隨機過程-1.緒論與概率的定義

隨機過程

——基礎(chǔ)及應(yīng)用nk_lilihua@教材：《隨機過程基礎(chǔ)》

王家生，天津大學(xué)出版社參考教材：《應(yīng)用隨機過程》

林元烈，清華大學(xué)出版社《隨機過程應(yīng)用》

科學(xué)出版社《隨機過程及其應(yīng)用》

路大琻清華大學(xué)出版社先修課程：高等數(shù)學(xué)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計等什么是隨機性？1.隨機因素可以忽略2.隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)3.隨機因素影響必須考慮確定性模型隨機性模型隨機性就是不確定性確定性是理想化的，隨機性是現(xiàn)實中必然存在的自然界中事物的變化過程分為兩類確定性過程：具有確定形式的變化過程；或者說具有必然的變化規(guī)律；用數(shù)學(xué)語言來說，事物的變化過程可以用一個時間t的函數(shù)來描述。隨機過程：沒有確定的變化形式；也就是說每次對它的測量結(jié)果沒有一個確定的變化規(guī)律；用數(shù)學(xué)語言來說，這類事物的變化全過程不能用一個時間t的確定性函數(shù)來描述。例、群體增長問題（確定性模型和隨機性模型）1)設(shè)x(t)表示t時刻群體中的細(xì)菌數(shù)，假定群體的細(xì)菌數(shù)只能增加，在[t,t+△t]內(nèi)細(xì)菌的增加與時刻t時的細(xì)菌數(shù)成正比，即由此可得到微分方程這里，我們假定x(t)是時間t的連續(xù)可微函數(shù)，這就是描述細(xì)菌群體增長的確定性模型

2).現(xiàn)在考慮解決這一問題的隨機模型用X(t)表示t時刻的細(xì)菌數(shù)，X(t)是一個取非負(fù)整數(shù)值的隨機變量，于是{X(t)}是一個隨機過程。我們研究P{x(t)=k}=pk(t),即t時刻細(xì)菌數(shù)的概率分布同樣，可以建立可列多個方程組成的差分方程組，求解得到pk(t)的表達(dá)式。在隨機模型中，我們得到的X(t)是取非負(fù)整數(shù)的，并得到了t時刻群體細(xì)菌數(shù)為k的概率如果另m(t)=E[X(t)],（這是隨機過程的數(shù)學(xué)期望定義）經(jīng)計算可得即t時刻群體細(xì)菌數(shù)的數(shù)學(xué)期望與確定性模型群體含量表達(dá)式是相同的，也就是說確定性模型得到的解是t時刻的平均群體數(shù)目。但是，隨機模型卻給出了更多的信息，如還可以求出t時刻X(t)的方差或其他數(shù)字特征，有實際意義什么是隨機過程？隨機過程是現(xiàn)代概率論中的一部分重要內(nèi)容隨機過程與概率論密不可分

概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)分支隨機現(xiàn)象隨時間的進(jìn)展而變化發(fā)展，這樣的動態(tài)過程,稱之為隨機過程隨機過程的提出和發(fā)展事件的概率則是指衡量該事件發(fā)生的可能性的量度雖然在一次隨機試驗中發(fā)生某個事件是帶有偶然性的，但那些可以在相同條件下大量重復(fù)的隨機試驗卻往往呈現(xiàn)出明顯的數(shù)量規(guī)律性。（大數(shù)定律和中心極限定理）在實際中，人們往往要研究時間推進(jìn)中某一特定隨機現(xiàn)象的演變情況，描述這種演變的就是隨機過程隨機現(xiàn)象指的是這樣的客觀現(xiàn)象，當(dāng)人們觀察它時，所得的結(jié)果不能預(yù)先確定，而只是多種可能結(jié)果中的一種隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗隨機試驗的每一個可能結(jié)果稱為一個基本事件，一個或一組基本事件通稱為隨機事件，簡稱事件隨機過程的應(yīng)用

隨機數(shù)學(xué)方法就是透過隨機現(xiàn)象表面的偶然性揭示過程的內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)工具經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域：股票價格預(yù)測，經(jīng)濟(jì)增長預(yù)測物理領(lǐng)域：分子布朗運動，天體運行軌道等服務(wù)系統(tǒng)：電話通信，機器損修，病人候診，公交車等待等等生物數(shù)學(xué)：群體遷移，增長模型等圖像處理：圖像分割與識別等社會科學(xué)、天氣預(yù)報等學(xué)習(xí)要求掌握隨機過程的基本概念，掌握典型的幾種常用隨機過程模型不僅要掌握知識，更重要的是掌握思想學(xué)會把抽象的問題和實際隨機模型結(jié)合起來；能夠利用隨機方法分析并解決問題隨機過程基礎(chǔ)知識基本概念馬爾可夫過程時間序列分析平穩(wěn)過程維納過程泊淞過程

第一章概率論的基礎(chǔ)知識

第一節(jié)隨機事件與概率

第二節(jié)隨機變量及其分布

第三節(jié)隨機變量的數(shù)字特征

第四節(jié)矩母函數(shù)和特征函數(shù)

第五節(jié)條件期望

第六節(jié)指數(shù)分布

第七節(jié)收斂性和極限定理第一節(jié)隨機事件與概率

1.隨機試驗

一、基本概念要點

其結(jié)果在事先不能確定的試驗。具有三個特性：（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗的結(jié)果不止一個，并能事先明確試驗的所有可能的結(jié)果；（3）每次試驗前不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。2.樣本點（基本事件）對于隨機試驗E，以ω表示它的一個可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果，稱ω為E的一個樣本點。3.樣本空間

樣本點的全體稱為樣本空間，用Ω表示。

Ω＝{ω}4.隨機事件

樣本空間Ω的子集就是隨機事件，簡稱事件。用大寫英文字母A、B、C等來表示。稱事件A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)A中一個樣本點出現(xiàn)。樣本空間也是一個事件，稱必然事件。空集稱為不可能事件。

事件的關(guān)系與運算（并、交、差、極限運算）

5.集類6.事件域7.概率概率是滿足非負(fù)性；規(guī)一性；可列可加性；的集函數(shù)。二、概率的性質(zhì)1.2.3.有限可加性

4.5.6.

7.8.可列次可加性三、概率的連續(xù)性

1．極限事件

對于事件則稱事件序列則稱事件序列

這樣可定義一個新的事件，記為遞增，遞減，

2．連續(xù)性定理若是遞增的或遞減的事件序列，證明則即由包含在中但不在任何前面的（）中的點組成。設(shè)是遞增序列，并定義事件：定理1容易驗證（）是互不相交的事件，且滿足和于是說明:極限事件的概率等于事件概率的極限設(shè)E為隨機試驗，為其樣本空間，A、B為任意兩個事件，四、條件概率為事件A出現(xiàn)的情況下，事件B的條件概率，或簡稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。若1．定義則稱定理2（乘法公式）

2．基本公式

假設(shè)為任意n個事件（），若則定理3（全概率公式與貝葉斯公式）設(shè)事件兩兩互不相容，則（1）對任意事件A，有（2）對任意事件A

，若，有五、獨立性如果事件A，B滿足

設(shè)是n個事件，如果對于任意和，有則稱事件相互獨立。則稱事件A，B相互獨立。1．定義兩個n個2．獨立性的性質(zhì)定理4

若事件A，B相互獨立，則；；分別也相互獨立.定理5

設(shè)事件相互獨立，若其中任意個事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的對立事件，則所得的n個事件仍然相互獨立。

推論若事件相互獨立，則

證事件的獨立性