材料力學動載荷課件

10.1 概述一、靜載荷、動載荷：

載荷不隨時間變化(或變化極其平穩(wěn)緩慢)且使構件各部分加速度保持為零(或可忽略不計)，此類載荷為靜載荷。 載荷隨時間急劇變化且使構件的速度有顯著變化，即有明顯的加速度(------具有慣性力：“-m·a”)，此類載荷為動載荷。 如：高速旋轉的砂輪、快速起吊的重物(電梯)、受沖擊載荷的構件、振動的問題等。

二、動應力：10.1 概述

構件內部由于動載荷作用而產生的應力，稱為動應力。用“σd、τd”表示。

實驗表明：

胡克定律無論是在靜載荷下，還是在動載荷下， 只要應力不超過比例極限(σmax<σp)，都成立。

10.2用動靜法求應力和變形達朗伯原理------動靜法：慣性力的方向與加速度方向相反，慣性力的大小等于加速度與質量的乘積(m·a)。

F=m·a----“牛頓第二定律”；F

-

m·a=0。一、構件作勻加速直線運動以勻加速上升的桿為例：由圖列平衡方程：Σx=0得：Nd=Ax·γ+Ax(γ/g)a

=A·γ(1+a/g)xPaxxIINd得該桿各截面的動應力：σd=Nd/A=γ·(1+a/g)x桿重Q=ALγ，A=Q/(Lγ)代入上兩式得：Nd=

(1+a/g)x·Q/Lσd=(1+a/g)(Q/A)·x/L而纜繩的牽引力Pd為：Pd=(1+a/g)·Q下面分別比較動、靜狀態(tài)下的情形：Nd=A·γ(1+a/g)xσd=γ·(1+a/g)xPaxxIINd動載荷下(a≠0)： 靜載荷下(a=0)：Pd=(1+a/g)·Q Pst=QNd=

(1+a/g)x·Q/L Nst=x·Q/Lσd=(1+a/g)(Q/A)·x/L σst=(Q/A)·x/L設Kd=(1+a/g)，稱Kd為動荷系數，從以上比較得到：

Pd=KdPst

Nd=Kd

Nst

σd=Kdσst即今后若知Kd，則動參數可由Kd乘對應靜參數即得。分別比較動、靜狀態(tài)下的情形：對于作勻加速直線運動的構件：

Kd=1+a/g

其動載荷下的強度條件仍然為： σd=Kd·σst≤[σ] 注意：許用應力[σ]仍為靜載荷下的許用應力； 而最大工作應力應該是最大的動應力σd。例題長度l=12m的16號工字鋼，用橫截面面積為A=108mm2

的鋼索起吊，如圖所示，并以等加速度a=10m/s2上升。若只考慮工字鋼的重量而不計吊索自重，試求吊索的動應力，以及工字鋼在危險點的動應力d,maxAaB2mC2m4m4myz解：將集度為qd=Aa的慣性力加在工字鋼上，使工字鋼上的起吊力與其重量和慣性力假想地組成平衡力系。若工字鋼單位長度的重量記為qst，則慣性力集度為AaB2mC2m4m4myz解：將集度為qd=Aa的慣性力加在工字鋼上，使工字鋼上的起吊力與其重量和慣性力假想地組成平衡力系。若工字鋼單位長度的重量記為qst，則慣性力集度為于是，工字鋼上總的均布力集度為引入動荷因數

則

由對稱關系可知兩吊索的軸力FN相等.吊索的靜應力為故得吊索的動應力為(b)ABFNFN由型鋼表查得qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知數據代入上式，即得

(b)ABFNFN求工字鋼危險截面上危險點的動應力M2qst6qst+由工字鋼的彎矩圖可知，Mmax=6qstN·m，并由型鋼表查得Wz=21.210-6m3以及已知數據代入上式，得qd

