概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科特點(diǎn)：研究對(duì)象的不確定性第一章隨機(jī)事件的概率概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。其起源于十七世紀(jì)中葉，當(dāng)時(shí)在誤差、人口統(tǒng)計(jì)、人壽保險(xiǎn)等范疇中，需要整理和研究大量的隨機(jī)數(shù)據(jù)資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)，但當(dāng)時(shí)刺激數(shù)學(xué)家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博者的問題。樣本空間一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合，記為。其中每一個(gè)元素，即每次試驗(yàn)結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)。第一章隨機(jī)事件的概率隨機(jī)試驗(yàn)

E試驗(yàn)結(jié)果的多種可能性，事先知道結(jié)果的不能預(yù)測(cè)性隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間的子集，稱為E的隨機(jī)事件，或事件，用大寫字母A，B，C,…表示由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件。樣本空間有兩個(gè)特殊子集：必然事件，和不可能事件隨機(jī)事件例如E1

拋硬幣試驗(yàn)E2

連拋兩個(gè)硬幣E4

進(jìn)入超市的人數(shù)E5

測(cè)試電視機(jī)壽命E6

觀測(cè)天氣第一章隨機(jī)事件的概率包含A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生相等

和事件積事件差事件互逆（對(duì)立）互不相容第一章隨機(jī)事件的概率事件間的關(guān)系和運(yùn)算第一章隨機(jī)事件的概率運(yùn)算規(guī)律交換律結(jié)合律分配律對(duì)偶律第一章隨機(jī)事件的概率例1.設(shè)A，B，C是隨機(jī)事件，則事件“A與B發(fā)生，C不發(fā)生”“A，B，C至少兩個(gè)發(fā)生”“A，B，C恰好兩個(gè)發(fā)生”“A，B，C不多于一個(gè)事件發(fā)生”例2.用集合表示下面隨機(jī)試驗(yàn)中的樣本空間與隨機(jī)事件A某地溫度上下限為T0

到T1，一晝夜內(nèi)出現(xiàn)的最高最低氣溫為(x,y)；事件A=“一晝夜內(nèi)該地的溫差為10°”例題第一章隨機(jī)事件的概率

概率

一次試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的可能性，成為事件A的概率，記為

P(A)。

概率看成頻率的穩(wěn)定值概率的計(jì)算

（1）古典概型:事件A包含的基本事件數(shù)/樣本空間中的事件數(shù)

P(A)=nA/nΩ

（2）幾何概型:事件A的區(qū)域面積/樣本空間的區(qū)域面積

P(A)=SA/SΩ

例圓中的弦通過半徑減半的同心圓的概率?第一章隨機(jī)事件的概率概率的性質(zhì)1.P(Ω)=1,P(φ)=0,0≤P(A)≤12.（有限可加性）若A1,A2,A3兩兩互不相容

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)3.若A

B,則P(B－A)=P(B)－P(A),P(B)≥P(A)4.P(

)=1－P(A)5.（加法公式）對(duì)任兩個(gè)事件

P(A∪B)=P(A)+P(B)－

P(AB)第一章隨機(jī)事件的概率例1.P(A)=0.3,P(A∪B)=0.6;P(

)=?例2.P(A)=P(B)=0.5,求證P(AB)=P()例3.袋中4只白球，2只黑球，無放回依次摸2只球，試求取到兩只球： （1）都是白球的概率；（2）同色球的概率 （3）至少一只白球的概率例4.n個(gè)球隨機(jī)放入N（N≥n）個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一個(gè)球的概率，恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球的概率例5（Buffen投針問題）平行線距離為a(a>0)，投擲一枚長(L<a)的針，求針與平行線相交的概率例題1.2.3.設(shè)A=“第一只摸到白球”，B=“第二只摸到白球”5.xa設(shè)落下的針的中心距離最近的平行線為x

，與平行線交角a;那么針的落地位置范圍，即樣本空間為而相交平行線的條件，即事件A

為相交的概率為紅色面積比黃框面積第一章隨機(jī)事件的概率條件概率

A,B兩事件，P(B)>0，在事件B

發(fā)生的條件下事件A

發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)由于樣本空間不同

一般地

P(A)≠P(A|B)

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間。設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱2.條件概率的計(jì)算為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的發(fā)生概率.概率樹計(jì)算條件概率BB′A′AA′AP(B)P(B’)P(A|B)P(A’|B)P(A|B’)P(A’|B’)第一級(jí)互斥事件上一級(jí)情況下的下一級(jí)事件發(fā)生不發(fā)生例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解：設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}

求P(A|B)=？應(yīng)用計(jì)算公式在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率例2

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，求(1)求的是P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標(biāo)準(zhǔn)件}(2)求的是P(A|B).B發(fā)生,

在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.條件概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別1.這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率？2.發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?

例3設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).多個(gè)事件的乘法公式設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，且P(AB)>0，則乘法公式應(yīng)用舉例一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個(gè)白球,r個(gè)紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.”

b個(gè)白球,r個(gè)紅球隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.解設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出當(dāng)c>0時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行,5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券。大家都想去,只好用抽簽的方法來解決。

入場(chǎng)券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場(chǎng)券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？

我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.則表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”因?yàn)榈?個(gè)人抽到入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒抽到.也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人未抽到，計(jì)算得：由于由乘法公式P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到。因此繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn),每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，P(A3)=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5例4設(shè)袋中有5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，2個(gè)白球，試按（1）有放回抽樣；（2）不放回抽樣兩種方式摸球三次每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。解：設(shè)A={第一次未摸得白球}；

