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第2章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào)基礎(chǔ)2.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào)類型2.2模數(shù)轉(zhuǎn)換理論基礎(chǔ)2.3數(shù)模轉(zhuǎn)換理論基礎(chǔ)2.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào)類型(1)根據(jù)時(shí)間可劃分為:①連續(xù)時(shí)間信號(hào):時(shí)間上連續(xù),幅值連續(xù)或斷續(xù)的信號(hào)。②離散時(shí)間信號(hào):僅在離散斷續(xù)時(shí)刻取值的信號(hào)。③采樣信號(hào)獲取模擬信號(hào)在離散時(shí)間瞬時(shí)值構(gòu)成的信號(hào)序列,其時(shí)間離散、幅值連續(xù),采樣信號(hào)是離散時(shí)間信號(hào)的子集。2.1.1信號(hào)類型2.1.1信號(hào)類型(2)根據(jù)幅值可劃分為:①模擬信號(hào):幅值可取任意值,即在某一時(shí)間范圍內(nèi)可連續(xù)變化的信號(hào)。②離散信號(hào):幅值只取離散值的信號(hào)。③數(shù)字信號(hào):幅值用一定位數(shù)的二進(jìn)制編碼表示的信號(hào)。2.1.1信號(hào)類型2.1.1信號(hào)類型
幅值時(shí)間連續(xù)離散連續(xù)離散數(shù)字信號(hào)表2-1控制系統(tǒng)信號(hào)類型2.1.2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)根據(jù)所包含的信號(hào)形式,控制系統(tǒng)可分為以下幾種類型。連續(xù)控制系統(tǒng):如圖2-1(a)所示,系統(tǒng)各處均為連續(xù)時(shí)間信號(hào);離散控制系統(tǒng):如圖2-1(b)所示,系統(tǒng)各處均為離散時(shí)間信號(hào);采樣控制系統(tǒng):如圖2-1(c)所示,系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)并存的一個(gè)混合信號(hào)系統(tǒng);數(shù)字控制系統(tǒng):如圖2-1(d)所示,除連續(xù)時(shí)間信號(hào)外,還包含數(shù)字信號(hào)。
2.1.2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)
(a)(b)(c)(d)圖2-1控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖2.1.2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及信息變換過(guò)程:時(shí)間和數(shù)值均連續(xù)的模擬信號(hào),經(jīng)過(guò)按一定采樣周期閉合的采樣器和A/D轉(zhuǎn)換器,轉(zhuǎn)換成數(shù)字計(jì)算機(jī)可以接收的時(shí)間離散、二進(jìn)制數(shù)碼表示的數(shù)字信號(hào),經(jīng)計(jì)算機(jī)處理,輸出離散數(shù)字信號(hào),再通過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器和保持電路轉(zhuǎn)成時(shí)間連續(xù)模擬信號(hào),作用于控制對(duì)象或過(guò)程。被控對(duì)象或過(guò)程的狀態(tài)信息再由傳感器獲取,得到的模擬信號(hào)作為反饋信號(hào)與給定值比較,其比較值通過(guò)A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào),方可被計(jì)算機(jī)接收與處理。圖2-2典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及信號(hào)變換過(guò)程2.2模數(shù)轉(zhuǎn)換理論基礎(chǔ)2.2.1采樣過(guò)程采用按一定時(shí)間間隔T閉合的采樣開(kāi)關(guān),抽取時(shí)間和幅值連續(xù)的模擬信號(hào)在瞬時(shí)的脈沖信號(hào),形成序列的過(guò)程稱為采樣過(guò)程。完成采樣過(guò)程的裝置稱為采樣開(kāi)關(guān)或采樣器,采樣開(kāi)關(guān)的輸入信號(hào)為連續(xù)時(shí)間信號(hào),輸出信號(hào)為采樣信號(hào),如圖2-3所示為理想采樣過(guò)程。
實(shí)際采樣開(kāi)關(guān)利用定時(shí)器控制,每隔一個(gè)采樣周期T,開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間而完成一次采樣,圖2-4所示為實(shí)際采樣過(guò)程。
