材料力學劉馮文第五版 附錄1-幾何性質

附錄平面圖形的幾何性質11.靜矩與形心2.慣性矩,極慣性矩和慣性積3.平行移軸公式,轉軸公式靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、形心主慣性軸本章重點關鍵概念2目錄

§-1靜矩和形心§I-2極慣性矩·慣性矩·慣性積§-3平行移軸公式§-4慣性矩和慣性積的轉軸公式.截面的主慣性軸和主慣性矩。3重心位置的確定由合力矩定理分別為微元體的質量和物體的總質量，

g為重力加速度。則有：設：其中物體質心坐標的一般計算公式。P4§-1靜矩和形心一.基本概念1.靜矩

(或一次矩)OxdAyyxC—

微面積對y

軸的靜矩—微面積對x軸的靜矩—整個平面圖形對y軸的靜矩—整個平面圖形對x軸的靜矩對等厚薄板對均質物體52.形心坐標公式常用單位:m3

或

mm3。數值:可為正、負或

0。3.靜矩與形心坐標的關系推論:截面對形心軸的靜矩恒為零。反之,截面對某軸的靜矩為零,則此軸一定過形心,是形心軸。61.組合截面的靜矩根據靜矩的定義:

整個平面圖形對某軸的靜矩應等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數和,即：二.討論：2.組合截面的形心坐標公式式中：分別是第i個簡單圖形的形心坐標和面積7§I-2極慣性矩·慣性矩·慣性積1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）所以OxyyxrdA即截面對一點的極慣性矩,等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。可知，，均為正83.慣性積（其值可為正、為負或為零)結論：截面對于包含對稱軸在內的一對正交軸的慣性積為零。4.慣性半徑（單位:長度的一次方）OxyyxrdA回轉半徑（慣性半徑）

或9例：試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）

x和y的慣性矩。解：取平行于x軸的狹長條則

dA=bdy同理yhCxdyyb思考題I：平行四邊形對形心軸x

的慣性矩應怎樣計算？10§-3平行移軸公式1.平行移軸公式推導圖示面積為A

的任意形狀的平面，c為其形心,xc,

yc為形心坐標軸。與該形心坐標軸分別平行的任意坐標軸為x，y,形心c在oxy坐標系下的坐標為(a,b)。任意微面元dA在兩坐標系下的坐標關系為：aycyxcxCObdAxcycyx11同理,有：注：式中的

a、b

代表形心位置坐標值,有時可能取負值。12§-4慣性矩和慣性積的轉軸公式.截面的主慣性軸和主慣性矩一.轉軸公式新坐標系ox1y1舊坐標系oxy

將上述關系代入平面圖形對

x1軸的慣性矩：yxyxOaay1x1BCDEy1x1AdA13

利用三角函數整理上式,得轉軸公式：同理得：規(guī)定:上式中的

的符號為:逆時針為正,順時針為負。14即:截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的兩慣性矩之和為一常數,并等于截面對該坐標原點的極慣性矩。將上述轉軸公式中的前兩式相加可得：討論：從慣性積的轉軸公式可推知,隨著坐標軸旋轉,慣性積將隨著

角作周期性變化,且有正有負。因此,必有一特定的角度

0

,使截面對與該角對應的新坐標軸

x0、y0

的慣性積為零。依此進行如下定義：二.截面的主慣性軸和主慣性矩151.主慣性軸:當平面圖形對某一對正交坐標軸

y0、z0

的則坐標軸

y0、z0

稱為主慣性軸。推論:具有一個或兩個對稱軸的正交坐標軸一定是

平面圖形的主慣性軸。2.

主慣性矩:

平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。

3.

形心主慣性軸:

過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸。可以證明:任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸。4.形心主慣性矩:平面圖形對任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。=0時,163.主慣性軸位置的確定設坐標軸轉動角度為0,則由慣性積的轉軸公式及

主慣性軸的定義,得：經整理,得4.主慣性矩的確定

由上面

tan20

的表達式求出cos20、sin20

后,再代入慣性矩的轉軸公式,化簡后可得主慣性矩的計算公式如下：17結論：1.若截面有一根對稱軸,則此軸即為形心主慣性軸之