圓圓心距，R、r表示兩圓半徑且R≥r)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(外離?d>R＋r；,外切?d＝R＋r；,相交?R－r<d<R＋r；,內切?d＝R－r；,內含?d<R－r.))一、選擇題1．圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(1，－2)，5B．(1，－2)，eq\r(5)C．(－1,2)，5D．(－1,2)，eq\r(5)2．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝83．直線x－eq\r(3)y＝0繞原點按逆時針方向旋轉30°所得直線與圓x2＋y2－4x＋1＝0的位置關系是()A．相交且過圓心B．相交但不過圓心C．相切D．相離4．若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，則直線x＋ay＋b＝0一定不經過()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．直線l與直線3x＋4y－15＝0垂直，與圓x2＋y2－18x＋45＝0相切，則直線l的方程是()A．4x－3y－6＝0B．4x－3y－66＝0C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0D．4x－3y－15＝06．方程eq\r(4－x2)＝k(x－2)＋3有兩個不等實根，則k的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,12)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))二、填空題7．過點M(0,4)，且被圓(x－1)2＋y2＝4截得的線段長為2eq\r(3)的直線方程為____________．8．一束光線從點A(－1,1)出發(fā)經x軸反射到圓(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程為________．9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且僅有一個元素，則r的值是________．三、解答題10．有一圓C與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點A(3,6)，且經過點B(5,2)，求此圓的標準方程．11．已知圓C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長的最小值及此時的直線方程．能力提升12．已知曲線C：(x－1)2＋y2＝1，點A(－1,0)及點B(2，a)，從點A觀察點B，要使視線不被曲線C攔住，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)C．(eq\r(3)，＋∞)D．(－∞，－3eq\r(3))∪(3eq\r(3)，＋∞)13．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．初中我們從平面幾何的角度研究過圓的問題，本章則主要是利用圓的方程從代數(shù)角度研究了圓的性質，如果我們能夠將兩者有機地結合起來解決圓的問題，將在處理圓有關問題時收到意想不到的效果．圓是非常特殊的幾何圖形，它既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，它的許多幾何性質在解決圓的問題時往往起到事半功倍的作用，所以在實際解題中常用幾何法，充分結合圓的平面幾何性質．那么，我們來看經常使用圓的哪些幾何性質：(1)圓的切線的性質：圓心到切線的距離等于半徑；切點與圓心的連線垂直于切線；切線在切點處的垂線一定經過圓心；圓心、圓外一點及該點所引切線的切點構成直角三角形的三個頂點等等．(2)直線與圓相交的弦的有關性質：相交弦的中點與圓心的連線垂直于弦所在直線；弦的垂直平分線(中垂線)一定經過圓心；弦心距、半徑、弦長的一半構成直角三角形的三邊，滿足勾股定理．(3)與直徑有關的幾何性質：直徑是圓的最長的弦；圓的對稱軸一定經過圓心；直徑所對的圓周角是直角．習題課圓與方程答案知識梳理1．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)(2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－42．d>rd＝r作業(yè)設計1．D2．B[線段AB兩端點為(0,2)、(2,0)，∴圓心為(1,1)，半徑r＝eq\r(2)，∴選B．]3．C[直線旋轉后為y＝eq\r(3)x，圓心(2,0)到該直線距離d＝r．∴選C．]4．D[圓的標準方程為(x－a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)b))2＝a2＋eq\f(9,4)b2．圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3,2)b))．∴a<0，b>0．∴y＝－eq\f(1,a)x－eq\f(b,a)不過第四象限．]5．C[設直線方程為4x－3y＋m＝0，由直線與圓相切得m＝－6或－66．]6．A[在同一平面直角坐標系中分別畫出y＝eq\r(4－x2)(就是x2＋y2＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3的圖象．如圖所示，問題就轉化為兩條曲線有兩個交點的問題，需kPA<k≤kPB．kPB＝eq\f(3－0,2－－2)＝eq\f(3,4)，對于k(x－2)－y＋3＝0，因為直線與圓相切，所以d＝r，即eq\f(|－2k＋3|,\r(k2＋1))＝2，解得kPA＝eq\f(5,12)．所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))．]7．x＝0或15x＋8y－32＝0解析設直線方程為x＝0或kx－y＋4＝0．當直線方程為x＝0時，弦長為2eq\r(3)符合題意；當直線方程為kx－y＋4＝0時，d＝eq\f(|k－0＋4|,\r(k2＋1))＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，解得k＝－eq\f(15,8)，因此直線方程為15x＋8y－32＝0．8．4解析點A關于x軸的對稱點A′(－1，－1)，轉化為求A′(－1，－1)到圓上的點的距離的最小值問題，其最小值為eq\r(2＋12＋3＋12)－1＝4．9．3或7解析這是以集合為載體考查兩圓位置關系．∵A∩B中有且僅有一個元素，∴兩圓x2＋y2＝4與(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切，O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r1＝2，r2＝r，故2＋r＝5，或r－2＝5，∴r＝3或7．10．解設所求圓的圓心為O，則OA⊥l，又設直線OA與圓的另一交點為P．所以直線OA的斜率為－eq\f(3,4)．故直線OA的方程為y－6＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0．又因為kAB＝eq\f(2－6,5－3)＝－2，從而由平面幾何知識可知kPB＝eq\f(1,2)，則直線PB的方程為x－2y－1＝0．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3.))即點P的坐標為(7,3)．因為圓心為AP的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，半徑為OA＝eq\f(5,2)，故所求圓的標準方程為(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq\f(25,4)．11．(1)證明把直線l的方程改寫成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0,2x＋y－7＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝1))，所以直線l總過定點(3,1)．圓C的方程可寫成(x－1)2＋(y－2)2＝25，所以圓C的圓心為(1,2)，半徑為5．定點(3,1)到圓心(1,2)的距離為eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)<5，即點(3,1)在圓內．所以過點(3,1)的直線總與圓相交，即不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交．(2)解設直線與圓交于A、B兩點．當直線l過定點M(3,1)且垂直于過點M的圓C的半徑時，l被截得的弦長|AB|最短．因為|AB|＝2eq\r(|BC|2－|CM|2)＝2eq\r(25－[3－12＋1－22])＝2eq\r(20)＝4eq\r(5)，此時kAB＝－eq\f(1,kCM)＝2，所以直線AB的方程為y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．故直線l被圓C截得的弦長最小值為4eq\r(5)，此時直線l的方程為2x－y－5＝0．12．B解析視線即切線，切線與直線x＝2交點以下部分和以上部分即為視線看得見的部分，圓的切線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋1)．當x＝2時，y＝±eq\r(3)，所以a∈(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)，故選B．13．解方法一從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝eq\f(1,2)|PA|·|AC|＝eq\f(1,2)|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，此時|PC|＝eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，從而|PA|＝eq\r(|PC|2－|AC|2)＝2eq\r(2)．∴(S四邊形PACB)min＝2×eq\f(1,2)×|PA|×|AC|＝2eq\r(2)．方法二利用等價轉化的思想，設點P坐標為(x，y)，則|PC|＝eq\r(x－12＋y－12)，由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝eq\r(|PC|2－|AC|2)＝eq\r(x－12＋y－12－1)，從而S四邊形PACB＝2S