山西省忻州市南河溝鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市南河溝鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.要使函數(shù)在[1,

2]上存在反函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D.[1，2]參考答案：C2.設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為，則三棱錐D-ABC體積的最大值為

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為,若△ABC的面積為,且,則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點(diǎn)】正弦定理余弦定理C8C由余弦定理，聯(lián)立，得，，即，結(jié)合，得或（舍），從而，，故選C.【思路點(diǎn)撥】聯(lián)立和，得，從而可求.4.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為AA1的中點(diǎn)，M在側(cè)面AA1B1B上，有下列四個命題：①若，則面積的最小值為；②平面內(nèi)存在與平行的直線；③過A作平面，使得棱AD，，在平面的正投影的長度相等，則這樣的平面有4個；④過A作面與面平行，則正方體ABCD-A1B1C1D1在面的正投影面積為．則上述四個命題中，真命題的個數(shù)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】①建立空間坐標(biāo)系，得到點(diǎn)應(yīng)該滿足的條件，再根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法求解即可；對于②，平面，所以也與平面相交．故②錯；對于③過作平面，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，因?yàn)?，且，所以在平面的正投影長度與在平面的正投影長度相等，然后分情況討論即可得到平面的個數(shù)；對于④面與面平行，則正方體在面的正投影為正六邊形，且正六邊形的邊長為正三角形外接圓的半徑，故其面積為．【詳解】解：對于①，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示；過作平面，是垂足，過作，交于，連結(jié)，則，，，，，，，設(shè)，則，，∵，∴，解得，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，，①正確；對于，平面，所以也與平面相交．故②錯；③過作平面，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，因?yàn)?，且，故在平面的正投影的長度等于在平面的正投影的長度，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，即使得使得棱，，面的正投影的長度相等，若棱，，面的同側(cè)，則為過且與平面平行的平面，若棱，，中有一條棱和另外兩條棱分別在平面的異側(cè)，則這樣的平面有3個，故滿足使得棱，，在平面的正投影的長度相等的平面有4個；③正確．④過作面與面平行，則正方體在面的正投影為一個正六邊形，其中平面，而分別垂直于正三角形和，所以根據(jù)對稱性，正方體的8個頂點(diǎn)中，在平面內(nèi)的投影點(diǎn)重合與正六邊形的中心，其它六個頂點(diǎn)投影恰是正六邊形的六個頂點(diǎn)，且正六邊形的邊長等于正三角形的外接圓半徑（投影線與正三角形、垂直），所以正六邊形的邊長為，所以投影的面積為．④對．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力．5.若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A. B.的虛部為C. D.參考答案：D【分析】本題首先可以通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，然后通過復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次求出、的虛部、、，即可得出結(jié)果。【詳解】，，故A錯；的虛部為，故B錯；，故C錯；，故D正確，綜上所述，故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡單題。6.設(shè)z=i(2+i)，則=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i參考答案：D因?yàn)?，所?

7.已知A、B分別為雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且△ABP為等腰三角形，若雙曲線的離心率為，則∠ABP的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．30°或120°參考答案：D【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】雙曲線的離心率為，則a=b，雙曲線方程為x2﹣y2=a2，利用△ABP為等腰三角形，分類討論，即可求出∠ABP的度數(shù)．【解答】解：雙曲線的離心率為，則a=b，雙曲線方程為x2﹣y2=a2，若|AB|=|BP|=2a，設(shè)P（m，n），則，∴m=2a，∴∠PBx=60°，∴∠ABP=120°；若|AB|=|AP|=2a，設(shè)P（m，n），則，∴m=﹣2a，∴∠PAB=120°，∴∠ABP=30°，故選D．8.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10＝36，前18項(xiàng)的和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項(xiàng)和T18的值是（

）A．24

B．48

C．60

D．84參考答案：【知識點(diǎn)】數(shù)列求和D4【答案解析】C

∵a1＞0，a10?a11＜0，∴d＜0，a10＞0，a11＜0，

∴T18=a1+…+a10-a11-…-a18=S10-（S18-S10）=60．故選C．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，然后再求數(shù)列{|an|}的前18項(xiàng)和．9.已知集合，集合，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.下列語句中：①

②

③

④

⑤

⑥

其中是賦值語句的個數(shù)為（

）A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則

.參考答案：012.如圖，已知是⊙的一條弦，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，交⊙于，若，，則的長是

參考答案：如圖，因?yàn)?，所以是弦中點(diǎn)，由相交弦定理知，

即，故13.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則=_______，首項(xiàng)=_______；公差=_______.參考答案：略14.在△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c2sinA=5sinC，（a+c）2=16+b2，則△ABC的面積是

