鄭州大學《有限元原理》課件：第四章有限元法幾個關鍵問題

第四章有限元法計算中的幾個關鍵問題§4.1單元問題§4.2

Substructure§4.3聯(lián)結單元§4.4鋼筋混凝土結構模型1§4.1單元問題一、有限單元單元的特征①單元族：每種單元所假定的幾何類型不同。實體單元、殼單元、梁單元、桁架單元、膜單元、無限單元、彈簧和粘壺、剛性體單元。②自由度：計算的基本變量1、2、3方向的移動，繞1、2、3方向的轉動，開口截面梁單元的翹曲，聲壓、孔隙壓力或靜水壓力，電勢，實體單元的溫度一、單元問題二、縮減積分三、應力計算四、模型建立問題2③結點數(shù)目與插值的階數(shù)一次、二次插值，一般都提供二次單元選擇④單元性質(zhì)截面特性。材料特性和任何附加的幾何信息。如三維梁單元：材料特性，梁截面輪廓。自由度包括每個點（2個點）的三個方向位移、三個方向的轉角⑤數(shù)學描述和積分定義單元行為的數(shù)學理論；應力或位移式基于Lagrange或材料描述，歐拉方法描述。每個單元幾個積分點？完全積分，縮減積分3⑥單元輸出變量輸出變量是相對于整體坐標系還是在自己定義的局部坐標系。剛性體個剛性單元：計算效率問題彈簧和減震器單元：在不需要詳細模擬整體的情況下建立2結點的有效剛度或阻尼。二、實體單元的完全積分和縮減積分完全積分：指單元形狀規(guī)則時，所用的Gauss積分點數(shù)目足以對單元剛度矩陣的多項式進行精確積分。形狀規(guī)則是指直線邊界、直角。如矩形四邊形單元。4線性單元完全積分二次單元完全積分被積函數(shù)f(x)為m次多項式，積分點數(shù)目n滿足：可以取得精確積分一維問題：插值函數(shù)的多項式為p，微分算子中的導數(shù)階數(shù)是m，被積函數(shù)是2(p-m)次多項式.Gauss積分點應達到精確積分要求5◆二維4結點等參單元：插值函數(shù)包含有2次項，假設|J|是常數(shù)，應取(2+1)/2=2，即2x2個積分點才能達到精確積分?！舳S8結點等參單元：需要3x3個積分點大多數(shù)情況下，實際選取的積分點數(shù)低于精確積分點。高斯積分點數(shù)低于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要階數(shù)的積分方案稱為縮減積分.一般去在每個方向少用一個積分點。6三、應力計算stressrecovery■Error≠MistakeinFEM(Modelingorsolution)Typeoferror:★Modelingerror(beam,plate,…theories)★

Discretizationerror(Finite,Piecewise)★

Numericalerror(InsolvingFEequations)AsthemeshintheFEmodelsisrefinedrepeaedly,theFEsolutionwillconvergetotheexactsolutionofthemathematicalmodeloftheproblem.7TwotypeofproceduresTheresidualbasederrorestimatorTherecoverybasederrorestimatorAachievingafairlygoodstressapproximationfortheFEM---stressrecoverymethodsstressrecoveryproceduresinclude:

■asimpleaveragingofthestressesobtainedfromallelementsataparticularnode;Themeanstresstechniqueisthemostsimpleforrealization,buttheleastaccurate.

■thegloballeast-squaresprocedures.8UsuallytheusageofthenodesoftheGauss

quadratureformulaasinterpolationorextrapolationpointsleadstobetterresults.superconvergentstresspointsxxxxx@Thebi-linearelementshave1superconvergentpointsintwodimensions.@Thebi-quadraticelementshave4superconvergentpointsintwodimensions.9◆TheSPRrecoverymethod(Superconvergentpatchsrecovery)◆TheREPrecovery(RecoverybyEquilibriumofPatches)[1]O.C.ZienkiewiczandJ.Z.Zhu,Superconvergenceandthesuperconvergentpatchrecovery,FiniteElem.Anal.Des.19(1995)11-23.[2]A.A.Rogovoy.THESTRESSRECOVERYPROCEDUREFORTHEFINITEELEMENTMETHOD,Computers&StrucruresVol.63,No.6,pp:1121-1137,199710四、模型建立問題1.單元類型和形狀的選擇■根據(jù)分析對象的物理屬性，可選擇固體力學單元、流體力學單元、熱傳導單元等?！鲈诠腆w力學單元類型中，還可根據(jù)對象的幾何特點，選擇二維、三維實體單元，梁、板、殼結構單元，半無窮單元等。■單元階次的選擇與求解域內(nèi)應力變化的特點有關，應力梯度大的區(qū)域，單元階次應較高，否則即使網(wǎng)格很密也難達到理想的結果。112.網(wǎng)格的劃分■對于應力變化激烈的地區(qū)局部加密網(wǎng)格進行重分析?！梢栽谠W(wǎng)格中進行；▲也可以將高應力區(qū)截取出來進行網(wǎng)格加密，并將前一次全結構分析的結果作為邊界條件施加在局部加密的網(wǎng)格邊界上進行重分析?？傮w一局部分析法?！霾捎冒走m應分析方法。即對前一次分析的結果作出誤差估計，如果誤差超過規(guī)定，再由程序自動加密網(wǎng)格，或提高單元階次后進行重分析，直至滿足精度要求。12■疏密網(wǎng)格的過渡123◆采用形狀不規(guī)則的單元過渡.不足之處是可能單元形狀不好而影響局部的精度。◆采用三角形單元過渡。不足之處是可能因引人不同形式的單元而帶來不便。◆采用多點約束方法過渡消除變量2。增加程序處理的麻煩13■充分利用結構對稱性和周期性實際工程中，很多結構具有對稱性和周期性。如能恰當?shù)丶右岳?，可以使結構的有限元計算模型以及相應的計算規(guī)模得到縮減，從而使數(shù)據(jù)準備工作和計算工作量大幅度地降低。問題：大規(guī)模計算，如何降低計算工作量？§4.2

