第一章-基礎(chǔ)知識(shí)-1.1-1.2

高等數(shù)學(xué)-微積分（上）篇Calculus黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院胡海

工具-思維模式

知識(shí)-素養(yǎng)

科學(xué)-文化如何學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)？關(guān)鍵在于建立和培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思想和方法（即抽象思維、邏輯推理能力、辯證的思想方法），這就要我們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷領(lǐng)悟和提升。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義？培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)后繼的專業(yè)課程做不必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？微積分（上）篇

-----一元、多元函數(shù)的微分和積分學(xué)內(nèi)容提要第一章基礎(chǔ)知識(shí)第二章極限與連續(xù)第三章微分與導(dǎo)數(shù)第四章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章積分及其應(yīng)用第六章常微分方程第一章基礎(chǔ)知識(shí)1.1數(shù)學(xué)的源與流1.2集合1.3映射與函數(shù)1.4基本初等函數(shù)與初等函數(shù)§1.1數(shù)學(xué)的源與流數(shù)學(xué)是量的科學(xué)！（亞里斯多德）亞里士多德古代先哲，古希臘人，世界古代史上偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家之一，堪稱希臘哲學(xué)的集大成者。一.什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)是處理完全與物質(zhì)和自然哲學(xué)相脫離的量的科學(xué)?。ㄅ喔└ヌm西斯·培根（FrancisBacon,1561—1626）是英國(guó)哲學(xué)家、思想家、作家和科學(xué)家.被馬克思稱為“英國(guó)唯物主義和整個(gè)現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)科學(xué)的真正始祖”。§1.1數(shù)學(xué)的源與流一.什么是數(shù)學(xué)？第二章極限與連續(xù)笛卡兒

(ReneDescartes1596～1650)法國(guó)哲學(xué)家,數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,他是解析幾何奠基人之一。凡是以研究順序和度量為目的科學(xué)都與數(shù)學(xué)有關(guān)?。ǖ芽枺?.1數(shù)學(xué)的源與流一.什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)可以定義為一種科目，我們絕不知道他說(shuō)的是真的還是假的（羅素，不可知論）！

數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言（世界通用的）、工具（處理具體實(shí)際問(wèn)題）、技術(shù)（實(shí)用性）、文化（科學(xué)人文的結(jié)合）、數(shù)學(xué)是所有科學(xué)的基礎(chǔ)?！?.1數(shù)學(xué)的源與流一.什么是數(shù)學(xué)？

第一時(shí)期——萌芽時(shí)期有了數(shù)的意識(shí)、簡(jiǎn)單算術(shù)計(jì)算、幾何形式第二時(shí)期——常量數(shù)學(xué)時(shí)期（初等數(shù)學(xué)時(shí)期）古希臘數(shù)學(xué)-初步邏輯結(jié)構(gòu)、論證推理為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)體系中世紀(jì)東方數(shù)學(xué)-以算法為主要標(biāo)志（中國(guó)、印度、阿拉伯）歐洲文藝復(fù)興時(shí)期數(shù)學(xué)-初等數(shù)學(xué)的飛躍第三時(shí)期——變量數(shù)學(xué)時(shí)期解析幾何的產(chǎn)生-坐標(biāo)軸

微積分的創(chuàng)立-極限和微分的引入有限到無(wú)限的飛躍（牛頓-萊布尼茲分別獨(dú)立創(chuàng)作的）第四時(shí)期——現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期

抽象代數(shù)-研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科

拓?fù)鋵W(xué)-研究各種“空間”在連續(xù)性的變化下不變的性質(zhì)