2.2.1采樣過(guò)程
連續(xù)時(shí)間信號(hào)(b)采樣開(kāi)關(guān)(c)采樣信號(hào)圖2-4實(shí)際采樣過(guò)程連續(xù)時(shí)間信號(hào)(b)采樣開(kāi)關(guān)(c)理想采樣信號(hào)圖2-3理想采樣過(guò)程2.2.1采樣過(guò)程根據(jù)采樣周期的特點(diǎn),采樣也分為以下幾種:均勻采樣:整個(gè)采樣過(guò)程中采樣周期不變,采樣時(shí)刻為;非均勻采樣:與均勻采樣相對(duì),采樣周期是變化的。某些非均勻采樣可以視為幾種均勻采樣的疊加;隨機(jī)采樣:相鄰兩次采樣的時(shí)間間隔不等,且隨機(jī)變化。隨機(jī)采樣亦是非均勻采樣的子集;單速率采樣:有多個(gè)采樣開(kāi)關(guān),各采樣開(kāi)關(guān)的采樣周期均相同。多速率采樣:系統(tǒng)中有多個(gè)采樣開(kāi)關(guān),每個(gè)采樣開(kāi)關(guān)均為周期采樣,但采樣周期不相同。2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理1.采樣開(kāi)關(guān)的數(shù)學(xué)描述采樣過(guò)程可用單位脈沖函數(shù)來(lái)描述,理想采樣開(kāi)關(guān)瞬時(shí)通斷一次,只允許該采樣時(shí)刻的輸入信號(hào)通過(guò),相當(dāng)于在該采樣時(shí)刻作用一個(gè)單位脈沖。其數(shù)學(xué)模型如(2-1)式所示。
(2-1)圖2-5理想采樣開(kāi)關(guān)數(shù)學(xué)描述2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理2.采樣信號(hào)的時(shí)域描述理想采樣信號(hào)可視為被采樣信號(hào)被單位脈沖序列調(diào)制的結(jié)果。采樣過(guò)程則可視為一個(gè)脈沖調(diào)制過(guò)程,采樣開(kāi)關(guān)即為一個(gè)脈沖調(diào)制器,輸入為調(diào)制信號(hào),而則是幅值被調(diào)制的脈沖序列。如圖2-6所示。
圖2-6采樣信號(hào)的脈沖調(diào)制過(guò)程2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理理想采樣信號(hào)時(shí)域模型可描述為(2-2)實(shí)際系統(tǒng)中,有,且只在脈沖發(fā)生時(shí)刻(時(shí)刻)才被采樣。因此,式(2-2)可寫(xiě)為(2-3)2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理3.采樣信號(hào)的頻域描述與頻域特性將式(2-1)中的單位脈沖序列展開(kāi)為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù),(2-4)為采樣角頻率,為傅里葉系數(shù),其值為
(2-5)
(2-6)其代入式(2-4),得
(2-7)
2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理從而得
(2-8)對(duì)(2-8)式兩邊進(jìn)行傅里葉變換,可得理想采樣信號(hào)的頻域模型為
(2-10)
:的傅里葉變換:的傅里葉變換2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理由式(2-10),可以得到與的基本關(guān)系:(1)當(dāng)時(shí),,該頻譜為采樣信號(hào)的主頻譜,其幅值為幅值的。(2)當(dāng)時(shí),派生了其它高頻頻譜分量,稱為輔頻譜或旁帶。輔頻譜形狀與主頻譜相同,是以主頻譜為中心,為周期,向頻率軸兩端頻移形成,如圖2.7(a)所示。(3)當(dāng)時(shí),采樣信號(hào)的輔頻譜與主頻譜不會(huì)重疊,如圖2.7(b)所示。(4)當(dāng)時(shí),各頻譜之間處于不發(fā)生重疊的臨界狀態(tài),如圖2.7(c)所示。(5)當(dāng)時(shí),則各周期性重復(fù)的頻譜互相重疊,這就是頻率混疊現(xiàn)象,如圖2.7(d)所示;(d)采樣信號(hào)頻譜()(c)采樣信號(hào)頻譜()(b)采樣信號(hào)頻譜()原連續(xù)信號(hào)頻譜圖2-7連續(xù)信號(hào)頻譜與采樣信號(hào)頻譜2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理實(shí)際上,在以下兩種情況下,理想采樣信號(hào)均會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。(1)若頻譜帶寬有限,且有,采樣信號(hào)頻譜會(huì)頻率混疊現(xiàn)象;(2)若頻譜有無(wú)限帶寬,即,則無(wú)論怎樣提高采樣頻率,必然發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理4.