設圓環(huán)的平均直徑D、厚度δ，且δ?D，環(huán)的橫截面面積為A，密度為ρ，圓環(huán)繞過圓心且垂直于圓環(huán)平面的軸以等角速度旋轉，如圖所示，試確定圓環(huán)的動應力，并建立強度條件。解：①慣性力分析:ODδ二、構件作勻角速度轉動：可見為了提高強度，使橫截面面積A增加無濟于事。最大線速度：例10.1在AB軸的B端有一個質量很大的飛輪。與飛輪相比，軸的質量可以不計。軸的另一端A裝有剎車離合器。飛輪的轉速為n=100r/min，轉動慣量為Iz=0.5kN.m.s2。軸的直徑d=100mm。剎車時使軸在10s內均勻減速停止轉動。求軸內最大動應力。LMdω0α解：軸的角加速度為：n=100r/min，Iz=0.5kN.m.s2，d=100mm。負號表示α與ω0的轉向相反。按動靜法在飛輪上加上與α轉向相反的慣性力偶Md，于是有：R0R1l葉根頂部轉軸例10.2輪機葉片工作時通常發(fā)生拉伸,扭轉和彎曲的組合變形.本題只計算在勻速轉動時葉片的拉伸應力和軸向變形.設葉片可近似地簡化為變截面直桿,橫截面面積沿軸線按線性規(guī)律變化.葉根的橫截面面積A0為葉頂的橫截面面積A1的兩倍,即A0=2A1.令葉根和葉頂的半徑分別為R0和R1.轉速為,材料單位體積的質量為.試求葉片根部的應力和總伸長.R0R1l葉根頂部轉軸解:設距葉根為x的橫截面m-m

的面積為A(x)

mmx

在距葉根為

處取長為d

的微元,其質量為d距葉根處的向心加速度為dm的慣性力應為[ksai]R0R1l葉根頂部轉軸mmxdm的慣性力應為xmmdFdFNxm-m截面上的軸力FNx可由上式表示:R0R1l葉根頂部轉軸mmxxmmdFdFNxm-m截面上的軸力FNx可由上式表示:葉根處FNx最大（x=0）:R0R1l葉根頂部轉軸mmxxmmdFdFNx葉根處FNx最大（x=0）:在葉根截面上的拉應力為：轉軸在葉根截面上的拉應力為：葉片的總伸長為習題10.3習題10.4解：1)求慣性力：∵an=ζω2；

dm=(Aγ·dζ)/g∴dPd=(Aγω2/g)ζ·dζ得ζ處的慣性力分布集度為： qd(ζ)=dPd/dζ=(Aγω2/g)·ζ

ωLOζζddPd=(dm)·an例一等直桿在水平面內繞通過O點并垂直于水平面的軸作勻速轉動，如圖所示。已知角速度為ω，桿橫截面面積為A，材料單位體積的重量為γ，彈性模量為E。試求桿內最大動應力和桿的總伸長。2)求σdmax：∵Nd(x)=∴得m-m截面上的動應力為：ωζζdLOdPd=(dm)·anqd(ζ)mmNd(x)L-xxmmqd(ζ)=(Aγω2/g)·ζ

從上式可知：當x=0時，動應力σd(0)=σdmax：即最大拉動應力發(fā)生在靠近轉軸O處橫截面上。而其他截面上的動應力

可由其應力分布圖可知：∴得m-m截面上的動應力為：σdx3)求桿的總伸長量△Ld：在x處取一微段dx，ωxxdLOxNd(x)Nd(x+dx)則有該微段的伸長量可由虎克定律得：END10.4 構件受沖擊時的應力和變形

物體以一定的速度撞擊構件時，物體受到構件的阻礙，速度急劇減小，甚至降為零，這一短暫過程稱之為“沖擊”。如： 重錘敲擊、打樁、鉚釘槍的鉚接、高速飛輪突然剎車等。注意：

沖擊過程中有兩個物體相互接觸，一個物體為沖擊物，另一個物體為受沖擊構件----研究對象。如：重錘、鉚釘槍、高速飛輪均為沖擊物；而被敲擊的物體、樁、鉚釘、飛輪軸等為受沖擊構件.

