第6章 測量誤差基本知識(shí)

《土木工程測量》西北民族大學(xué)土木工程學(xué)院第六章測量誤差基本知識(shí)主要目的：

了解誤差的來源與分類，中誤差公式；理解觀測值中誤差、相對(duì)誤差、極限誤差；掌握由一組等精度觀測值計(jì)算觀測值中誤差的公式。主要內(nèi)容：

測量誤差的分類、偶然誤差的特征，觀測精度的定量指標(biāo)、觀測值函數(shù)中誤差。研究測量誤差的目的：分析測量誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)，合理處理含有誤差的測量數(shù)據(jù)，求出最可靠值，正確評(píng)估測量成果的精度。

第六章測量誤差的基本知識(shí)測量誤差概述偶然誤差特性衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳播定律等精度直接觀測平差不等精度直接觀測平差6.1測量誤差概述通過一定的儀器、工具和方法對(duì)某量進(jìn)行量測，稱為觀測，獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測值。測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個(gè)真實(shí)值，簡稱真值。對(duì)該量進(jìn)行觀測得到觀測值。

二、測量誤差及其來源一、測量與觀測值

1、測量誤差定義真誤差＝觀測值－真值△=l-X觀測值與真值之差，稱為真誤差。2、誤差來源儀器設(shè)備不盡完善人的感官不穩(wěn)定如：整平誤差、照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。如：用只刻有厘米分劃的普通水準(zhǔn)尺進(jìn)行水準(zhǔn)測量、水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸等。自然環(huán)境的影響如：溫度、風(fēng)力、大氣折光…等因素三、研究目的衡量精度（評(píng)定精度）評(píng)定觀測結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評(píng)定精度。這項(xiàng)工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。求取最可靠值（最或是值）最接近未知量真值的估值，稱為最或是值。測量工作由于受到上述三方面因素的影響，觀測結(jié)果總會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的觀測誤差，也就是說測量工作中觀測誤差是不可避免的。按測量誤差對(duì)測量結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測量誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三類。四、測量誤差分類粗差也稱錯(cuò)誤，是由于觀測者不正確地使用儀器或疏忽大意，如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、聽錯(cuò)、算錯(cuò)等造成的錯(cuò)誤或因外界條件意外的顯著變動(dòng)引起的差錯(cuò)，其數(shù)值往往偏離較大，使觀測結(jié)果顯著偏離真值，直接影響到觀測結(jié)果的正確與否。（一）粗差（二）系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對(duì)某量進(jìn)行的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負(fù)符號(hào)固定不變，或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，它隨著單一觀測值觀測次數(shù)的增多而積累。系統(tǒng)誤差的存在必將給觀測成果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀測結(jié)果的準(zhǔn)確度。準(zhǔn)確度是指觀測值對(duì)真值的偏離程度或接近程度。1、測定系統(tǒng)誤差的大小對(duì)觀測值加以改正。如用鋼尺量距時(shí)，通過對(duì)鋼尺的檢定求出尺長改正數(shù)，對(duì)觀測結(jié)果加尺長改正數(shù)來消除尺長引起的系統(tǒng)誤差。2、采用對(duì)稱觀測的方法使系統(tǒng)誤差在觀測值中以相反的符號(hào)出現(xiàn)，加以抵消。如水準(zhǔn)測量時(shí)，采用前、后視距相等的對(duì)稱觀測，經(jīng)緯儀測角時(shí)，用盤左、盤右兩個(gè)觀測值取中數(shù)的方法可以消除視準(zhǔn)軸誤差等系統(tǒng)誤差的影響。如果系統(tǒng)誤差的大小在允許范圍以內(nèi)，可采用適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p弱其影響，通常有以下三種方法：3、檢校儀器將儀器存在的系統(tǒng)誤差降低到最小限度，或限制在允許的范圍內(nèi)，以減弱其對(duì)觀測結(jié)果的影響。如經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部管水準(zhǔn)軸不垂直于豎軸的誤差對(duì)水平角的影響，可通過精確檢校儀器，并在觀測中仔細(xì)整平的方法來減弱其影響。（三）偶然誤差在相同的觀測條件下對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測，單個(gè)誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號(hào)都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。對(duì)剔除了粗差的觀測值，首先應(yīng)排除系統(tǒng)誤差，然后根據(jù)偶然誤差的特性對(duì)該觀測值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最或是值，同時(shí)評(píng)定該觀測值精度。