．參考答案：2【考點(diǎn)】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化簡已知等式可得ac=5，由余弦定理可求cosB=，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解得sinB，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵c2sinA=5sinC，∴ac2=5c，可得：ac=5，∵（a+c）2=16+b2，可得：b2=a2+c2+2ac﹣16，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：2ac﹣16=﹣2accosB，整理可得：2ac（1+cosB）=16，∴cosB=，解得sinB==，∴S△ABC=acsinB==2．故答案為：2．15.已知是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：16.設(shè)則=

。

參考答案：-217.已知直線2x﹣y=0為雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為

．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程為y=±x，結(jié)合題意可得=，又由雙曲線離心率公式e2===1+，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，其漸近線方程為：y=±x，又由其一條漸近線的方程為：2x﹣y=0，即y=，則有=，則其離心率e2===1+=，則有e=；故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為．以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線，為實(shí)數(shù)．（1）求曲線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，從點(diǎn)向作切線，切線長的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．參考答案：（1），;（2）（2）切線長的最小值為即圓心到直線的距離為3解得19.袋中有8個大小相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．（I）若從袋中一次摸出2個小球，求恰為異色球的概率；（II）若從袋中一次摸出3個小球，且3個球中，黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球的個數(shù)，記此時(shí)紅球的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（I）從8個球中摸出2個小球的種數(shù)為．其中一次摸出2個小球，恰為異色球包括一黑一白，一黑一紅，一白一紅三種類型，為，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．（II）符合條件的摸法包括以下三種：一種是有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有種方法；一種是有2個紅球，1個其它顏色球，共有種方法；一種是所摸得的3小球均為紅球，共有種摸法；故符合條件的不同摸法共有40種．利用古典概型的概率計(jì)算公式、分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．解答： 解：（Ⅰ）摸出的2個小球?yàn)楫惿虻姆N數(shù)為=19．從8個球中摸出2個小球的種數(shù)為．故所求概率為．（Ⅱ）符合條件的摸法包括以下三種：一種是有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有=12種．一種是有2個紅球，1個其它顏色球，共有=24種，一種是所摸得的3小球均為紅球，共有種不同摸法，故符合條件的不同摸法共有40種．P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．由題意知，隨機(jī)變量ξ的取值為1，2，3．其分布列為：ξ123PEξ==．點(diǎn)評：正確分類和掌握古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．20.一緝私艇A發(fā)現(xiàn)在北偏東方向,距離12nmile的海面上有一走私船C正以10nmile/h的速度沿東偏南方向逃竄.緝私艇的速度為14nmile/h,若要在最短的時(shí)間內(nèi)追上該走私船,緝私艇應(yīng)沿北偏東的方向去追,.求追及所需的時(shí)間和角的正弦值.

參考答案：解：設(shè)A,C分別表示緝私艇,走私船的位置,設(shè)經(jīng)過

小時(shí)后在B處追上,

則有

所以所需時(shí)間2小時(shí),21.（本題滿分13分）已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)(Ⅰ).求表達(dá)式；(Ⅱ).若直線與函數(shù)的圖像恰有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅲ).試討論當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，直線的圖像恰有個公共點(diǎn)，且這個公共點(diǎn)均勻分布在直線上。（不要求過程）參考答案：22.中國政府實(shí)施“互聯(lián)網(wǎng)+”戰(zhàn)略以來，手機(jī)作為客戶端越來越為人們所青睞，通過手機(jī)實(shí)現(xiàn)衣食住行消費(fèi)已經(jīng)成為一種主要的消費(fèi)方式，“一機(jī)在手，走遍天下”的時(shí)代已經(jīng)到來。在某著名的夜市，隨機(jī)調(diào)查了100名顧客購物時(shí)使用手機(jī)支付的情況，得到如下的2×2列聯(lián)表，已知其中從使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取1人，抽到青年的概率為.(1)根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)此資料判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“市場購物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”？(2)現(xiàn)采用分層抽樣從這100名顧客中按照“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”中抽取得到一個容量為5的樣本，設(shè)事件A為“從這個樣本中任選2人，這2人中至少有1人是不使用手機(jī)支付的”，求事件A發(fā)生的概率？

2×2列聯(lián)表

青年中老年合計(jì)使用手機(jī)支付

60不使用手機(jī)支付

24

合計(jì)

100附：參考答案：解：(1)從使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取1人，抽到青年的概率為使用手機(jī)支付的人群中的青年的人數(shù)為人，

則使用手機(jī)支付的人群中的中老年的人數(shù)為人，所以列聯(lián)表為:

青年中老年合計(jì)使用手機(jī)支付421860不使用手機(jī)支付162440合計(jì)5842100的觀測值

，

故有的把握認(rèn)為“市場購物用手機(jī)支付與