工程實際上的梁、桿均可簡化為彈簧來分析。PHABPHPH彈簧

在沖擊物與受沖構件的接觸區(qū)域內，應力狀態(tài)異常復雜，且沖擊持續(xù)時間非常短促，接觸力的大小隨時間的快速變化難以準確分析。 工程中通常采用能量法來解決沖擊問題，即在若干假設的基礎上，根據能量守恒定律對受沖擊構件的應力與變形進行簡化計算。3)不計沖擊過程中聲、光、熱等能量損耗(能量守恒)。4)沖擊過程為線彈性變形過程。5)沖擊物不反彈，沖擊后沖擊物與被沖擊物一起運動.由能量守恒有： 動能T，勢能V，變形能U的總和在沖擊前后應相等：(沖擊前)T1+V

1+U1=T2+V

2+U2(沖擊后)下面先介紹其若干假設：1)假設沖擊物為剛體；受沖構件為彈性變形固體。2)受沖構件的質量<<沖擊物的質量；PP于是變形能為根據力和變形之間的關系：沖擊前：U1=0；沖擊后：U2=受沖構件的變形能

。受沖構件實際的變形能<U2，所以將U2作為受沖構件的變形能進行的計算偏于保守(偏于安全)。在最大沖擊效應時：沖擊后的動能為零，T2=0；沖擊力Pd所作的功為：W=(1/2)·Pd·Δd=Ud由動參數等于Kd乘對應靜參數，即得：由能量守恒有：(沖擊前)T1+V

1+U1=T2+V

2+U2(沖擊后)

Pd=Kd·Pst； △d=Kd·△st； σd=Kd·σst。自由落體沖擊問題：由能量守恒有：(沖擊前)V

1=U2(沖擊后)P因有：T

1=T

2=U1=V

2=0，PPh△dPd(沖擊前)T1+V

1+U1=T2+V

2+U2(沖擊后)V

1=P·(h+△d)；

U2=Ud=(1/2)·Pd·Δd；由能量守恒有：(沖擊前)V

1=U2(沖擊后)P因有：T

1=T

2=U1=V

2=0，PPh△dPdV

1=P·(h+△d)；

U2=Ud=(1/2)·Pd·Δd；得：

P·(h+△d)=(1/2)·Pd·Δd(a)

Pd=Kd·P

；Δd=Kd·Δst代上(a)式得：P·(h+Kd·Δst)=(1/2)·Kd2·P

·Δst(h+Kd·Δst)=(1/2)·Kd2·ΔstPPPh△dPd得：P·(h+△d)=(1/2)·Pd·Δd(a)

Pd=Kd·P

；Δd=Kd·Δst代上(a)式得：P·(h+Kd·Δst)=(1/2)·Kd2·P

·Δst(h+Kd·Δst)=(1/2)·Kd2·Δst沖擊物由h高度下落到剛接觸被沖擊物時的速度為v,于是有：

代入(10.8)式可得：

自由落體沖擊(垂直沖擊)時的動荷系數計算式。應注意以上動參量均為變形最大位置時的參量。

Kd=1+(1+2h/Δst)1/2

Pd=Kd·Pst △d=Kd·△st σd=Kd·σst將自由落體的體重P作為靜載荷，作用于受沖構件上，求出對應的靜變形量Δst，代入上式即可得Kd：可見求靜變形量Δst是很重要的?。追N特殊沖擊狀態(tài)下的Kd：1)沖擊載荷為突加載荷： 即認為沖擊物處于h=0，且突然加載于構件上：

