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數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)處理區(qū)別模擬信號(hào)處理系統(tǒng)是由R、C、L等無(wú)源元件或放大器等有源元件組成,用來(lái)直接處理模擬信號(hào)。數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)則是利用通用或?qū)S玫挠?jì)算機(jī),以數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行加工。當(dāng)輸入為模擬信號(hào)時(shí),還必須通過(guò)A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)。a.
利用專用計(jì)算機(jī);b.直接利用計(jì)算機(jī)和通用軟件編程實(shí)現(xiàn)。一個(gè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般可表示為有理函數(shù)形式:數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法:5.1為IIR濾波器形式,{}都為0時(shí)就是一個(gè)FIR濾波器。對(duì)于這樣一個(gè)系統(tǒng),也可用差分方程來(lái)表示:5.2
即一個(gè)輸出序列是其過(guò)去點(diǎn)的線性組合加上當(dāng)前輸入序列與過(guò)去點(diǎn)輸入序列的線性組合。除了與當(dāng)前的輸入有關(guān),同時(shí)還與過(guò)去的輸入和過(guò)去的輸出有關(guān),系統(tǒng)是帶有記憶的。
對(duì)于上面的算式,可以化成不同的計(jì)算形式,如直接計(jì)算、分解為多個(gè)有理函數(shù)相加、分解為多個(gè)有理函數(shù)相乘等等,不同的計(jì)算形式也就表現(xiàn)出不同的計(jì)算結(jié)構(gòu),而不同的計(jì)算結(jié)構(gòu)可能會(huì)帶來(lái)不同的效果,或者是實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,編程方便,或者是計(jì)算精度較高等等。
另外,數(shù)字信號(hào)是通過(guò)采樣和轉(zhuǎn)換得到的,而轉(zhuǎn)換的位數(shù)是有限的(一般6、8、10、12、16位),所以存在量化誤差,另外,計(jì)算機(jī)中的數(shù)的表示也總是有限的,經(jīng)此表示的濾波器的系數(shù)同樣存在量化誤差,在計(jì)算過(guò)程中因有限字長(zhǎng)也會(huì)造成誤差。①A/D變換量化效應(yīng);②系數(shù)的量化效應(yīng);③數(shù)字運(yùn)算的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。量化誤差主要有三種誤差:5.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)
一、數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖表示
差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作:①加法,②乘法,③延遲。為了表示簡(jiǎn)單,通常用信號(hào)流圖來(lái)表示其運(yùn)算結(jié)構(gòu)。對(duì)于加法、乘法及延遲這三種基本運(yùn)算。延時(shí)乘常數(shù)相加aaZ-1Z-1結(jié)構(gòu)方框圖信號(hào)流程圖只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn);⑦只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn);⑧既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做混合節(jié)點(diǎn)。①-⑥通路是指從源點(diǎn)到阱點(diǎn)之間沿著箭頭方向的連續(xù)的一串支路,通路的增益是該通路上各支路增益的乘積。7-1-3-4-8,7-1-2-6-3-4-8回路是指從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著支路箭頭方向到達(dá)同一個(gè)節(jié)點(diǎn)的閉合通路,它象征著系統(tǒng)中的反饋回路。組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益。3-4-5-6-3式中Tk為從輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))到輸出節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))的第k條前向通路增益;Δ為流圖的特征式Δk是不接觸第k條前向通路的特征式余因子
為所有不同回路增益之和.為每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益之和
梅遜(Mason)公式例:利用梅遜公式計(jì)算圖中的系統(tǒng)函數(shù)
有兩條前向通路:
一個(gè)回路,其回路增益為
則系統(tǒng)函數(shù)
例:利用Mason公式計(jì)算下圖的系統(tǒng)函數(shù)x(n)z-1b2b1a1a0y(n)z-1a2解:圖中有兩個(gè)回路:L1=b1z-1;L2=b2z-2沒(méi)有互不接觸的回路:⊿=1-(L1+L2)=1-b1z-1-b2z-2三條前向通路:T1=a0;T2=a1z-1;T3=a2z-2由于三條前向通路均無(wú)不接觸的回路:所以:⊿1=⊿2=⊿3=1信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)置定理:
對(duì)于單個(gè)輸入、單個(gè)輸出的系統(tǒng),通過(guò)反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向,并且將其輸入和輸出互換,得出的流圖具有與原始流圖相同的系統(tǒng)函數(shù)。信號(hào)流圖轉(zhuǎn)置的作用:
①轉(zhuǎn)變運(yùn)算結(jié)構(gòu);②驗(yàn)證計(jì)算流圖的系統(tǒng)函數(shù)的正確與否。運(yùn)算結(jié)構(gòu)對(duì)濾波器的實(shí)現(xiàn)很重要,尤其對(duì)于一些定點(diǎn)運(yùn)算的處理機(jī),結(jié)構(gòu)的不同將會(huì)影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性以及運(yùn)算速度等許多重要的性能。對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器,它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點(diǎn),因此我們?cè)谙旅鎸?duì)它們分別加以討論。IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):(1)單位沖激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面上有極點(diǎn)(3)存在反饋環(huán)路,遞歸型結(jié)構(gòu)。同一系統(tǒng)函數(shù),有各種不同的結(jié)構(gòu)形式。其主要結(jié)構(gòu)有:
(1)直接型直接由IIRDF的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。二、IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)
上述結(jié)構(gòu)缺點(diǎn):①需要2N個(gè)延遲器(z-1),太多。②系數(shù)ai、bi對(duì)濾波器性能的控制不直接,對(duì)極、零點(diǎn)的控制難,一個(gè)ai、bi的改變會(huì)影響系統(tǒng)的零點(diǎn)或極點(diǎn)分布。③對(duì)字長(zhǎng)變化敏感(對(duì)ai、bi的準(zhǔn)確度要求嚴(yán)格)。④易不穩(wěn)定,階數(shù)高時(shí),上述影響更大。(2)直接Ⅱ型(典范型)上面直接型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)(H1(z)和H2(z)),兩部分串接構(gòu)成總的系統(tǒng)函數(shù):由系統(tǒng)函數(shù)的不變性(系統(tǒng)是線性的),得
兩條延時(shí)鏈中對(duì)應(yīng)的延時(shí)單元內(nèi)容完全相同,可合并,得:
直接II型優(yōu)缺點(diǎn):優(yōu)點(diǎn):延遲線減少一半,為N個(gè),可節(jié)省寄存器或存儲(chǔ)單元。缺點(diǎn):同直接型。通常在實(shí)際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng),而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)(一、二階)來(lái)實(shí)現(xiàn)。例:用直接型I及直接型II型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)。解:因?yàn)樗詀0=1.5a2=2.1a3=0.4b1=-0.3b2=0.2(3)級(jí)聯(lián)型一個(gè)N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點(diǎn)表示,即把它的分子、分母都表達(dá)為因子形式
由于系數(shù)、都是實(shí)數(shù),極、零點(diǎn)為實(shí)根或共軛復(fù)根,所以有
、——實(shí)根、——復(fù)根且將共軛因子合并為實(shí)系數(shù)二階因子,單實(shí)根因子看作二階因子的一個(gè)特例,則
、——為實(shí)系數(shù)。用若干二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)構(gòu)成濾波器,二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié),可用正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。
級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn):
優(yōu)點(diǎn):
①簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn),用一個(gè)二階節(jié),通過(guò)變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng);②極、零點(diǎn)可單獨(dú)控制、調(diào)整,調(diào)整、可單獨(dú)調(diào)整第對(duì)零點(diǎn),調(diào)整、可單獨(dú)調(diào)整第對(duì)極點(diǎn);③各二階節(jié)零、極點(diǎn)的搭配可互換位置,優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差;④可流水線操作。缺點(diǎn):二階節(jié)電平難控制,電平大易導(dǎo)致溢出,電平小則使信噪比減小。
將系統(tǒng)函數(shù)展開(kāi)成部分分式之和,可用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器:將上式中的共軛復(fù)根成對(duì)地合并為二階實(shí)系數(shù)的部分分式,上式表明,可用L個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)、M個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)以及一個(gè)常數(shù)并聯(lián)組成濾波器H(z),結(jié)構(gòu)如下圖:(4)并聯(lián)型特點(diǎn):①系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,只需一個(gè)二階節(jié),系統(tǒng)通過(guò)改變輸入系數(shù)即可完成;②極點(diǎn)位置可單獨(dú)調(diào)整;③運(yùn)算速度快(可并行進(jìn)行);④各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響,總的誤差小,對(duì)字長(zhǎng)要求低。缺點(diǎn):不能直接調(diào)整零點(diǎn),因多個(gè)二階節(jié)的零點(diǎn)并不是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn),當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí),級(jí)聯(lián)型最合適。
[例]已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫(huà)出其直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。直接型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為級(jí)聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為一階、二階實(shí)系數(shù)分式之積并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為部分分式之和的形式三、FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)
FIRDF特點(diǎn):