Substructuremethod■利用子結構法凝聚掉結構中幾何形狀相同的部分的內(nèi)部變量14了結構法是把初始結構分割成一開始就計劃好的若干部分，并作為處理大型有限元分析工程或者使分析適應有限的計算機資源的一種方法。15Substructuresarecollectionsofelementsfromwhichtheinternaldegreesoffreedomhavebeeneliminated.Thesystemisdividedintoanumberofpartsorsegments,eachcalledasubstructure.Eachsubstructure,inturn,isdividedintoseveralfiniteelements.Bytreatingeachsubstructureasalargeelementwithmanyinteriorandexterior(boundary)nodes,andusingaprocedureknownasstatic

condensation,theequationsofthesubstructurearereducedtoaforminvolvingonlytheexteriornodesofthatparticularsubstructure.16InststicanalysisIndynamicanalysisIngeometricallynonlinearstress/displacementanalysisSubstructure1b:boundarynodeofsubstructure;i:interiornodeofsubstructure.求出Xi把Xi代入方程117即18e:nonsubstructurenodes19ConstructingstiffnessmatrixofsubstructureinlocalCoordinatesystem,onlyonetime.CoordinatemappingtotheglobalCoordinatesystemforallsubstructure..Torecoverthesolutioninternaltothesubstructure20Notting■

Asubstructure’sstiffnessmatrixisfullypopulated(nozeroterms),therefore,maybeverylargeifthesubstructurehasalargenumberofremaineddegreesoffreedom.Thisdifficultycanoftenbeavoidedbychoosingthesubstructure’sboundariescarefullyorbyreusingseveralsmallersubstructureratherthanasinglelargersubstructure.■Thesubstructurenodesmustbespecifiedinthesameorderwithinthesubstructure.■defining

substructure’sproperties:anytranslation,rotation,andreflectionofsubstructure.21【1】R.H.Dodds,Jr.,andL.A.Lopez:Substructuringinlinearandnonlinearanalysis,InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering.15,583-597,1980.【2】M.KondoandG.B.Sinclair:Asimplesubstructuringprocedureforfiniteelementanalysisofstressconcentrations,CommunicationsinAppliedNumericalMethods.1,215-218,1985.22§

4.3聯(lián)結單元■鋼筋與混凝土不同材料，若不滑移，粘結足夠好，單元之間相互鉸接?！鋈艨紤]二者相對滑移，粘結力可能發(fā)生破壞，則需要引入另一種能反映鋼筋與混凝土之間的界面單元，即連接單元。■聯(lián)結單元作用：沿著與聯(lián)結面垂直方向傳遞壓力，沿著與聯(lián)結面平行方向傳遞剪應力，但不能傳遞拉應力。234.3.1雙彈簧連接單元混凝土單元邊緣鋼筋單元邊緣ijxyX’y’具有彈性剛度，無實際幾何尺寸.根據(jù)需要設置，不滑移的結點可不設置。平行彈簧用以計算滑移和粘結力，垂直彈簧用以用以考慮鋼筋的銷栓作用。剛度kh,kv24UxUyxyuxuy混凝土單元邊緣鋼筋單元邊緣ijxyX’y’uhuvuxuy局部坐標整體坐標2526單元剛度矩陣274.3.2四結點線性節(jié)理單元x’y’ijmnlengthlwidthel/2l/2厚度為0Goodman單元沿長度方向線性插值單元結點力結點位移28上下水平位移差上下垂直位移差一、基本方程x’y’ijmnlengthlwidthe29假設:單元內(nèi)剪應力與水平位移之差成正比；單元內(nèi)正應力與垂直位移之差成正比。初始剪應力和正應力切線剛度法線剛度30有限元方程單元內(nèi)虛位移之差單元應力所做的虛功單元結點力所做的虛功二者相等初應力引起的結點荷載31t:z方向的厚度。二、初應力引起的結點荷載若2個結點的初應力相等ij32整體坐標系中UxUyxyuxuy法向剛度ks：當節(jié)理受壓是，為了描述兩邊二維單元在接觸面處不會重疊，應取很大的數(shù)，使之互相嵌入的相對位移小到可以忽略不計；但若算出節(jié)理面法向應力為拉應力，kn應取很小的值。切向剛度kn：試驗確定。剪應力與剪切位移成非線性關系，剪應力小時ks較大，剪應力大到破壞時，ks則較小。三、坐標變換33四、有限寬度的節(jié)理單元x’y’ij