采樣定理采樣定理:對(duì)一個(gè)具有有限頻譜的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行連續(xù)采樣,當(dāng)采樣頻率滿足下式關(guān)系(2-11)采樣信號(hào)將不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。如果采樣頻率不滿足采樣定理,從頻域上看,采樣信號(hào)頻譜將發(fā)生頻率混疊;從時(shí)域上看,采樣信號(hào)會(huì)出現(xiàn)假頻現(xiàn)象。如圖2-9所示2.2.2采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理圖2.9前置濾波器濾除高頻信號(hào)在工程上,為解決這種問(wèn)題,常在采樣開(kāi)關(guān)前加入模擬低通濾波器,亦稱前置濾波器。2.2.3采樣信號(hào)的量化與編碼1.量化幅值可連續(xù)的采樣信號(hào)以最小量化單位的整數(shù)倍的形式表示成離散量,此過(guò)程稱為信號(hào)的量化,量化單位定義為:(2-12)量化的裝置是A/D轉(zhuǎn)換器。采樣信號(hào)幅值在范圍內(nèi)變化,n為的A/D轉(zhuǎn)換器的有效位數(shù)。2.編碼量化后的離散量通過(guò)適當(dāng)?shù)亩M(jìn)制表示,成為數(shù)字信號(hào),此即是編碼。2.3數(shù)模轉(zhuǎn)換理論基礎(chǔ)2.3.1模擬信號(hào)理想恢復(fù)過(guò)程根據(jù)采樣過(guò)程的分析,理想不失真的信號(hào)恢復(fù)必須具備以下三個(gè)條件:(1)原連續(xù)信號(hào)的頻譜帶寬有限;(2)采樣必須滿足采樣定理,即;(3)采用理想低通濾波器,濾除采樣信號(hào)中頻率高于的頻率分量。2.3.1模擬信號(hào)理想恢復(fù)過(guò)程理想低通濾波器頻率特性為(2-15)理想的低通濾波器在物理上不可實(shí)現(xiàn),頻域上,其脈沖響應(yīng)如(2-16)式所示。(2-16)2.3.1模擬信號(hào)理想恢復(fù)過(guò)程
如圖2-11,是t=0時(shí)刻輸入的單位脈沖信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng),但由圖可知,在t<0處其響應(yīng)并不為0,不符合物理上的因果關(guān)系。圖2-10理想低通濾波器頻率特性圖2-11理想低通濾波器脈沖響應(yīng)2.3.1模擬信號(hào)理想恢復(fù)過(guò)程時(shí)域上,所恢復(fù)的連續(xù)信號(hào)可用卷積表示為(2-17)由式(2-17),恢復(fù)信號(hào)在t時(shí)刻的值需要綜合過(guò)去和未來(lái)的采樣值,這不僅在物理上難以實(shí)現(xiàn),還會(huì)引入延遲,無(wú)法用于實(shí)際的控制系統(tǒng)。2.3.2非理想恢復(fù)過(guò)程物理上可實(shí)現(xiàn)的信號(hào)恢復(fù),只能以當(dāng)前采樣時(shí)刻及過(guò)去若干個(gè)采樣時(shí)刻的采樣信號(hào)為基礎(chǔ),外推得到相鄰采樣時(shí)刻之間的信息。數(shù)學(xué)上,若已知某連續(xù)信號(hào)在時(shí)刻的采樣值,則在和時(shí)刻之間的值可用下述冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式表示:(2-18)式中,,上式中級(jí)數(shù)取項(xiàng)越多,近似程度越高,但是實(shí)現(xiàn)起來(lái)更復(fù)雜,用差分近似時(shí)所需的時(shí)間延遲越多,而時(shí)間延遲增多將嚴(yán)重影響反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.3.3零階保持器實(shí)際上,系統(tǒng)常利用式(2-18)等號(hào)右端第1項(xiàng)來(lái)進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)。該項(xiàng)是多項(xiàng)式中的零階項(xiàng)(零階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)),因此稱為零階保持器(簡(jiǎn)稱ZOH)。其時(shí)域方程為
(2-20)若輸入單位脈沖信號(hào),該脈沖響應(yīng)可表示為,(2-21)2.3.3零階保持器圖2-12使用零階保持器恢復(fù)信號(hào)圖2-13零階保持器脈沖過(guò)渡函數(shù)2.3.3零階保持器由上圖可知,零階保持器的特性類似于低通濾波器,卻又有所區(qū)別。(1)從幅頻特性看,理想濾波器在具有銳截止的特性,截止頻率,當(dāng)時(shí),采樣信號(hào)無(wú)失真地通過(guò);而零階保持器在雖然呈現(xiàn)較大衰減特性,但不能完全濾除中全部高頻分量,且有無(wú)限多個(gè)截止頻率(2)從相頻特性看,零階保持器具有相位滯后特性,相位滯后大小與信號(hào)頻率及采樣周期成正比。
(a)幅頻特性曲線
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