第7章 彎曲應(yīng)力

第7章彎曲應(yīng)力7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算7.3*非對(duì)稱梁的彎曲7.4梁彎曲時(shí)的剪應(yīng)力7.5提高粱彎曲強(qiáng)度的措施內(nèi)容提要1、中性層、中性軸的概念；2、梁的橫截面上正應(yīng)力、剪應(yīng)力公式及對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度條件；3.提高梁彎曲強(qiáng)度的措施。1、危險(xiǎn)截面的確定；2、彎曲剪應(yīng)力的求解。重點(diǎn)難點(diǎn)7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力7.1.1前言軸向拉壓：圓軸扭轉(zhuǎn)：梁的彎曲：當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力V。mmVM只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩只有與剪應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dV=dA

才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力mmVmmM7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力一、純彎曲

7.1.2梁的正應(yīng)力若梁在某段內(nèi)各橫截面上的

彎矩為常量

，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。+-PP+Pa

CD段就是

純彎曲。PPaaCD7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力1、實(shí)驗(yàn)觀察與分析觀察到：

在矩形截面梁的側(cè)面畫(huà)上一些水平的縱線（aa、bb等）和一些橫向線（mm、nn等）縱線：相互平行的水平直線→相互平行的曲線，且上部被壓短，下部被拉長(zhǎng)；橫向線：仍保持直線，仍與縱線垂直，但相互不再平行，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力（1）橫截面變形后仍為一平面（平截面假設(shè)），且仍與梁的軸線正交；（3）縱向纖維間無(wú)擠壓，上部纖維縮短，下部纖維伸長(zhǎng)，由變形的連續(xù)性，必有一層纖維即不伸長(zhǎng)，也不縮短，稱之為中性層；中性層與橫截面的交線稱為中性軸。（2）梁可看成是由一層層的縱向纖維組成的，由平面假設(shè)，同一層纖維的伸長(zhǎng)（或縮短）相同；中性層——即不伸長(zhǎng)，也不縮短的一層縱向纖維中性層中性軸橫截面中性軸——中性層與橫截面的交線彎曲變形的特征——橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度中性層7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力中性軸7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力2、公式推導(dǎo)在推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式時(shí)，要綜合考慮幾何，物理和靜力學(xué)三方面。如圖，從純彎曲梁段上取出長(zhǎng)為dx的微段，將梁的軸線取為x軸，橫截面的對(duì)稱軸取為

y軸，中性軸取為

z軸dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性軸中性層7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性軸中性層幾何關(guān)系a′a′o1o2b′yK1K2取距離中性軸為y處的纖維K1K2作為研究對(duì)象曲率半徑7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力a′a′b′o1o2b′yK1K2纖維K1K2的相對(duì)伸長(zhǎng)為曲率半徑即：y

——纖維距離中性軸的距離

——梁彎曲后的曲率幾何關(guān)系7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半徑y(tǒng)

——纖維距離中性軸的距離

——梁彎曲后的曲率該式說(shuō)明：線應(yīng)變和纖維與中性軸的距離y成正比，同一層纖維的線應(yīng)變相同，離中性層越遠(yuǎn)，纖維的線應(yīng)變?cè)酱螅缓土簭澢蟮那食烧?。幾何關(guān)系7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力物理方面a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半徑由縱向纖維間無(wú)擠壓，則各條纖維均處于單向受力狀態(tài)，因此，由胡克定律，有：該式說(shuō)明：正應(yīng)力σ

和點(diǎn)與中性軸的距離y成正比，同一層纖維的正應(yīng)力相同，離中性層越遠(yuǎn)，點(diǎn)的正應(yīng)力越大；和梁彎曲后的曲率成正比。7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律彎矩為正時(shí)，正應(yīng)力以中性軸為界，下拉上壓；彎矩為負(fù)時(shí)，正應(yīng)力上拉下壓；中性軸上，正應(yīng)力等于零MM問(wèn)題：中性軸的位置？曲率？物理方面7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxM在橫截面上法向內(nèi)力元素dA

