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山西省大同市小南頭中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1=2an+1,n∈N*,則a3=()A.3 B.2 C.1 D.0參考答案:A【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.【分析】Sn+1=2an+1,n∈N*,則n=2時(shí),可得:a2=a1+1.n=2時(shí),a1+a2+a3=2a2+1,可得:a3.【解答】解:Sn+1=2an+1,n∈N*,則n=2時(shí),a1+a2=2a1+1,可得:a2=a1+1.n=2時(shí),a1+a2+a3=2a2+1,可得:a3=2×1+1=3.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.2.在同一坐標(biāo)系中,方程的曲線大致是(
)
參考答案:A略3.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是A.2
B.2
C.4
D.4
參考答案:C略4.在表格中,每格填上一個(gè)數(shù)字后,使每一行成等差數(shù)列,每一列成等比數(shù)列,則a+b+c的值是(
)1
2
0.5
1
a
b
c
A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:A5.點(diǎn)M(x,y)是不等式組表示的平面區(qū)域Ω內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且不等式2x﹣y+m≥0恒成立,則的取m值范圍是()A.m≥3﹣2 B.m≥3 C.m≥0 D.m≥1﹣2參考答案:B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題,即可得到結(jié)論.【解答】解:若2x﹣y+m≥0總成立?m≥y﹣2x總成立即可,設(shè)z=y﹣2x,即求出z的最大值即可,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由z=y﹣2x得y=2x+z,平移直線y=2x+z,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,3)時(shí),直線的截距最大,此時(shí)z最大,此時(shí)z=3﹣0=3,∴m≥3,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,將不等式恒成立轉(zhuǎn)換為求目標(biāo)函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵.6.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),點(diǎn)A是C1,C2的公共點(diǎn).設(shè)C1,C2的離心率分別是e1,e2,∠F1AF2=2θ,則()A.sin2θ+cos2θ=B.sin2θ+cos2θ=C.sin2θ+cos2θ=1D.sin2θ+cos2θ=1參考答案:B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,=b12tanθ,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得,=,以及離心率以及a,b,c的關(guān)系即可求出答案.【解答】解:根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,=b12tanθ,∵e1=,∴a1=,∴b12=a12﹣c2=﹣c2,∴=c2()tanθ根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得,=,∵a2=,∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2()∴=c2()?,∴c2()tanθ=c2()?,∴()sin2θ=()?cos2θ,∴,故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐曲線的幾何性質(zhì),以及橢圓和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于中檔題.7.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是(
)①“若,則”的逆否命題為“若,則”;②“”是“”的必要不充分條件;③若“”為假命題,則p,q均為假命題;④若命題:,,則:,.A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:C【分析】由四種命題之間的轉(zhuǎn)化、復(fù)合命題的真假判斷和充要條件的推導(dǎo)求解.【詳解】①正確;由解得且,“”是“”的必要不充分條件,故②正確;③若“”為假命題,則,至少有一個(gè)為假命題,故③錯(cuò)誤;④正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查四種命題、復(fù)合命題和充要條件,屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸,點(diǎn)在橢圓上,且.若,,則橢圓的焦距為(
)A.
B.C. D.
參考答案:C9.拋物線上兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),且,則等于(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A解析:,且
在直線上,即
10.若直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),則的最小值是(
)A、
B4
C、
D、6參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若,其中都是實(shí)數(shù),是虛數(shù)單位,則參考答案:12.設(shè)若_______________.參考答案:1略13.已知矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AD,BC上,且,?,F(xiàn)沿EF將圖形折起,形成二面角A-EF-D為600的一個(gè)空間幾何體,則該空間幾何體的外接球的表面積為
。參考答案:8π14.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值為
.參考答案:415.一束光線從點(diǎn)A(-1,1)出發(fā),經(jīng)軸反射到圓C:上的最短路徑的長(zhǎng)度是_____。參考答案:略16.觀察下列式子:1+<,1++<,1+++<…,根據(jù)上述規(guī)律,第n個(gè)不等式應(yīng)該為
.參考答案:1+++…+<
【考點(diǎn)】歸納推理.【分析】根據(jù)規(guī)律,不等式的左邊是n+1個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和,右邊分母是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,分子是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,由此可得結(jié)論.【解答】解:根據(jù)規(guī)律,不等式的左邊是n+1個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和,右邊分母是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,分子是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以第n個(gè)不等式應(yīng)該為1+++…+<故答案為:1+++…+<【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.17.已知滿(mǎn)足,則的最大值為
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分分)
某流感中心對(duì)溫差與甲型病毒感染數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行研究,他們每天在實(shí)驗(yàn)室放入數(shù)量相同的甲型病毒和頭家禽,然后分別記錄了月號(hào)至月號(hào)每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室里頭家禽的感染數(shù),得到如下資料:日期月號(hào)月號(hào)月號(hào)月號(hào)月號(hào)溫差感染數(shù)(Ⅰ)求這天的平均感染數(shù)和方差;(Ⅱ)從月號(hào)至月號(hào)中任取兩天,這兩天的感染數(shù)分別記為,.用的形式列出所有的基本事件(和視為同一事件),并求事件“”的概率.(參考公式:方差)參考答案:解(Ⅰ)這天的平均感染數(shù)為,方差
6分(Ⅱ)所有基本事件為:,基本事件總數(shù)為,記滿(mǎn)足的事件為,則事件包含的基本事件為,,所以,.故事件的概率為.
