高二數(shù)學(xué)空間向量課件

第3章空間向量與立體幾何一.空間向量的基本概念0

1

長(zhǎng)度相等方向相反長(zhǎng)度相等方向相同任意2.空間向量的加法、減法運(yùn)算abABbCO三角形法則：首尾相連首尾相接平行四邊形法則：起點(diǎn)相同連對(duì)角.(1)空間向量的加法⑵空間向量的減法三角形法則ABab.注意：

1、兩個(gè)向量相減，則表示兩個(gè)向量起點(diǎn)的字母必須相同2、由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。共起點(diǎn)O1、兩個(gè)向量的夾角二、空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算2、兩個(gè)向量的數(shù)量積3、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律與平面向量一樣，空間向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：7任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。4、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使都叫做基向量三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.距離公式（1）向量的長(zhǎng)度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。2.兩個(gè)向量夾角公式注意：（1）當(dāng)時(shí)，同向；（2）當(dāng)時(shí)，反向；（3）當(dāng)時(shí)，。設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?a⊥u?________?__________(2)面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?________?__________________________(λ∈R)．a(chǎn)·u＝0a1a2＋b1b2u＝λva1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2＋c1c2＝0(1)線面平行四、空間向量與立體幾何（一）空間平行關(guān)系的向量表示（二）空間垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?_____?_______?_____________．(2)線面垂直設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?u∥v?______．(3)面面垂直設(shè)平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?______?________?____________________．四、空間向量與立體幾何方法小結(jié)求空間的角考點(diǎn)突破解(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD．考點(diǎn)一求異面直線所成的角利用空間向量求解考點(diǎn)突破(2)法一如圖1，取PB中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥BC，從而∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角．在△AEF中，考點(diǎn)一求異面直線所成的角F則△AEF是等腰直角三角形，圖1利用空間向量求解考點(diǎn)突破法二如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，考點(diǎn)一求異面直線所成的角圖2xyz利用空間向量求解考點(diǎn)突破考點(diǎn)一求異面直線所成的角考點(diǎn)突破(1)證明

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD．又CD?平面BCD，∴AB⊥CD．(2)解過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD，如圖．由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD．【例2】(2014·福建卷)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．考點(diǎn)二利用空間向量求直線與平面所成的角E考點(diǎn)突破以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，【訓(xùn)練2】(2014·福建卷)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．考點(diǎn)二利用空間向量求直線與平面所成的角的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，xyzE考點(diǎn)突破【訓(xùn)練2】(2014·福建卷)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．考點(diǎn)二利用空間向量求直線與平面所成的角取z0＝1，得平面MBC的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，1)．設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ，設(shè)平面MBC的法向量為n＝(x0，y0，z0)，xyzE考點(diǎn)突破規(guī)律方法

利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．考點(diǎn)二利用空間向量求直線與平面所成的角利用法向量求二面角的原理：設(shè)

分別為平面

的法向量，二面角

的大小為

，向量

的夾角為

，則有

（圖1）或

（圖2）。向量

的夾角為，二面角

的大小為

，和相等還是互補(bǔ)？“同進(jìn)同出為補(bǔ)角，一進(jìn)一出為夾角”考點(diǎn)突破考點(diǎn)三利用空間向量求二面角1詳細(xì)答案思考題考點(diǎn)突破(1)證明

∵ED⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴ED⊥AD．又∵四邊形ABCD為正方形，因此AD⊥CD．∵ED∩CD＝D，∴AD⊥平面CDEF.由于CF?平面CDEF，∴AD⊥CF.又AF⊥CF，AF∩AD＝A．故CF⊥平面ADF.考點(diǎn)三利用空間向量求二面角【例3】(2014·廣東卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點(diǎn)E.(1)證明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．考點(diǎn)突破(2)解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC＝1.由于∠DPC＝30°，PD⊥CD，考點(diǎn)三利用空間向量求二面角【例3】(2014·廣東卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點(diǎn)E.(1)證明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．xyz由于CF⊥FD，F(xiàn)E∥CD，從而D，A，C，F(xiàn)，E五點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，考點(diǎn)突破設(shè)平面AEF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，考點(diǎn)三利用空間向量求二面角【例3】(2014·廣東卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點(diǎn)E.(1)證明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．xyz由于CF⊥平面ADF，由圖可見所求二面角θ的余弦值為考點(diǎn)突破規(guī)律方法

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．考點(diǎn)三利用空間向量求二面角（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題(還常建立坐標(biāo)系來(lái)輔助)；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義.（化為向量問題或向量的坐標(biāo)問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形）利用空間向量求距離空間兩點(diǎn)之間的距離根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，利用公式或(其中)

，可將兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模長(zhǎng)問題空間中的距離主要有:點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面一、求點(diǎn)到平面的距離一般方法：利用定義先作出過這個(gè)點(diǎn)到平面的垂線段，再計(jì)算這個(gè)垂線段的長(zhǎng)度。還可以用等積法求距離.