泛函分析-研究的主要對(duì)象是函數(shù)構(gòu)成的空間牛頓艾薩克·牛頓爵士（SirIsaacNewtonFRS，1643年1月4日—1727年3月31日），物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家，同時(shí)是英國(guó)當(dāng)時(shí)煉金術(shù)熱衷者。萊布尼茲萊布尼茲是17、18世紀(jì)之交德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見(jiàn)的科學(xué)天才。他博覽群書，涉獵百科，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。統(tǒng)一抽象二.數(shù)學(xué)發(fā)展史§1.1數(shù)學(xué)的源與流三.數(shù)學(xué)的主要方法1.代數(shù)方法核心思想是運(yùn)算（數(shù)的四則運(yùn)算到向量的加、減、數(shù)乘、乘積）2.分析方法核心思想是極限（把無(wú)限思想簡(jiǎn)化為有限思想-微積分的核心思想）3.幾何方法核心思想是位置關(guān)系（包括直線、平面、空間，還包括無(wú)法用直觀圖形描述的抽象情形-抽象元素之間的內(nèi)積及其對(duì)應(yīng)的夾角等）4.概率方法核心思想是概率（數(shù)著重描述實(shí)際中的不確定性）§1.1數(shù)學(xué)的源與流集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心概念，專門研究集合的理論叫做集合論。

一.集合的概念集合定義康托爾定義-把我們直觀和思維中確定的、相互間有明顯區(qū)別的那些對(duì)象（這些對(duì)象成為元素）作為一個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果。集合（簡(jiǎn)稱集）是指具有特定性質(zhì)的對(duì)象的總體，或者說(shuō)是有確定的一些對(duì)象匯集的總體。組成集合的這些對(duì)象成為集合的元素。元素a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A（a∈A）；a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A（a?A）有限集：一個(gè)集合，只有有限個(gè)元素。無(wú)限集：一個(gè)集合，包含無(wú)限個(gè)元素?！?.2集合二.集合的表示方法:

列舉法（把集合的全體元素一一列舉出來(lái)）A={a1,a2,…,an};描述法

B={x|x具有性質(zhì)P}.例如：集合B是方程x3-1=0的實(shí)數(shù)解的全體，可以表示為B={x|x3-1=0且x是實(shí)數(shù)}

子集：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，則稱E是F的子集，簡(jiǎn)稱子集，稱E包含于F（E?F）也稱F包含E（F?E）。等集：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，且集合F的任何元素都是集合E的元素,稱為E是F的等集，記著E=F.空集：不含任何元素的集合約定空集是任何集合E的子集?E?！?.2集合三.集合的運(yùn)算:注：有時(shí)，我們把研究的集合限定在一個(gè)較大的集合I中，所研究的集合都是I的子集，此時(shí)稱集合I為全集，稱差集I\A為A的余集或補(bǔ)集，記著Ac。集合的并、交、余運(yùn)算規(guī)則集合運(yùn)算規(guī)則交換律—A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律—（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（A∩B）∩C=A∩（B∩C）;分配律—（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）,（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）;對(duì)偶律—（A∪B）c=Ac∩Bc,（A∩B）c=Ac∪Bc.注：兩個(gè)集合之間還可以定義直積或笛卡爾乘積;A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}§1.2集合四.區(qū)間與鄰域:1.區(qū)間：在數(shù)學(xué)里，區(qū)間通常是指這樣的一類實(shí)數(shù)集合；如果x和y是兩個(gè)在集合里的數(shù)，那么，任何x和y之間的數(shù)也屬于該集合。區(qū)間在積分理論中起著重要作用，因?yàn)樗鼈冏鳛樽?簡(jiǎn)單"的實(shí)數(shù)集合，可以輕易地給它們定義"長(zhǎng)度"、或者說(shuō)"測(cè)度"。有限區(qū)間開(kāi)區(qū)間—（a,b)?{x|a<x<b}閉區(qū)間—[a,b]?{x|a≤x≤b}半開(kāi)區(qū)間—（a,b]?{x|a<x≤b}；

[a,b）?{x|a≤x<b}無(wú)限區(qū)間（a,+∞)?{x|x>a}[a,+∞)?{x|x≥a}（-∞,a)?{x|x<a}（-∞,a]?{x|x≤a}注：各種類型有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間