線性代數(shù)向量的定義及運算_第1頁
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關(guān)于線性代數(shù)向量的定義及運算第一頁,共十八頁,2022年,8月28日平面上的向量的全體:任意規(guī)定加法和數(shù)乘為:易見向量的加法和數(shù)乘滿足矩陣的8條運算規(guī)律.于是就是平面上全體向量的集合,具有兩個封閉的運算(加法和數(shù)乘),這兩個運算適合8條規(guī)律.§4.1向量的定義及運算第二頁,共十八頁,2022年,8月28日同樣,(歐式)空間中的向量視為即實數(shù)域上所有三維向量的全體.類似地規(guī)定向量加法和數(shù)乘,加法和數(shù)乘運算也適合8條規(guī)律.第三頁,共十八頁,2022年,8月28日n維行向量和n維列向量都稱為n維向量(vector),n維向量常用小寫黑體字母表示.將2、3維向量推廣到n維向量.定義4.1.1由n個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組,記作稱為n維行向量;若記作則稱為n維列向量.稱數(shù)為的第i個分量.第四頁,共十八頁,2022年,8月28日例:n維實向量n維復(fù)向量第1個分量第n個分量第2個分量例:n-1次代數(shù)多項式系數(shù)向量n維向量的實際意義:第五頁,共十八頁,2022年,8月28日

時,維向量沒有直觀的幾何形象.例:確定飛機的狀態(tài),需要以下6個參數(shù):飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的仰角機翼的轉(zhuǎn)角所以,確定飛機的狀態(tài),需用6維向量第六頁,共十八頁,2022年,8月28日定義4.1.2設(shè)兩個向量則稱向量α與β相等,記作α=β.(1)如果它們對應(yīng)的分量分別相等,即(3)數(shù)量乘法:k為實數(shù),稱向量(2)加法:稱向量為α與β的和,記作為k與α的數(shù)乘,記作第七頁,共十八頁,2022年,8月28日(5)稱為α的負向量,記作-α.因而可以定義向量的減法運算:(4)分量全為0的向量稱為零向量,記作0(注意區(qū)別數(shù)零和零向量).第八頁,共十八頁,2022年,8月28日對任意的n維向量α,β,γ及任意的數(shù)k,l,向量的線性運算滿足下面八條基本的運算規(guī)律:

向量的加法以及數(shù)與向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算,這些運算可歸結(jié)為數(shù)(分量)的加法與乘法.顯然,向量的線性運算是矩陣的線性運算的特殊情形.第九頁,共十八頁,2022年,8月28日定義4.1.3全體n維實行向量構(gòu)成的集合,對于上面定義的向量加法、實數(shù)與向量的數(shù)乘運算,構(gòu)成n維(實)行向量空間;類似地,定義n維(實)列向量空間;用符號表示或,稱為n維(實)向量空間.第十頁,共十八頁,2022年,8月28日例4.1.1設(shè)求解:第十一頁,共十八頁,2022年,8月28日得到的向量稱為向量組的線性組合,或稱可由線性表出.定義4.1.4給定中的向量實數(shù)經(jīng)線性運算兩個向量的線性組合的幾何示意圖第十二頁,共十八頁,2022年,8月28日證明:由向量的線性運算,得即例4.1.2向量和的幾個線性組合:例4.1.4證明:任意n維向量是向量組的線性組合.第十三頁,共十八頁,2022年,8月28日例4.1.5令,能否寫成和的線性組合?解:根據(jù)定義,問題即判斷向量方程是否有解.即第十四頁,共十八頁,2022年,8月28日利用初等行變換將增廣矩陣化成行最簡形:解是因此可以寫成和的線性組合:第十五頁,共十八頁,2022年,8月28日其增廣矩陣為當(dāng)是行向量空間時,上式兩端轉(zhuǎn)置,得當(dāng)是列向量空間時,其增廣矩陣為有無解.一般地,判斷能否由向量組線性表出,即判斷向量方程線性方程組的向量表示形式第十六頁,共十八頁,2022年,8月28日定義4.1.5設(shè)由的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合稱為由

張成(生成)的的子集,記為即

若和是非零向量,且不共線,則表示由向量和確

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