Kd=2。2)沖擊物為自由落體，若已知在沖擊接觸瞬間的速度υ時，則由自由落體運動關系有：

υ2=2gh；代入(10.8)得： Kd=1+[1+υ2/(g·Δst)]1/2

Kd=1+(1+2h/Δst)1/2（10.8）

例：圖示矩形截面梁，抗彎剛度為EI，一重為F的重物從距梁頂面h處自由落下，沖擊到梁的跨中截面上。求：梁受沖擊時的最大應力和最大撓度。FABCHL/2L/2AL/2L/2BFC解（1）動荷系數（2）最大應力（3）最大撓度bZhYFABChL/2L/2AL/2L/2BFCA、B支座換成剛度為C的彈簧。例已知：d1=0.3m,l=6m,P=5kN,E1=10GPa,求兩種情況的動應力。（1）H=1m自由下落；（2）H=1m,橡皮墊d2=0.15m,h=20mm,E2=8MPa.

HPPhld1d1d2解：（1）

(2)加橡皮墊d2=0.15m,h=20mm,E2=8

MPa.

HPPhld1d1d2習題10.12若沖擊物非垂直下落，而是以水平初速度為υ沖擊受沖構件時（水平沖擊，圖10.11）：則因T1=(1/2)(P/g)·υ2；由能量守恒有：

(沖擊前)T1=U2(沖擊后)得：(1/2)(P/g)·υ2=(1/2)·Pd·Δd (P/g)·υ2=Kd2

P

·Δst

Kd=[υ2/(g·Δst)]1/2

Pυo

Pd=Kd·P

；Δd=Kd·Δst(前)T1+V

1+U1=T2+V

2+U2(后)習題10.13一下端固定、長度為l的鉛直圓截面桿AB，在C點處被一物體G沿水平方向沖擊（圖a）。已知C點到桿下端的距離為a，物體G的重量為P，物體G在與桿接觸時的速度為v。試求桿在危險點的沖擊應力。(b)APCB(a)AlBCPav解：

習題10.23所吊重物P在速度為υ時突然剎車：同上由能量守恒有可求得：

T1=(1/2)(P/g)·υ2；U1=(1/2)·P·△st；V1=P·(△d-△st)；10.4 構件受沖擊時的應力和變形Pυl△st△dPT2=V1=0； U2=(1/2)·Pd·△d

(1/2)(P/g)·υ2

+

P·(△d-△st)=(1/2)·Pd·△d

=(1/2)Kd2

·P·△st

解得：Kd=1+[υo2/(g·Δst)]1/2

例10.4AC為一在水平平面內可繞A端轉動的無重桿，現在C端固連一重為P的集中質量。當AC桿以勻角速度ω轉動，因在B點發(fā)生故障卡住而突然停止，試求AC桿內的最大沖擊應力。解：在卡住而突然停止時，AC桿受沖擊作用而彎曲變形：CAlBl1△d由題意知：T2=0； T1=(1/2)·(P/g)·(lω)2

因在水平平面內：V1=V2=0；U1=0；U2=Ud=(1/2)·Pd·△d；得：(1/2)·(P/g)·(lω)2=(1/2)·Pd·△d

(擊前)T1+V

1+U1=T2+V

2+U2(擊后)即：(P/g)·(lω)2=Kd2·P·△st

Kd=lω/(g·△st)1/2所以有：

σd=Kd·σst

=lω·σst/(g·△st)1/2因(σst)max=Mmax/W，由AC桿的M圖知：得：(1/2)·(P/g)·(lω)2=(1/2)·Pd·△d

CAlBl1△dCAlPB△stMMmax=MB=P·(l-l1)１MB=P·(l-l1)

