高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)缺形時(shí)少直觀形缺數(shù)時(shí)難入微

——華羅庚數(shù)形結(jié)合思想思想方法概述熱點(diǎn)分類突破真題與押題數(shù)形結(jié)合的對應(yīng)

數(shù)形坐標(biāo)點(diǎn)函數(shù)圖象方程曲線思想方法概述1.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：“以形助數(shù)”借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；“以數(shù)輔形”

借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：(1)等價(jià)性原則.(2)雙方性原則.(3)簡單性原則.3.數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)求參數(shù).(2)研究方程根.(3)研究量與量之間的大小關(guān)系.(4)最值問題和證明不等式.(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題.(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題.(7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù).(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.4.數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫出圖象，注意函數(shù)的定義域.(2)小題能形不數(shù)，大題數(shù)主形輔熱點(diǎn)一利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程的根熱點(diǎn)二利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、求參數(shù)范圍熱點(diǎn)三利用數(shù)形結(jié)合思想解最值問題熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程的根解析先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過A點(diǎn)時(shí)斜率為

，故f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k的范圍為(，1).答案B用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù).思維升華變式訓(xùn)練1解析由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝作出函數(shù)y＝f(x)及y＝x的函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得交點(diǎn)有3個(gè).答案C例2

(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(1)＝0，則滿足x·f(x)<0的x的取值范圍是____________.熱點(diǎn)二利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、求參數(shù)范圍由圖可知x·f(x)<0的x的取值范圍是(－1,0)∪(0,1).解析作出符合條件的一個(gè)函數(shù)圖象草圖即可，(－1,0)∪(0,1)(2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1對x∈R恒成立，則a的取值范圍是________.解析作出y＝|x－2a|和y＝

x＋a－1的簡圖，依題意知應(yīng)有2a≤2－2a，故a≤.求參數(shù)范圍或解不等式問題時(shí)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答.思維升華變式訓(xùn)練2

(1)設(shè)A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，則使A?B成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.解析集合A是一個(gè)圓x2＋(y－1)2＝1上的點(diǎn)的集合，集合B是一個(gè)不等式x＋y＋m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合，要使A?B，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含(如圖)，即直線x＋y＋m＝0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，例3

(1)已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________.熱點(diǎn)三利用數(shù)形結(jié)合思想解最值問題解析從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直直線l時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，解析畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，最大值為|QA|2＝16.∴取值范圍是[2,16].答案B(1)在幾何的一些最值問題中，可以根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合圖形上點(diǎn)的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，快速求得最值.(2)如果(不)等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解.思維升華變式訓(xùn)練3(1)(2013·重慶)設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(

)A.6

B.4

C.3

D.2解析由題意，知圓的圓心坐標(biāo)為(3，－1)，圓的半徑長為2，|PQ|的最小值為圓心到直線x＝－3的距離減去圓的半徑長，所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故選B.B又

的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率k.解析可行域如圖所示.由圖知，過點(diǎn)A的直線OA的斜率最小.答案21.在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的.本講規(guī)律總結(jié)2.有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結(jié)論，這就要對圖形進(jìn)行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達(dá)到解題的目的.3.利用數(shù)形結(jié)合解題，有時(shí)只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象.4.數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)的模)；點(diǎn)到直線的距離公式等.真題感悟押題精練真題與押題12真題感悟34解析設(shè)P(x,0)，設(shè)C1(2,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C1′(2，－3)，12真題感悟34答案A12真題感悟34解析∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)O在圓C上.設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，∴當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時(shí)，圓的直徑最小為|OD|.12真題感悟3412真題感悟34答案A12真題感悟34解析函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖.①當(dāng)a＝0時(shí)，|f(x)|≥ax顯然成立.②當(dāng)a>0時(shí)，只需在x>0時(shí)，ln(x＋1)≥ax成立.比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度.顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立.12真題感悟34③當(dāng)a<0時(shí)，只需在x<0時(shí)，x2－2x≥ax成立.即a≥x－2成立，所以a≥－2.綜上所述：－2≤a≤0.故選D.答案D12真題感悟344.(2014·天津)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.12真題感悟34解析設(shè)y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐標(biāo)系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示.由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).當(dāng)4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)都小于1時(shí)，12真題感悟34消y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋9>0，且x1＋x2＝a－3<2，x1x2＝a<1，聯(lián)立可得0<a<1.當(dāng)4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)有兩個(gè)小于1，兩個(gè)大于1時(shí)，12真題感悟34消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋9>0，且x3＋x4＝a－3>2，x3x4＝a>1，聯(lián)立可得a>9，綜上知，0<a<1或a>9.答案(0,1)∪(9，＋∞)押題精練1231.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4456解析(數(shù)形結(jié)合法)∵a>0，∴a2＋1>1.∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).而y＝|x2－2x|的圖象如圖，B2.不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.(－∞，－1]∪[4，＋∞)B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.[1,2]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)押題精練123456押題精練123456畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正確選項(xiàng)為A.答案A3.經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為________，________.押題精練123456解析如圖所示，結(jié)合圖形：為使l與線段AB總有公共點(diǎn)，則kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，押題精練123456故k<0時(shí)，傾斜角α為鈍角，k＝0時(shí)，α＝0，k>0時(shí)，α為銳角.押題精練123456押題精練123456押題精練123456解析由題意知原點(diǎn)O到直線x＋y－2＝0的距離為|OM|的最小值.押題精練123456押題精練1234566.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln

x(a，b∈R)，已知它們在x＝1處的切線互相平行.(1)求b的值；押題精練123456解

函數(shù)g(x)＝bx2－ln

x的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝3ax2－3a?f′(1)＝0，g′(x)＝2bx－

?g′(1)＝2b－1，依題意得2b－1＝0，所以b＝

.押題精練123456押題精練123456即g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a＝0時(shí)，方程F(x)＝a2不可能有四個(gè)解；當(dāng)a<0，x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值f(－1)＝2a，押題精練123456又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖(1)所示，從圖象可以看出F(x)＝a2不可能有四個(gè)解.當(dāng)a>0，x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極大值f(－1)＝2a.押題精練123456又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖(2)所示，鞏固練習(xí)C本講欄目開關(guān)思想解讀真題感悟題型與方法閱卷評析小題沖關(guān)