(1)單位沖激響應(yīng)h(n)是有限個(gè)n值處不為零(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂,極點(diǎn)在z=0(3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸型結(jié)構(gòu)它的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程一般有如下形式:基本的結(jié)構(gòu)形式有下幾種:(1)直接型(卷積型、橫截型)卷積型:差分方程是信號(hào)的卷積形式;橫截型:差分方程是一條輸入x(n)延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)。直接由差分方程可畫(huà)出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):圖直接型的轉(zhuǎn)置:圖
(2)級(jí)聯(lián)型當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí),可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實(shí)系數(shù)因子的形式:
于是可用二階節(jié)級(jí)聯(lián)構(gòu)成,每一個(gè)二階節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)。缺點(diǎn):①所需要的系數(shù)a比直接型的h(n)多;②乘法運(yùn)算多于直接型。圖(3)線性相位型FIR的重要特點(diǎn)是可設(shè)計(jì)成具有嚴(yán)格線性相位的濾波器,此時(shí)滿足偶對(duì)稱或奇對(duì)稱條件。利用h[k]的對(duì)稱特性:h[k]=±h[M-k]N為偶數(shù),
N為奇數(shù),由上兩式,可得到線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu),如圖。優(yōu)點(diǎn):線相相位型結(jié)構(gòu)的乘法次數(shù)減為(N偶數(shù))(N奇數(shù))
(橫截型結(jié)構(gòu)乘法次數(shù):N次)(4)頻率采樣型第二章討論了有限長(zhǎng)序列可以進(jìn)行頻域采樣?,F(xiàn)是長(zhǎng)為的序列,因此也可對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上作等分采樣,這個(gè)采樣值也就是的離散付里葉變換值H(k)。根據(jù)上一章的討論,用頻率采樣表達(dá)z函數(shù)的內(nèi)插公式為:H(z)由兩部分級(jí)聯(lián)而成,第一部分(部分)
這是一個(gè)由節(jié)延時(shí)器組成的梳狀濾波器,它在單位圓上有個(gè)等分的零點(diǎn):其頻響為梳狀濾波器頻響
第二部分(IIR部分)是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò):
此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn):
該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為,是一個(gè)諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點(diǎn)正好各自抵消一個(gè)梳狀濾波器的零點(diǎn),從而使這個(gè)頻率點(diǎn)的響應(yīng)等于。兩部分級(jí)聯(lián)后,就得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu),
這一結(jié)構(gòu)的最大特點(diǎn)是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應(yīng),因此,控制濾波器的響應(yīng)很直接。兩個(gè)主要的缺點(diǎn):①所有的系數(shù)和都是復(fù)數(shù),計(jì)算復(fù)雜。②所有諧振器的極點(diǎn)都在單位圓上,考慮到系數(shù)量化的影響,有些極點(diǎn)實(shí)際上不能與梳狀濾波器的零點(diǎn)相抵消,使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。
為了克服這兩個(gè)缺點(diǎn),作兩點(diǎn)修正:1)將所有零點(diǎn)和極點(diǎn)移到半徑為的圓上,略小于1,同時(shí)頻率采樣點(diǎn)也移到該圓上,以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時(shí)2)共軛根合并,將一對(duì)復(fù)數(shù)一階子網(wǎng)絡(luò)合并成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。這些共軛根在圓周上是對(duì)稱點(diǎn)即同樣,h(m)因是實(shí)數(shù),其DFT也是圓周共軛對(duì)稱的,因此可將第k及第N-k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)其中
這個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有限Q值的諧振器,諧振頻率為。除了以上共軛極點(diǎn)外,還有實(shí)數(shù)極點(diǎn),分兩種情況:當(dāng)N為偶數(shù)時(shí),有二個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn),對(duì)應(yīng)H(0)和H(N/2),有二個(gè)一階網(wǎng)絡(luò):
所以有當(dāng)為奇數(shù)時(shí),只有一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn),對(duì)應(yīng)H(0),有一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò):
所以有
改進(jìn)后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如下圖例:設(shè)計(jì)一M階實(shí)系數(shù)FIR,已知H[0]=1,H[1]=1,畫(huà)出其頻率取樣型結(jié)構(gòu)。解:頻率抽樣點(diǎn)數(shù)N=M+1由H[N-1]=H[1]=1,和實(shí)系數(shù)頻率取樣型結(jié)構(gòu)流圖優(yōu)點(diǎn):1.H[m]零點(diǎn)較多時(shí),實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單。2.可以構(gòu)成濾波器組,實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析。格型結(jié)構(gòu)全零點(diǎn)(AZ)濾波器的格型結(jié)構(gòu)全極點(diǎn)
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