Pd=Kd·P

；Δd=Kd·Δst所以得：

(σd)max=Kd·(σst)max

=[lω/(g·△st)1/2]·P·(l-l1)/W由求外伸梁彎曲變形的任一種方法可求得： △st=Pl(l-

l1)2/3EI

代入得：

(σd)max=(ω/W)·(3EIlP/g)1/2因(σst)max=Mmax/W， Mmax=MB=P·(l-l1)Kd=lω/(g·△st)1/2CAlPB△stEND例例10.5在例10.1中的AB軸在A端突然剎車（即A端突然停止轉動），試求軸內最大動應力。設剪切模量G=80GPa，軸長l=1m。LMdω0α解：飛輪的動能為：AB軸的扭轉應變能為：軸內最大沖擊應力為：對實心圓軸于是可見軸體積Al越大，最大切應力越小。可見軸體積Al越大，最大切應力越小。代入已知數據：G=80GPa，軸長l=1m，Iz=0.5kN.m.s2，d=100mm，n=100r/min與例10.1比較，動應力增大很多。所以對于轉軸，要避免突然剎車。提高構件承受沖擊載荷能力的措施看下面三個構件：由Kd=[υo2/(g·Δst)]1/2

(h)式；或

Kd=1+[1+υ2/(g·Δst)]1/2

可知：

Δst越大，Kd越小△sta<△stb<△stc

得：Kda>Kdb>KdcQυQυQυA0A0A1A1abc△sta<△stb<△stc；得：Kda>Kdb>Kdc

又由σd=Kd·σst：將c與b比較，Kdb>Kdc，但σstb=σstc；所以：

σdb>σdc(且有應力集中)因此靠削弱受沖構件截面來提高其承受沖擊能力的作法是不可取的，而且應盡量其為變截面桿。若不可避免地存在著削弱截面，也最好是整個長度上全部削弱。如右圖c所示。A0A0A1A1abccba如右圖b、c所示。抗沖擊螺栓結構10.5 沖擊韌性構件承受沖擊載荷能力不僅與載荷、結構有關，還與組成構件材料的抗沖擊能力的大小有關，工程上常用“沖擊韌性”來衡量材料的抗沖擊能力，沖擊韌性也是材料的力學性能之一，常用“αk”表示： αk=W/A 試件其中W為沖擊試件所吸收的能量；

A為沖擊試件切口處最小

橫截面面積。所以沖擊韌性αk的單位：

J/mm210.5 沖擊韌性材料沖擊韌性的與其他力學性能一樣，沖擊韌性也是經相應試驗------

一、沖擊試驗來測定： 沖擊試件，右圖所示：通常切口形式有：1)U形切口試件：半圓形切口；2)V形切口試件：三角形切口。試件沖擊韌性也是材料的力學性能之一，常用“αk”表示： αk=W/A 單位： J/mm2W為沖擊試件所吸收的能量；A為沖擊試件切口處最小橫截面面積。1.沖擊試驗試件1R121010U型切口試樣5540551010V型切口試樣4045o2R0.5試件2.沖擊試驗試件試驗原理試件折斷吸收的功:設試件橫截面積為A，則定義材料的沖擊韌性為:

沖擊韌性越大，表明材料抵抗沖擊能力越強。它是強度和塑性的綜合表現，是材料的力學性能指標之一。h2h12.沖擊試驗沖擊試驗結果有以下特性：1)沖擊韌性“αk=W/A”愈大，材料抗沖擊的性能就

越好；2)沖擊韌性“αk”值隨溫度降低而減小，如下圖所示

為某低碳鋼的αk----溫度變化情形簡圖：3)冷脆現象：如右圖中在(-40o)的狹窄的溫度范圍內，低碳鋼的αk值驟然下降，材料變脆，斷口表面絕大部分呈晶粒狀----脆性斷口。αk溫度-40O這就是冷脆現象。冷脆現象2.沖擊試驗注意：不是所有的材料都有明顯的冷脆現象， 如：某些銅合金、鋁合金、合金鋼等沒有明顯的冷脆現象。4)材料的化學成份以及熱處理工藝等，也影響材料的αk值。 如：含磷量過多的鋼冷脆現象嚴重； 經淬火處理后，材料的強度提高，塑性下降，沖擊韌性降低。例12-7已知：P=2.88kN,H=6cm;梁：E=100GPa,I=100cm4,l=1m。柱：E1=72Gpa,I1=6.25cm4,A1=1cm2,a=1m,λP=62.8,σcr=37