第三講單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(阻尼)

機(jī)械振動(dòng)學(xué)

1.阻尼

上節(jié)所研究的振動(dòng)是不受阻力作用的，振動(dòng)的振幅是不隨時(shí)間改變的，振動(dòng)過(guò)程將無(wú)限地進(jìn)行下去。實(shí)際中的振動(dòng)系統(tǒng)由于存在阻力，而不斷消耗著振動(dòng)的能量，使振幅不斷地減小，直到最后振動(dòng)停止。

振動(dòng)過(guò)程中的阻力習(xí)慣上稱為阻尼。2.1.2.單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)阻尼類型：1）介質(zhì)阻尼；2）結(jié)構(gòu)阻尼；3）庫(kù)侖阻尼

當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，介質(zhì)粘性引起的阻力與速度一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。這種阻尼實(shí)際上較多，這里將以此研究。振動(dòng)系統(tǒng)中存在粘性阻尼時(shí)，經(jīng)常用阻尼元件c表示。比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù)負(fù)號(hào)表示方向設(shè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度為為v，則粘性阻尼的阻力FC可表示為：一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化為：由慣性元件（m）、彈性元件（k）、阻尼元件（c）組成的系統(tǒng)。當(dāng)以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立此系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程時(shí)可以不再計(jì)入重力作用。（2）粘性阻尼力；方向與速度方向相反。2.振動(dòng)微分方程振動(dòng)過(guò)程中作用在物塊上的力有：（1）恢復(fù)力；方向指向平衡位置O；根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，質(zhì)量塊的微分方程為：整理得：

有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,它是一個(gè)二階齊次常系數(shù)線性微分方程兩端除以m，并令：n稱為衰減系數(shù)該方程通解為：其解可設(shè)為：代入（1）式，得到特征方程：兩個(gè)特征根為：（1）特征根為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律有很大不同，因此下面按n<ω0，n>ω0和n=ω0三種不同情形分別進(jìn)行討論。當(dāng)n<ω0時(shí)，特征根為共軛復(fù)數(shù)，即：微分方程的解可以表示為：3.小阻尼情形阻尼較小，稱為小阻尼情形。其中：A和φ為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定或稱有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率；其中

當(dāng)初瞬時(shí)t=0，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=x0速度v=;可求得有阻尼自由振動(dòng)中的振幅和相位：

這種振動(dòng)的振幅是隨時(shí)間不斷衰減的，稱為衰減振動(dòng)。衰減振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)圖線如圖所示。衰減曲線的包絡(luò)線由衰減振動(dòng)的表達(dá)式：但這種振動(dòng)仍圍繞平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，仍具有振動(dòng)的特點(diǎn)。我們將質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)最大偏離位置到下一個(gè)最大偏離位置所需的時(shí)間稱為衰減振動(dòng)的周期，記為Td

，如上圖所示。這種振動(dòng)不符合周期振動(dòng)的定義，所以不是周期振動(dòng)。

ζ稱為阻尼比。它是振動(dòng)系統(tǒng)中反映阻尼特性的重要參數(shù)。在小阻尼情形下，ζ<1,有阻尼自由振動(dòng)周期Td、頻率fd和圓頻率ωd與相應(yīng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)的T

、f和ω0的關(guān)系：表明：由于阻尼的存在，使系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期增大，頻率減小。當(dāng)空氣中的振動(dòng)系統(tǒng)阻尼比比較小時(shí)，可認(rèn)為：其中：ωd=ω0，

Td=T阻尼對(duì)周期的影響經(jīng)過(guò)一個(gè)周期Td，系統(tǒng)到達(dá)另一個(gè)比前者略小的最大偏離值A(chǔ)i+1這兩個(gè)相鄰振幅之比為:設(shè)在某瞬時(shí)ti，振動(dòng)達(dá)到的最大偏離值為Ai有:由衰減振動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律：Ae-nt相當(dāng)于振幅

η稱為振幅系數(shù)。任意兩個(gè)相鄰振幅之比為一常數(shù)，所以衰減振動(dòng)的振幅呈幾何級(jí)數(shù)減小，很快趨近于零。Ai+1Ai阻尼對(duì)振幅的影響上式表明：對(duì)數(shù)減縮率δ與阻尼比ζ之間只差2π倍，δ也是反映阻尼特性的一個(gè)參數(shù)。δ稱為對(duì)數(shù)減縮系數(shù)兩端取自然對(duì)數(shù)得由對(duì)數(shù)減縮率δ與阻尼比ζ之間的關(guān)系為：（z2<<1）其中例在欠阻尼（z<1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測(cè)得相隔N個(gè)周期的兩點(diǎn)P、R的幅值之比xP/xR=r，如圖所示，試確定此振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比z。

解：振動(dòng)衰減曲線的包絡(luò)線方程為設(shè)P、R兩點(diǎn)在包絡(luò)線上的幅值為xP、xR

，則有當(dāng)z2<<1時(shí)

此式對(duì)估算小阻尼系統(tǒng)的ζ值是很方便的。例如，經(jīng)過(guò)10個(gè)周期測(cè)得P、R兩點(diǎn)的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比：

當(dāng)n=ω0（ζ=1）時(shí)，稱為臨界阻尼情形。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)用cc稱為臨界阻尼系數(shù)。在臨界阻尼情況下，特征根為兩個(gè)相等的實(shí)根，即：得到振動(dòng)微分方程的解為其中C1和C2為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的起始條件決定。上式表明：這時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置，因此運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn)。4.臨界阻尼和大阻尼情形從式臨界情形是從衰減振動(dòng)過(guò)渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。設(shè)cc為臨界阻尼系數(shù)，由于ζ

=n/ω0=1，即ζ

阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是ζ

稱為阻尼比的原因。cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由xt＝1>1具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過(guò)阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置，并不作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原來(lái)的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動(dòng)，這樣才能既快又準(zhǔn)確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種要求。t當(dāng)n＞ω0(ζ

＞1)時(shí)，稱為大阻尼情形。此時(shí)阻尼系數(shù)c＞cc;在這種情形下，特征方程的根為兩個(gè)不等的實(shí)根，即：微分方程的解為其中C1、C2為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)起始條件來(lái)確定，運(yùn)動(dòng)圖線如下圖所示，也不再具有振動(dòng)性質(zhì)。例.圖示彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物塊質(zhì)量為0.05kg，彈簧剛度k=2000N/m。使系統(tǒng)發(fā)生自由振動(dòng)，測(cè)得其相鄰兩個(gè)振幅之比為：,求系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)和阻尼系數(shù)各為多少？解：求出對(duì)數(shù)減縮率:阻尼比為:系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)為:阻尼系數(shù):達(dá)朗貝爾原理*例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過(guò)平衡位置的最大位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對(duì)阻尼系數(shù)kcx0x0Pm平衡位置解：由題知設(shè)求導(dǎo)：設(shè)在時(shí)刻t1

質(zhì)量越過(guò)平衡位置到達(dá)最大位移，這時(shí)速度為：即經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后出現(xiàn)第一個(gè)振幅x