構(gòu)成了空間平行力系。dAzy根據(jù)梁上只有外力偶M這一條件可知，上式中的

FN

和My均等于零，而MZ就是橫截面上的彎矩M?！佟凇?.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力yZOxMdAzy——說(shuō)明中性軸過(guò)形心由①式得：靜力學(xué)方面7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力yZOxMdAzy——說(shuō)明中性軸是截面的主軸由②式得：由①②式可知，中性軸是截面的形心主慣性軸對(duì)稱軸為截面的形心主慣性軸，彎曲變形時(shí)的中性軸就是對(duì)稱軸靜力學(xué)方面7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxMdAzy由③式得：該式說(shuō)明，曲率與彎矩成正比，與EIZ成反比。IZ——截面對(duì)中性軸的慣性矩EIZ——彎曲剛度（抗彎剛度）7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力靜力學(xué)方面IZ——截面對(duì)中性軸的慣性矩M——截面的彎矩y——求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離中性軸是截面的形心主軸，彎曲變形時(shí)的中性軸就是對(duì)稱軸M正比反比——梁的正應(yīng)力公式7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力IZ——截面對(duì)中性軸的慣性矩M——截面的彎矩注意：1、此公式是在純彎曲狀態(tài)下推導(dǎo)出來(lái)的，對(duì)于剪力彎曲（V≠0）仍然適用；2、對(duì)其它對(duì)稱形狀的梁也適用（工字型、T形等）；3、對(duì)非對(duì)稱截面梁，只要荷載作用在過(guò)形心主軸的縱平面內(nèi)，也適用，但要先求出中性軸的位置。純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力y——求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力IZ——截面對(duì)中性軸的慣性矩M——截面的彎矩

應(yīng)用公式時(shí)，一般將M、y以絕對(duì)值代入，根據(jù)梁變形的情況直接判斷的正、負(fù)號(hào)。以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力（為正號(hào)），凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（為負(fù)號(hào)）。y——求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力yyCZCZ中性軸7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力yyCZCZ中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。M拉壓M拉壓7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力梁的彎矩圖如圖5-8b所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為

例7-1

圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長(zhǎng)l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號(hào)槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，求最大彎矩7.1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力

因危險(xiǎn)截面上的彎矩為負(fù)，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為（2）求最大應(yīng)力7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算一、梁的最大正應(yīng)力1、梁的危險(xiǎn)截面梁的危險(xiǎn)截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上危險(xiǎn)截面位于梁中部危險(xiǎn)截面位于梁根部2、梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算IZ——截面對(duì)中性軸的慣性矩yZCWZ稱為彎曲截面系數(shù)（抗彎截面模量），只與截面形狀和尺寸有關(guān)，單位m3令：2、梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算M矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分布圖如圖所示二、正應(yīng)力強(qiáng)度條件注意：如果材料的σmax所在的截面稱為危險(xiǎn)截面7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于鑄鐵等

脆性材料制成的梁，由于材料的二、正應(yīng)力強(qiáng)度條件應(yīng)分別計(jì)算出最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，分別不超過(guò)材料的

許用拉應(yīng)力和

許用壓應(yīng)力

7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算zy應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離和直接代入公式對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面，例如T形截面求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力M二、正應(yīng)力強(qiáng)度條件7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算zyM（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）二、正應(yīng)力強(qiáng)度條件7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算三、彎曲截面系數(shù)Wz的計(jì)算矩形截面圓形截面yzhbdyz注：h是與中性軸垂直方向的長(zhǎng)度7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算四、正應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用按正應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核按強(qiáng)度條件選擇梁的截面按強(qiáng)度條件確定梁的許可荷載先確定梁的許可彎矩，再由彎矩與荷載之間的關(guān)系確定荷載7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算四、正應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用步驟：1、內(nèi)力計(jì)算，求出最大彎矩，確定危險(xiǎn)截面的位置；2、代入強(qiáng)度條件進(jìn)行計(jì)算7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例7-2

圖示圓截面輥軸，中段BC受均部載荷作用，試確定輥軸BC段截面的直徑。已知q=1KN/mm，許用應(yīng)力[σ]=140MPa。q3003001400ABCD危險(xiǎn)截面在軸的中部利用截面法求該截面彎矩qRAyM300700300由對(duì)稱性可求得：7.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例7-3圖示懸臂梁承受均布載荷q，假設(shè)梁截面為bh的矩形，h=2b，討論梁立置與倒置兩種情況哪一種更好？bhhbq根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件同樣載荷條件下，工作應(yīng)力越小越好因此，WZ越大越好梁立置時(shí)：梁倒置時(shí)：立置比倒置強(qiáng)度大一倍。注意：Z軸為中性軸7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力（1）截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向都平行于截面的剪力；（2）剪應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布，即距離中性軸等距離各點(diǎn)的剪應(yīng)力相等。一、假設(shè)由彈性力學(xué)可知，對(duì)狹長(zhǎng)矩形截面（高度h大于寬度b），以上假設(shè)成立7.4.1矩形截面梁的剪應(yīng)力7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力mmnnP2P1q(x)mmnnxdxMM+dMVV＋dV1用橫截面m—m,n—n

從梁中截取dx

一段。彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力剪力產(chǎn)生剪應(yīng)力兩橫截面上均有剪力和彎矩。二、狹長(zhǎng)矩形截面（h×b）剪應(yīng)力公式的推導(dǎo)7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力

