第三講單自由度系統(tǒng)的振動(阻尼)

機械振動學

1.阻尼

上節(jié)所研究的振動是不受阻力作用的，振動的振幅是不隨時間改變的，振動過程將無限地進行下去。實際中的振動系統(tǒng)由于存在阻力，而不斷消耗著振動的能量，使振幅不斷地減小，直到最后振動停止。

振動過程中的阻力習慣上稱為阻尼。2.1.2.單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動阻尼類型：1）介質(zhì)阻尼；2）結(jié)構(gòu)阻尼；3）庫侖阻尼

當振動速度不大時，介質(zhì)粘性引起的阻力與速度一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。這種阻尼實際上較多，這里將以此研究。振動系統(tǒng)中存在粘性阻尼時，經(jīng)常用阻尼元件c表示。比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù)負號表示方向設(shè)振動質(zhì)點的速度為為v，則粘性阻尼的阻力FC可表示為：一般的機械振動系統(tǒng)都可以簡化為：由慣性元件（m）、彈性元件（k）、阻尼元件（c）組成的系統(tǒng)。當以平衡位置O為坐標原點，建立此系統(tǒng)的振動微分方程時可以不再計入重力作用。（2）粘性阻尼力；方向與速度方向相反。2.振動微分方程振動過程中作用在物塊上的力有：（1）恢復(fù)力；方向指向平衡位置O；根據(jù)達朗貝爾原理，質(zhì)量塊的微分方程為：整理得：

有阻尼自由振動微分方程的標準形式,它是一個二階齊次常系數(shù)線性微分方程兩端除以m，并令：n稱為衰減系數(shù)該方程通解為：其解可設(shè)為：代入（1）式，得到特征方程：兩個特征根為：（1）特征根為實數(shù)或復(fù)數(shù)時，運動規(guī)律有很大不同，因此下面按n<ω0，n>ω0和n=ω0三種不同情形分別進行討論。當n<ω0時，特征根為共軛復(fù)數(shù)，即：微分方程的解可以表示為：3.小阻尼情形阻尼較小，稱為小阻尼情形。其中：A和φ為兩個積分常數(shù)，由運動的初始條件確定或稱有阻尼自由振動的圓頻率；其中

當初瞬時t=0，質(zhì)點的坐標為x=x0速度v=;可求得有阻尼自由振動中的振幅和相位：

這種振動的振幅是隨時間不斷衰減的，稱為衰減振動。衰減振動的運動圖線如圖所示。衰減曲線的包絡(luò)線由衰減振動的表達式：但這種振動仍圍繞平衡位置的往復(fù)運動，仍具有振動的特點。我們將質(zhì)點從一個最大偏離位置到下一個最大偏離位置所需的時間稱為衰減振動的周期，記為Td

，如上圖所示。這種振動不符合周期振動的定義，所以不是周期振動。

ζ稱為阻尼比。它是振動系統(tǒng)中反映阻尼特性的重要參數(shù)。在小阻尼情形下，ζ<1,有阻尼自由振動周期Td、頻率fd和圓頻率ωd與相應(yīng)的無阻尼自由振動的T

、f和ω0的關(guān)系：表明：由于阻尼的存在，使系統(tǒng)自由振動的周期增大，頻率減小。當空氣中的振動系統(tǒng)阻尼比比較小時，可認為：其中：ωd=ω0，

Td=T阻尼對周期的影響經(jīng)過一個周期Td，系統(tǒng)到達另一個比前者略小的最大偏離值A(chǔ)i+1這兩個相鄰振幅之比為:設(shè)在某瞬時ti，振動達到的最大偏離值為Ai有:由衰減振動運動規(guī)律：Ae-nt相當于振幅

η稱為振幅系數(shù)。任意兩個相鄰振幅之比為一常數(shù)，所以衰減振動的振幅呈幾何級數(shù)減小，很快趨近于零。Ai+1Ai阻尼對振幅的影響上式表明：對數(shù)減縮率δ與阻尼比ζ之間只差2π倍，δ也是反映阻尼特性的一個參數(shù)。δ稱為對數(shù)減縮系數(shù)兩端取自然對數(shù)得由對數(shù)減縮率δ與阻尼比ζ之間的關(guān)系為：（z2<<1）其中例在欠阻尼（z<1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測得相隔N個周期的兩點P、R的幅值之比xP/xR=r，如圖所示，試確定此振動系統(tǒng)的阻尼比z。

解：振動衰減曲線的包絡(luò)線方程為設(shè)P、R兩點在包絡(luò)線上的幅值為xP、xR

，則有當z2<<1時

此式對估算小阻尼系統(tǒng)的ζ值是很方便的。例如，經(jīng)過10個周期測得P、R兩點的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比：

當n=ω0（ζ=1）時，稱為臨界阻尼情形。這時系統(tǒng)的阻尼系數(shù)用cc稱為臨界阻尼系數(shù)。在臨界阻尼情況下，特征根為兩個相等的實根，即：得到振動微分方程的解為其中C1和C2為兩個積分常數(shù)，由運動的起始條件決定。上式表明：這時物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，因此運動已不具有振動的特點。4.臨界阻尼和大阻尼情形從式臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀態(tài)。這時系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。設(shè)cc為臨界阻尼系數(shù)，由于ζ

=n/ω0=1，即ζ

阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是ζ

稱為阻尼比的原因。cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由xt＝1>1具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時間回到靜平衡位置，并不作振動運動，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時間回到原來的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動，這樣才能既快又準確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種要求。t當n＞ω0(ζ

＞1)時，稱為大阻尼情形。此時阻尼系數(shù)c＞cc;在這種情形下，特征方程的根為兩個不等的實根，即：微分方程的解為其中C1、C2為兩個積分常數(shù)，由運動起始條件來確定，運動圖線如下圖所示，也不再具有振動性質(zhì)。例.圖示彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物塊質(zhì)量為0.05kg，彈簧剛度k=2000N/m。使系統(tǒng)發(fā)生自由振動，測得其相鄰兩個振幅之比為：,求系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)和阻尼系數(shù)各為多少？解：求出對數(shù)減縮率:阻尼比為:系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)為:阻尼系數(shù):達朗貝爾原理*例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的最大位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)kcx0x0Pm平衡位置解：由題知設(shè)求導：設(shè)在時刻t1

質(zhì)量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為：即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅x