山西省太原市第二十中學2023年高二數(shù)學理期末試題含解析

山西省太原市第二十中學2023年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知{an}為等差數(shù)列，，若{bn}為等比數(shù)列，，則{bn}的類似結論是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略2.已知橢圓的長軸長是8，焦距為6，則此橢圓的標準方程是（）A．B．或C．D．或參考答案：B【考點】K3：橢圓的標準方程．【分析】分類討論，a=4，2c=6，c=3，b2=a2﹣c2=7，即可求得橢圓方程．【解答】解：假設橢圓的焦點在x軸上，設橢圓方程（a＞b＞0），由2a=8，則a=4，2c=6，c=3，b2=a2﹣c2=7，∴橢圓的標準方程：；同理：當橢圓的焦點在y軸上，橢圓的方程：，∴橢圓的標準方程或，故選B．【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查分類討論思想，屬于基礎題．3.一個棱錐的各條棱都相等，那么這個棱錐必不是（

） A.六棱錐 B.五棱錐 C.四棱錐 D.三棱錐參考答案：A4.如圖的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為16，28，則輸出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14參考答案：C【考點】程序框圖．【專題】計算題；圖表型；分類討論；算法和程序框圖．【分析】由循環(huán)結構的特點，先判斷，再執(zhí)行，分別計算出當前的a，b的值，即可得到結論．【解答】解：由a=16，b=28，不滿足a＞b，則b變?yōu)?8﹣16=12，由b＜a，則a變?yōu)?6﹣12=4，由a＜b，則，b=12﹣4=8，由a＜b，則，b=8﹣4=4，由a=b=4，則輸出的a=4．故選：C．【點評】本題考查算法和程序框圖，主要考查循環(huán)結構的理解和運用，以及賦值語句的運用，屬于基礎題．5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段A1B1，CC1上兩個動點且，則下列結論中正確的是（

）

A．存在某個位置E，F(xiàn)，使

B．存在某個位置E，F(xiàn)，使EF∥平面C.三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等參考答案：B以為坐標原點建立空間直角坐標系，故，，，，.要垂直，則需圓與直線有交點，由于畫出圖象如下圖所示，由圖可知無交點，故選項錯誤.平面的法向量為，所以，則需圓與直線有交點，由于畫出圖象如下圖所示，由圖可知，圖象有交點，故選項正確.本題答案選.

6.（統(tǒng)計）下圖是2012年舉行的全國少數(shù)民族運動會上，七位評委為某民族舞蹈打出的分的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．85，84

B．85，84.5

C．，85

D．，85.5參考答案：A略7.兩條平行直線和圓的位置關系定義為：若兩條平行直線和圓有四個不同的公共點，則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩平行直線和圓沒有公共點，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩平行直線和圓有一個、兩個或三個不同的公共點，則稱兩條平行線和圓“相切”．已知直線，,和圓：相切，則實數(shù)的取值范圍是（▲）

A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：C略8.用秦九韶算法求n次多項式，當時，求需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（

）A．

B．n,2n,n

C．0,2n,n

D．0,n,n參考答案：D9.設不等式組,表示的平面區(qū)域為D，在平面區(qū)域為D隨機取一個點，則此點到原點的距離大于2的概率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.拋物線

的焦點坐標是

(

)

.

.

.

.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為_______________.參考答案：｛｝略12.若關于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．

參考答案：13.已知集合，集合，則A∩B=_______.參考答案：（2,+∞）【分析】先化簡集合，再求交集即可【詳解】由題，故故答案為【點睛】本題考查集合的運算，考查描述法，函數(shù)值域問題及解二次不等式，是基礎題14.已知點A（﹣4，﹣2），B（2，10），則線段AB的垂直平分線的方程是．參考答案：x+2y﹣7=0【考點】IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關系．【分析】設點P（x，y）為線段AB的垂直平分線上的任意一點，可得|PA|=|PB|，利用兩點之間的距離公式即可得出．【解答】解：設點P（x，y）為線段AB的垂直平分線上的任意一點，則|PA|=|PB|，即=，化為：x+2y﹣7=0．故答案為：x+2y﹣7=0．15.集合,,且，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：略16.設函數(shù),其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則a的取值范圍是_________參考答案：【分析】由得到，設，，從而由題意可得存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方．利用導數(shù)得到函數(shù)的單調性，然后根據(jù)兩函數(shù)的圖象的相對位置關系得到關于實數(shù)的不等式組，進而得到所求范圍．【詳解】由，得,其中，設，，∵存在唯一的整數(shù)，使得，∴存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方．∵，∴當時，單調遞減；當時，單調遞增．∴當時，，又當時，，直線過定點，斜率為，所以要滿足題意，則需，解得，∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為．【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的性質和函數(shù)圖象的應用，具有綜合性和難度，考查理解能力和運算能力，解題的關鍵是正確理解題意，將問題轉化為兩函數(shù)圖象的相對位置關系來處理，進而借助數(shù)形結合的方法得到關于參數(shù)的不等式（組），進而得到所求．17.據(jù)統(tǒng)計，高三年級男生人數(shù)占該年級學生人數(shù)60%.在一次考試中，男、女生數(shù)學平均分數(shù)分別為115,120，則這次考試該年級學生平均分數(shù)為_________.參考答案：117設高三年級的男學生數(shù)為，則該校高三年級的女學生人數(shù)為，則這次考試該年級學生的平均數(shù)為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機抽取100個進行檢查，測得每個球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)進行分組，得到如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[39.5,39.7)10

[39.7,39.9)20

[39.9,40.1)50

[40.1,40.3]20

合計100

（Ⅰ）補充完成頻率分布表，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間[39.9,40.1)的中點值是40.0)作為代表．據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值(精確到0.1)．參考答案：(1)頻率分布表：頻率分布直方圖：…………（6分）(2)這批乒乓球直徑的平均值約為39.6×0.10＋39.8×0.20＋40.0×0.50＋40.2×0.20＝39.96≈40.00(mm)．…………（12分）

19.函數(shù)（1）若函數(shù)在內有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）或．（2）【分析】（1）先對函數(shù)求導、然后因式分解，根據(jù)函數(shù)在在內有兩個極值點列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.（2）先對函數(shù)求導并因式分解.對分成三種情況，利用的單調性，結合不等式在上恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知，．有得：或．（2）．①當時，，符合題意．②當時，令，得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．此時只需：解得：或，故．③當時，令，得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，此時只需：解得：，故，由上知實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間、極值，考查利用導數(shù)求解不等式恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，綜合性很強，屬于難題.20.已知數(shù)列{an}滿足，，（1）當時，求證{}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；等比關系的確定．【專題】計算題；轉化思想；換元法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）通過對變形可知an+1﹣=（an﹣），利用即得結論；（2）通過（1）及等比數(shù)列的求和公式計算即得結論．【解答】（1）證明：∵，∴an+1﹣=（an﹣），又∵，∴an﹣≠0，∴數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；（2）解：由及（1）可知，an﹣=（﹣）?=，∴an=+．【點評】本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調性;（3）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍．參考答案：（1）因為是奇函數(shù)，所以=0，即（2）由（1）知，設，則.因為函數(shù)y=2在R上是增函數(shù)且，∴>0.又>0，∴>0，即，∴在上為減函數(shù).（3）因為是奇函數(shù)，從而不等式

等價于，因為為減函數(shù)，由上式推得．即對一切有，

從而判別式22.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，

（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB

（Ⅱ）證明：平面平面參考答案：見解析.試題分析：（Ⅰ）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA∥平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內的