兩橫截面上的彎矩不等

。所以兩截面上到中性軸距離相等的點(diǎn)（用y表示）其正應(yīng)力也不等。mmnn正應(yīng)力（）分布圖ymmnnMM+dMVV+dV7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyz2在距離中性軸y處假想地從梁段上截出體積元素mB1yABA1B1二、狹長(zhǎng)矩形截面（h×b）剪應(yīng)力公式的推導(dǎo)7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyzyxzyBmnAB1A1體積元素mB1在兩端面mA1、nB1

上兩個(gè)法向內(nèi)力不等。3yABA1B14在縱截面AB1上必有沿x方向的切向內(nèi)力dV’。此面上也就有剪應(yīng)力7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyzyABA1B1BB1yxzyBmnAB1A1在AB1面上的AA1線各點(diǎn)處有剪應(yīng)力。根椐剪應(yīng)力互等定理，在橫截面上橫線AA1上也應(yīng)有剪應(yīng)力。(所求)7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyzyABA1B1BB1假設(shè)：

橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處剪應(yīng)力大小相等。

各點(diǎn)的剪應(yīng)力方向均與剪力（截面?zhèn)冗叄┢叫?。所以橫截面AA1線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力相等,且與側(cè)邊平形。根椐剪應(yīng)力互等定理，縱截面AB1上，AA1線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力相等。且縱截面AB1上的剪應(yīng)力均勻分布。7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力yxzyBmnAB1A1由靜力平衡方程，求出dV’。推導(dǎo)公式步驟：1和分別求出mA1和nB1面上正應(yīng)力的合力234dV’

除以AB1面的面積得縱截面上的剪應(yīng)力。由此得到橫截面上距中性軸為任意y的點(diǎn)上的剪應(yīng)力公式。7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1假設(shè)m—m,n—n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2。1求FN1*和FN2*7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1y1用A*記作mA1的面積Sz*是面積A*

對(duì)中性軸z的靜矩。7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1y1Sz*是面積A*對(duì)中性軸z的靜矩。同理A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積。7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1y12由靜力平衡方程求dV’7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A13求縱截面上的剪應(yīng)力’bdx4由剪應(yīng)力互等定理得橫截面上距中性軸為任意y的點(diǎn)，其剪應(yīng)力的計(jì)算公式7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力ZIz

—

整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩Sz*—

過(guò)求剪應(yīng)力的點(diǎn)做與中性軸平行的直線，該線任一邊的橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩V—

橫截面上的剪力yb—

矩形截面平行于中性軸的邊長(zhǎng)狹長(zhǎng)矩形截面梁對(duì)稱彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力計(jì)算公式。7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力剪應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律nBmAxyzOy沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力nBmAxyzOy7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力τmaxτ=0yy1dy1zh/2h/2yb剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力三其它截面的最大剪應(yīng)力四型鋼五彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

21K環(huán)形圓形工字形矩形截面系數(shù)查附錄代入7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力例7.4一矩形截面簡(jiǎn)支梁，已知：l＝3m，h＝160mm，b＝100mm，h1＝40mm，F(xiàn)＝3KN，求m-m截面上K點(diǎn)的剪應(yīng)力。BAzl/3mFFl/3l/3ml/6Kbhh1解：先求mm截面的剪力y07.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力例7.5

已知:Plbh

求:1τmax=?2τmax:σmax=?解:1作剪力圖和彎曲圖2計(jì)算最大剪應(yīng)力4比值PABl/2l/2C3計(jì)算最大正應(yīng)力l=5hhb(-)(+)Q圖(+)M圖7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力例7.6已知:懸臂梁AB(組合梁),b=69mm,h=100mm,l=800mm,

P=1kN;螺栓的許用剪應(yīng)力[τ]=100MPa.求:螺栓的直徑.Plτττ’解:橫截面上的剪力中性層上的剪應(yīng)力中性層上的剪力7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力螺栓承受全部剪力Q’,由螺栓的剪切強(qiáng)度條件取7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力7.4.2工字形梁截面上的切應(yīng)力分布腹板為矩形截面時(shí)

yzBHhbtyA*腹板翼板7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力BhH

討論1、沿腹板高度方向拋物線分布2、y=0時(shí)，切應(yīng)力值最大3、腹板上下邊處切應(yīng)力最小7.4梁彎曲時(shí)的剪切應(yīng)力工字形梁腹板上的切應(yīng)力分布

討論4、當(dāng)B=10b,H=20b,t=2b時(shí)

max/min=1.18,大致均勻分布5、腹板上能承擔(dān)多少剪力？積分得:

總剪力的95％～97％近似計(jì)算公式：yzBHhbt7.4梁彎曲