第一章-基礎(chǔ)知識-1.1-1.2

高等數(shù)學-微積分（上）篇Calculus黔南民族師范學院物理與電子科學學院胡海

工具-思維模式

知識-素養(yǎng)

科學-文化如何學習好數(shù)學？關(guān)鍵在于建立和培養(yǎng)數(shù)學的思想和方法（即抽象思維、邏輯推理能力、辯證的思想方法），這就要我們在學習中不斷領(lǐng)悟和提升。學習數(shù)學的意義？培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力，為學生進一步學習數(shù)學奠定基礎(chǔ)，為學習后繼的專業(yè)課程做不必要的數(shù)學基礎(chǔ)。為什么要學數(shù)學？微積分（上）篇

-----一元、多元函數(shù)的微分和積分學內(nèi)容提要第一章基礎(chǔ)知識第二章極限與連續(xù)第三章微分與導數(shù)第四章微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用第五章積分及其應(yīng)用第六章常微分方程第一章基礎(chǔ)知識1.1數(shù)學的源與流1.2集合1.3映射與函數(shù)1.4基本初等函數(shù)與初等函數(shù)§1.1數(shù)學的源與流數(shù)學是量的科學?。▉喞锼苟嗟拢﹣喞锸慷嗟鹿糯日?，古希臘人，世界古代史上偉大的哲學家、科學家和教育家之一，堪稱希臘哲學的集大成者。一.什么是數(shù)學？數(shù)學是處理完全與物質(zhì)和自然哲學相脫離的量的科學?。ㄅ喔└ヌm西斯·培根（FrancisBacon,1561—1626）是英國哲學家、思想家、作家和科學家.被馬克思稱為“英國唯物主義和整個現(xiàn)代實驗科學的真正始祖”?！?.1數(shù)學的源與流一.什么是數(shù)學？第二章極限與連續(xù)笛卡兒

(ReneDescartes1596～1650)法國哲學家,數(shù)學家,物理學家,他是解析幾何奠基人之一。凡是以研究順序和度量為目的科學都與數(shù)學有關(guān)?。ǖ芽枺?.1數(shù)學的源與流一.什么是數(shù)學？數(shù)學可以定義為一種科目，我們絕不知道他說的是真的還是假的（羅素，不可知論）！

數(shù)學是一種語言（世界通用的）、工具（處理具體實際問題）、技術(shù)（實用性）、文化（科學人文的結(jié)合）、數(shù)學是所有科學的基礎(chǔ)?！?.1數(shù)學的源與流一.什么是數(shù)學？

第一時期——萌芽時期有了數(shù)的意識、簡單算術(shù)計算、幾何形式第二時期——常量數(shù)學時期（初等數(shù)學時期）古希臘數(shù)學-初步邏輯結(jié)構(gòu)、論證推理為基礎(chǔ)的數(shù)學體系中世紀東方數(shù)學-以算法為主要標志（中國、印度、阿拉伯）歐洲文藝復興時期數(shù)學-初等數(shù)學的飛躍第三時期——變量數(shù)學時期解析幾何的產(chǎn)生-坐標軸

微積分的創(chuàng)立-極限和微分的引入有限到無限的飛躍（牛頓-萊布尼茲分別獨立創(chuàng)作的）第四時期——現(xiàn)代數(shù)學時期

抽象代數(shù)-研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學學科

拓撲學-研究各種“空間”在連續(xù)性的變化下不變的性質(zhì)

泛函分析-研究的主要對象是函數(shù)構(gòu)成的空間牛頓艾薩克·牛頓爵士（SirIsaacNewtonFRS，1643年1月4日—1727年3月31日），物理學家、數(shù)學家、科學家和哲學家，同時是英國當時煉金術(shù)熱衷者。萊布尼茲萊布尼茲是17、18世紀之交德國最重要的數(shù)學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。統(tǒng)一抽象二.數(shù)學發(fā)展史§1.1數(shù)學的源與流三.數(shù)學的主要方法1.代數(shù)方法核心思想是運算（數(shù)的四則運算到向量的加、減、數(shù)乘、乘積）2.分析方法核心思想是極限（把無限思想簡化為有限思想-微積分的核心思想）3.幾何方法核心思想是位置關(guān)系（包括直線、平面、空間，還包括無法用直觀圖形描述的抽象情形-抽象元素之間的內(nèi)積及其對應(yīng)的夾角等）4.概率方法核心思想是概率（數(shù)著重描述實際中的不確定性）§1.1數(shù)學的源與流集合是現(xiàn)代數(shù)學的核心概念，專門研究集合的理論叫做集合論。

一.集合的概念集合定義康托爾定義-把我們直觀和思維中確定的、相互間有明顯區(qū)別的那些對象（這些對象成為元素）作為一個整體來考慮的結(jié)果。集合（簡稱集）是指具有特定性質(zhì)的對象的總體，或者說是有確定的一些對象匯集的總體。組成集合的這些對象成為集合的元素。元素a是集合A的元素，就說a屬于A（a∈A）；a不是集合A的元素，就說a不屬于A（a?A）有限集：一個集合，只有有限個元素。無限集：一個集合，包含無限個元素?！?.2集合二.集合的表示方法:

列舉法（把集合的全體元素一一列舉出來）A={a1,a2,…,an};描述法

B={x|x具有性質(zhì)P}.例如：集合B是方程x3-1=0的實數(shù)解的全體，可以表示為B={x|x3-1=0且x是實數(shù)}

子集：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，則稱E是F的子集，簡稱子集，稱E包含于F（E?F）也稱F包含E（F?E）。等集：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，且集合F的任何元素都是集合E的元素,稱為E是F的等集，記著E=F.空集：不含任何元素的集合約定空集是任何集合E的子集?E。§1.2集合三.集合的運算:注：有時，我們把研究的集合限定在一個較大的集合I中，所研究的集合都是I的子集，此時稱集合I為全集，稱差集I\A為A的余集或補集，記著Ac。集合的并、交、余運算規(guī)則集合運算規(guī)則交換律—A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律—（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（A∩B）∩C=A∩（B∩C）;分配律—（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）,（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）;對偶律—（A∪B）c=Ac∩Bc,（A∩B）c=Ac∪Bc.注：兩個集合之間還可以定義直積或笛卡爾乘積;A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}§1.2集合四.區(qū)間與鄰域:1.區(qū)間：在數(shù)學里，區(qū)間通常是指這樣的一類實數(shù)集合；如果x和y是兩個在集合里的數(shù)，那么，任何x和y之間的數(shù)也屬于該集合。區(qū)間在積分理論中起著重要作用，因為它們作為最"簡單"的實數(shù)集合，可以輕易地給它們定義"長度"、或者說"測度"。有限區(qū)間開區(qū)間—（a,b)?{x|a<x<b}閉區(qū)間—[a,b]?{x|a≤x≤b}半開區(qū)間—（a,b]?{x|a<x≤b}；

[a,b）?{x|a≤x<b}無限區(qū)間（a,+∞)?{x|x>a}[a,+∞)?{x|x≥a}（-∞,a)?{x|x<a}（-∞,a]?{x|x≤a}注：各種類型有限區(qū)間和無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間