梁的彎曲變形分析

項(xiàng)目三材料力學(xué)基礎(chǔ)任務(wù)一材料力學(xué)基本認(rèn)識任務(wù)二應(yīng)力分析§2–1構(gòu)件軸向載荷分析§2–2梁的彎曲變形分析§2–3圓軸扭轉(zhuǎn)變形強(qiáng)度分析§2–4剪切與擠壓§2–5任務(wù)小結(jié)任務(wù)二應(yīng)力分析一、彎曲正應(yīng)力§2-2梁的彎曲變形分析工程上使用的直梁的橫截面一般都有一個或幾個對稱軸。工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁梁彎曲的工程實(shí)例FFFAFBPaAB陽臺梁欄桿PABq橋式吊車臥式容器縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對稱軸所構(gòu)成的平。 對稱彎曲：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。平面彎曲在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素dN=σdA才能合成彎矩M，只有切向內(nèi)力元素d=τdA才能合成剪力梁發(fā)生平面彎曲時，橫截面上一般產(chǎn)生兩種內(nèi)力，即剪力和彎矩。在橫截面上，只有彎矩M，沒有剪力Fs，這種彎曲稱為純彎曲；橫截面上同時有彎矩M和剪力Fs，這種彎曲稱為橫力彎曲。1）彎曲變形特征梁在純彎曲時的平面假設(shè)：梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛【€的aa，bb垂直(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長。觀察到以下變形現(xiàn)象:推論：梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸中性層中性軸中性層M--截面上的彎矩(N.mm)y--計(jì)算點(diǎn)到中性軸距離(mm)Iz--橫截面對中性軸慣性矩在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為：單位為MPa2）正應(yīng)力計(jì)算公式及分布規(guī)律推導(dǎo)過程M和y均以絕對值代入，至于彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。

1）沿y軸線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域。3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。當(dāng)中性軸是橫截面的對稱軸時：橫截面上的最大正應(yīng)力：Wz抗彎截面系數(shù)Wz抗彎截面系數(shù)

公式適用條件：

1）符合平面彎曲條件(平面假設(shè)，橫截面具有一對稱軸）

2）p(材料服從胡克定律）

對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的跨高比大于5時，剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力對彎曲正應(yīng)力的影響甚小，可以忽略不計(jì)。因此由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過1%。橫力彎曲時，彎矩不再是常量。二、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用強(qiáng)度條件：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力不超過材料的許用彎曲應(yīng)力，即M—危險(xiǎn)截面處的彎矩（N.mm）Wz—危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量（mm）

—材料彎曲許用應(yīng)力(Mpa)3

對于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個數(shù)值。強(qiáng)度條件為：請注意：梁的最大工作拉應(yīng)力和最大工作壓應(yīng)力有時并不發(fā)生在同一截面上。

一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力比許用拉(壓)應(yīng)力略高。因?yàn)閺澢鷷r除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉(壓)時，截面上的應(yīng)力是均勻分布的。

利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：1、已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度。2、已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸。3、已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。例1：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？解：例2：

矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁的承載能力將是原來的多少倍？解：由公式可以看出，該梁的承載能力將是原來的2倍。例3：圖示簡支梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力［σ］=10MPa，校核該梁的強(qiáng)度。

AB解：畫彎矩圖剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定2.從梁的變形角度剪力：順時針為正逆時針為負(fù)彎矩：上凹為正下凹為負(fù)1.規(guī)定：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正該梁滿足強(qiáng)度條件，安全例4:圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，P=20KN。試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：

(1)高寬比h/b=2的矩形；(2)圓形；(3)工字鋼。P=20KN解:作彎矩圖由強(qiáng)度條件(1)矩形b=6cmh=12cm(2)圓形d≈11.3cm(3)工字形查型鋼表，取16號工字鋼工字形截面最省料，圓形截面最費(fèi)料。

你知道為什么嗎？

合理選擇截面形狀是梁設(shè)計(jì)中的一個重要問題

本題中，工字形截面的彎曲截面系數(shù)略小于臨界值，其最大工作應(yīng)力將略大于許用應(yīng)力，但不超過5%，這在工程中是允許的。xM+qLq0.2L0.2LLxM+三、提高梁強(qiáng)度的主要措施

合理布置梁的支座1.降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施

xM+xM+F=qLLqL合理布置載荷

F=qLxM+F=qLL/54L/5對稱MxqL2/10合理布置載荷

合理布置載荷

2.合理選擇梁的截面，用最小的截面面積得到大的抗彎截面模量。形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式。Y1和Y2之比接近于下列關(guān)系,最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力便可同時接近許用應(yīng)力。最好是等強(qiáng)度梁，即：若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為：Fxh(x)1.采用變截面梁純彎曲