如：經(jīng)緯儀測角時(shí)，由于受照準(zhǔn)差、讀數(shù)誤差、外界條件變化及儀器自身不完善而引起的誤差…等綜合影響。就單一觀測值而言，測角誤差無論是數(shù)值的大小或符號(hào)的正負(fù)不能預(yù)知，具有偶然性。研究測量誤差主要是針對(duì)偶然誤差而言。一、偶然誤差的四個(gè)特性舉例：abc△i=ai+bi+ci-180°（i=1,2,········358）將觀測得到的358個(gè)誤差，取區(qū)間△d為

，按數(shù)值大小及符號(hào)進(jìn)行排列，統(tǒng)計(jì)結(jié)果列表

6.2偶然誤差特性結(jié)論1.有界性：

在一定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限度；2.集中性：

絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多；3.對(duì)稱性：

絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；4.抵償性：

偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即二、誤差概率分布曲線－△+△knd△(頻率/組距)00.20.40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k/n(頻率)頻率直方圖偶然誤差分布曲線（正態(tài)分布曲線）偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間（,）內(nèi)的概率(稱為概率元素)

－△+△yd△△iy=f(△)p(△i)=f(△i)d△偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間d內(nèi)的概率的大小與f(i)值有關(guān)，f(i)越大，表示偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率也越大，反之則越小。高斯根據(jù)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性，推導(dǎo)出偶然誤差分布的概率密度函數(shù)（即偶然誤差分布曲線方程）概率密度自然對(duì)數(shù)底標(biāo)準(zhǔn)差偶然誤差偶然誤差三、分析標(biāo)準(zhǔn)差σ1.

σ與觀測誤差△及偶然誤差概率密度f(△)的關(guān)系△愈小，f(△)愈大，△=0，△愈大，f(△)愈小，△→∞，f(△)→0即橫軸是曲線的漸近線2.

σ與誤差分布曲線拐點(diǎn)的關(guān)系－△y=f(△)y-++△3.標(biāo)準(zhǔn)差σ的概率值P（－σ＜△＜＋σ）+△－△y=f(△)y-+f(△)+△σ1＜σ2精度高精度低-△4.標(biāo)準(zhǔn)差σ的大小與誤差分布曲線的形態(tài)關(guān)系離散程度6.3衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)一、方差和中誤差方差觀測誤差平方總和△i=li－X方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系中誤差（用m表示）就是標(biāo)準(zhǔn)差σ標(biāo)準(zhǔn)差σ的計(jì)算公式中誤差估算值的計(jì)算公式△i=li－X觀測次數(shù)一組觀測值的中誤差6.3衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)用中誤差公式衡量精度的計(jì)算實(shí)例例：對(duì)同一三角形，在同精度條件下兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行觀測，每次閉合差（△i

=ai+bi+ci-180°）分別為：甲同學(xué)（△i）：

+3″-2″-4″+2″0″+4″+3″+2″-3″-1″乙同學(xué)（△i）：

0″-1″-7″+2″+1″-3″0″+3″+1″+1″同理計(jì)算得：m乙=±3″.6∵m甲＜m乙

∴甲同學(xué)的觀測精度高于乙同學(xué)的觀測精度6.3衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)二、平均誤差三、極限誤差（容許誤差）m容許=3｜m｜~2｜m｜中誤差m容許

的概率含義注意：應(yīng)從概率的意義去理解m容許6.3衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)四、用相對(duì)誤差來衡量精度例：量測距離100m和200m，分別都量測6次，算得量測值中誤差均為：m=±0.01m，求各段量測值的中誤差?！?/p>

m100＞m200∴量測200米的精度高于量測100的精度6.3衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)6.4誤差傳播定律一、倍乘二、和或差例：設(shè)在三角形A、B、C中，直接觀測了∠A、和∠B。mA=±3″、mB=±4″，由∠A、∠B計(jì)算∠C，求mC?！螩=180°－∠A－∠Bm2

C=m

2A+m

2B=（±3″）2+（±4″）2mC=±5″推廣注意：各觀測值必須是相互獨(dú)立的變量三、一般函數(shù)

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

四、誤差傳播定律公式應(yīng)用實(shí)例例1：例2：有一長方形獨(dú)立地觀測得其邊長a=20.000m0.004m,b=15.000m0.003m,求該面積s及ms。例3：確定限差