B={第二次未摸得白球}；

C={第三次摸到白球}；則，事件“第三次才摸得白球”可表為ABC。（1）有放回抽樣（2）不放回抽樣例5設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下打破的概率為0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是0.7，若前兩次均未打破，第三次落下打破的概率為0.9。試求透鏡落下三次未打破的概率。解：設(shè)Ai={透鏡第i

次落下打破}，i=1,2,3,

B={透鏡落下三次未打破}，則另解：例6．100件產(chǎn)品中，有5件廢品。不放回抽樣檢查，若抽查5件至少有一件廢品，則拒購這批產(chǎn)品，求拒購概率。解：設(shè)Ai={第i次沒抽到廢品}，i=1,2,3,4,5

B={至少抽到一件廢品}，則第一章隨機(jī)事件的概率

例題第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12。兩車間的產(chǎn)品分別有2000

件和3000

件，混放在倉庫里，問：在倉庫里隨機(jī)取一件成品，其次品率是多少？若取到一件次品，由一車間生產(chǎn)的概率是多少？全廠的次品概率=各車間的次品概率的加權(quán)和第一章隨機(jī)事件的概率

例題從倉庫里隨機(jī)取一件成品：設(shè)事件A1，A2

分別為一、二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品；事件B

為該產(chǎn)品是次品。一車間的產(chǎn)品占P(A1)=0.4，次品率P(B|A1)=0.15二車間的產(chǎn)品占P(A2)=0.6，次品率P(B|A2)=0.12第一問求P(B)，第二問求P(A1|B).B次品A1

一車間A2

二車間P(B)藍(lán)色的面積P(A1|B)藍(lán)色中上一塊所占的比P(B|A1)橙色中藍(lán)色所占的比2000300015%12%第一章隨機(jī)事件的概率全概率公式設(shè)事件A1,A2互不相容，P(A1)>0，P(A2)>0，且B?A1∪A2，P(B)

=P(

B(A1∪A2))

=P(BA1)

+

P(BA2)

=P(A1)

P(B|A1)+P(A2)

P(B|A2)

先將復(fù)雜的事件B分解為較簡單的事件A1B

與

A2B

;再加法法則與乘法法,計(jì)算出需要求的概率.這稱全概率公式.例有12個(gè)乒乓球都是新球,每次比賽時(shí)取出3個(gè)用完后放回,求第3次比賽時(shí)取到的3個(gè)球都是新球的概率。

因?yàn)橐婚_始都是新球,因此第一次只能取到3

個(gè)新球，當(dāng)?shù)诙稳∏虻臅r(shí)候,12

個(gè)乒乓球中必然有3

個(gè)舊球。假設(shè)B0,B1,B2,B3

為第二次取到0個(gè),1個(gè),2個(gè)3個(gè)新球,而B0,B1,B2,B3

構(gòu)成完備事件組，并能夠求出它們的概率。再假設(shè)C3

為第三次取到3

個(gè)新球的事件，則針對(duì)C3

使用全概率公式。解：全概率公式第一章隨機(jī)事件的概率貝葉斯公式設(shè)事件A1,A2

互不相容，P(A1)>0，P(A2)>0，且B

?A1∪A2，則有（逆概率公式）_______________________________P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)P(A1)P(B|A1)P(A1|B)=第一章隨機(jī)事件的概率

例題

診斷肝癌問題

已知肝癌患者0.95能被診斷出來，非肝癌患者0.99會(huì)被排除有病，而肝癌患者約占0.004。問：診斷出患有肝癌的人中確有肝癌的概率是多少？設(shè)C=“的確患有肝癌”，A=“診斷有肝癌”。則P(A|C)=0.95,P(~A|~C)=0.99,P(C)=0.004P(A)=P(A|C)*P(C)+P(A|~C)*P(~C)=0.95*0.004+0.01*0.996=0.01376P(C|A)=P(A|C)P(C)/P(A)=0.95*0.004/0.01376=0.276第一章隨機(jī)事件的概率全概率公式、貝葉斯公式1．甲乙丙三人獨(dú)立地同時(shí)瞄準(zhǔn)飛機(jī)射擊，擊中的概率均為2/3.飛機(jī)遭一擊而落的概率為1/6，遭兩擊而落的概率為1/2，遭三擊則必落。求飛機(jī)可被擊落的概率。2．男人中的4%以及女人中的0.25%都為色盲。從男女相等的人群中隨機(jī)挑出一人恰好是色盲，問其是男性的概率是多少？練習(xí)例3經(jīng)分析利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%。如利率下調(diào),股價(jià)上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下,股價(jià)上漲的概率為40%。求股價(jià)上漲的概率。解：記A為事件“利率下調(diào)”,則A為“利率不變,記B為事件"股價(jià)上漲".據(jù)題設(shè)知

P(A)=60%, P(A)=40%,

P(B|A)=80%, P(B|A)=40%.

于是P(B)=P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.60.8+0.40.4=0.64.例4對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí),其合格率為55%.每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少?解設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”,B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”。已知

P(A|B)=0.98,P(A|B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,

所需求的概率為P(B|A)。則第一章隨機(jī)事件的概率相互獨(dú)立事件若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A

與B

相互獨(dú)立充要條件：P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)例，A=“概率學(xué)得好的同學(xué)”

B=“籃球打得好的同學(xué)”事件

A

與

B

相互獨(dú)立ABB在A和A的補(bǔ)里面的比例分配相同相互獨(dú)立事件若事件A

與B

相互獨(dú)立，則A

與也相互獨(dú)立。P(A)>0,P(B)>0,事件A,B

相互獨(dú)立與互不相容不能同時(shí)成立。第一章隨機(jī)事件的概率當(dāng)A，B

相互獨(dú)立當(dāng)A，B

互不相容A第一章隨機(jī)事件的概率相互獨(dú)立事件事件A,B,C

相互獨(dú)立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C)