………………12分19.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8
表中,(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利率z與x,y的關(guān)系為.根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:(i)年宣傳費(fèi)時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?(ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利率的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù),,…,,其回歸直線斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.參考答案:(1)見(jiàn)解析;(2)(3)(i)年銷(xiāo)售量576.6,年利潤(rùn)66.32(ii)【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖,即可得到判斷,得到結(jié)論;(2)先建立中間量,建立關(guān)于的線性回歸方程,進(jìn)而得到關(guān)于的線性回歸方程;(3)(i)由(2),當(dāng)時(shí),代入回歸直線的方程,即可求解;(ii)根據(jù)(2),得到年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值方程,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型.(2)令,先建立關(guān)于的線性回歸方程,由于,,所以關(guān)于的線性回歸方程為,因此關(guān)于的回歸方程為.(3)(i)由(2)知,當(dāng)時(shí),年銷(xiāo)售量的預(yù)報(bào)值,年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值.(ii)根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值,所以當(dāng),即時(shí),取得最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了散點(diǎn)圖的應(yīng)用,以及線性回歸方程的求解與應(yīng)用,其中解答中合理作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,準(zhǔn)確計(jì)算回歸直線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.20.一商店經(jīng)營(yíng)某種貨物,根據(jù)銷(xiāo)售情況,年進(jìn)貨量為5萬(wàn)件,分若干次等量進(jìn)貨(設(shè)每次進(jìn)貨x件),每進(jìn)一次貨運(yùn)費(fèi)50元,且在銷(xiāo)售完該貨物時(shí),立即進(jìn)貨;現(xiàn)以年平均件貨儲(chǔ)存在倉(cāng)庫(kù)里,庫(kù)存費(fèi)以每件20元計(jì)算,要使一年的運(yùn)費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)最省,每次進(jìn)貨量x應(yīng)是多少?參考答案:解析:設(shè)一年的運(yùn)費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)共元,
由題意知,=10,
即當(dāng)=500時(shí),故每次進(jìn)貨500件,一年的運(yùn)費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)最省21.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,PA⊥面ABCD,點(diǎn)Q在棱PA上,且PA=4PQ=4,AB=2,CD=1,AD=,∠CDA=∠BAD=,M,N分別是PD,PB的中點(diǎn).(1)求證:MQ∥面PCB;(2)求截面MCN與底面ABCD所成的銳二面角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.【分析】向量法:對(duì)于(1)求證:MQ∥平面PCB,可求出線的方向向量與面的法向量,如果兩者的內(nèi)積為0則說(shuō)明線面平行對(duì)于(2)求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小,求出兩個(gè)平面的法向量,然后根據(jù)根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關(guān)系,求解;【解答】解:法一:向量法:以A為原點(diǎn),以AD,AB,AP分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,由,PA=4PQ=4,M,N分別是PD,PB的中點(diǎn),可得:,∴,設(shè)平面的PBC的法向量為,則有:令z=1,則,∴,又MQ?平面PCB,∴MQ∥平面PCB;(2)設(shè)平面的MCN的法向量為,又則有:令z=1,則,又為平面ABCD的法向量,∴,又截面MCN與底面ABCD所成二面角為銳二面角,∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為,法二:幾何法:(1)取AP的中點(diǎn)E,連接ED,則ED∥CN,依題有Q為EP的中點(diǎn),所以MQ∥ED,所以MQ∥CN,又MQ?平面PCB,CN?平面PCB,∴MQ∥平面PCB(2)易證:平面MEN∥底面ABCD,所以截面MCN與平面MEN所成的二面角即為平面MCN與底面ABCD所成的二面角,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥平面MEN,過(guò)E做EF⊥MN,垂足為F,連接QF,則由三垂線定理可知QF⊥MN,由(1)可知M,C,N,Q四點(diǎn)共面所以∠QFE為截面MCN與平面MEN所成的二面角的平面角,,所以:,所以:;22.(本小題滿(mǎn)分13分)對(duì)某校高二年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:分組頻數(shù)頻率100.252420.05合計(jì)1
(Ⅰ)求出表中及圖中的值;(Ⅱ)若該校高二學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高二學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);(Ⅲ)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.參考答案:(Ⅰ)由分組內(nèi)的頻數(shù)是,頻率是知,,所以.
……2分因?yàn)轭l數(shù)之和為,所以,.
……………3分.
……………………4分因?yàn)槭菍?duì)應(yīng)分組的頻率與組距的商,所
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