普通水準(zhǔn)測量中，由實(shí)驗(yàn)知儀器至標(biāo)尺75m時(shí)，一次讀數(shù)中誤差約±2mm，試確定高差閉合差的容許值。解：例4：在1：500地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離d=234.5mm，其中誤差，求該兩點(diǎn)間的地面水平距離D的長度及其中誤差mD。

6.5等精度直接觀測平差一、求最可靠值（最或是值）最可靠值觀測次數(shù)觀測值證明∵△1=l1－X△2=l2－X…………△n=ln－X二、評(píng)定精度求觀測值的中誤差求最可靠值中誤差1.求觀測值的中誤差真值未知怎么辦？△i=li－X用最或是值誤差求觀測值的中誤差vi=li-x最或是值觀測值最或是值誤差真誤差用真誤差求觀測值的中誤差公式推導(dǎo)△i=li－X

vi=li-x△i－

vi=x

－X△1=v1+△2=v2+△n=vn+……………[△△]2=[vv]2+n

2+2

[v]v1=l1-xv2=l2-xvn=ln-x…………

[v]=[l

]-nxnnn[v]=0令：x－X==x－X2=(x－X)2此項(xiàng)等于0[△△]2=[vv]2+n2+2

[v]2.求最可靠值中誤差公式推導(dǎo)

式中：l1、l2¨¨¨¨ln

為同等精度的一組觀測值

m為同等精度一組觀測值的中誤差最可靠值中誤差觀測值中誤差觀測次數(shù)用最或是值誤差求觀測值中誤差及最可靠值中誤差的計(jì)算實(shí)例例：設(shè)對(duì)某角進(jìn)行五次同精度觀測，觀測結(jié)果如下表，試求其觀測值的中誤差，及最或是值的中誤差。

觀測值Vvv

35°18′28″+3935°18′25″0035°18′26″+1135°18′22″-3935°18′24″-11[v]=0[vv]=20算術(shù)平均值的中誤差與觀測次數(shù)的平方根成反比。

不同的觀測次數(shù)對(duì)應(yīng)的M值

因此，增加觀測次數(shù)可以提高算術(shù)平均值的精度。觀測次數(shù)246810121416算術(shù)平均值中誤差（米）0.710.500.410.350.320.290.270.25

當(dāng)觀測次數(shù)達(dá)到了一定數(shù)值后（如6次以后）隨著觀測次數(shù)的增加,中誤差減小得愈來愈慢。因此，測量一般精度的角，要求觀測1~3測回，對(duì)中等精度要求的角，觀測3~6測回，只是對(duì)于精度要求很高的角才觀測9~24測回。以觀測次數(shù)為橫坐標(biāo)，算術(shù)平均值中誤差M為縱坐標(biāo)，并令m=±1，6.6不等精度直接觀測平差例：ABCS=4kmS=2kmS=2.5kmE已知：HA、HB、HC，求：HE一、權(quán)（用p表示）

權(quán)是表示觀測值可靠程度的一個(gè)相對(duì)性數(shù)值權(quán)的特性權(quán)愈大表示觀測值愈可靠權(quán)是相對(duì)數(shù)值，故單獨(dú)一個(gè)值無意義權(quán)始終取正號(hào)權(quán)可以用一數(shù)乘除其意義不變?cè)鯓佣?quán)？取中誤差定權(quán)從實(shí)際出發(fā)任意常數(shù)觀測值中誤差水準(zhǔn)測量的線路長度測角取測回?cái)?shù)測回?cái)?shù)在不同精度觀測中引入“權(quán)”的概念，可以建立各觀測值之間的精度比值，以便更合理地處理觀測數(shù)據(jù)。例如，設(shè)一次觀測值的中誤差為m，其權(quán)為p0，

等于1的權(quán)稱為單位權(quán)，而權(quán)等于1的中誤差稱為單位權(quán)中誤差，一般用μ（m0）表示。對(duì)于中誤差為

mi

的觀測值，其權(quán)為

pi并設(shè)則設(shè)單位長度（一公里）的丈量中誤差為m，則長度為s公里的丈量中誤差為。取長度為c公里的丈量中誤差為單位權(quán)中誤差，即。權(quán)在距離丈量工作中的應(yīng)用說明距離丈量的權(quán)與長度成反比則得距離丈量的權(quán)為:

在定權(quán)時(shí)，并不需要預(yù)先知道各觀測值中誤差的具體數(shù)值。在確定了觀測方法后權(quán)就可以預(yù)先確定。這一點(diǎn)說明可以事先對(duì)最后觀測結(jié)果的精度給予估算,在實(shí)