習(xí)題課概率論

概率分布隨機(jī)變量離散型連續(xù)型分布函數(shù)常見的離散型0-1分布二項(xiàng)分布泊松分布密度函數(shù)分布函數(shù)常見的連續(xù)型X～B(1,p)X～B(n,p)X~P(λ)均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布X~E(λ)X～U[a,b]X~N(μ,)Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…離散型隨機(jī)變量概率分布分布函數(shù)

F(x)=P{X≤x}(-∞<x<+∞)1.0-1分布XP10p

q常見的離散型隨機(jī)變量X～B(1,p)（k=0,1,…,n）（0＜p＜1,q=1-p)2.二項(xiàng)分布X

～B(n,p)X~P(λ)3.泊松分布（k=0，1，2，…）連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)x0f(x)1.均勻分布常見的連續(xù)型隨機(jī)變量X～U[a,b]2.指數(shù)分布X

～X~E(λ)3.正態(tài)分布X~N(μ,)典型例題一、離散型隨機(jī)變量（一）求概率分布1.一批零件有９件合格品，３件次品，安裝機(jī)器時(shí)，從中任取一個(gè)，直到取到正品，就下列兩種取樣方式a)放回取樣；b)不放回取樣，計(jì)算抽取次數(shù)Ｘ的概率分布．2.設(shè)某種試驗(yàn)成功的概率為p，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)成功兩次，求試驗(yàn)次數(shù)Ｘ的概率分布．

3.拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0＜p＜1），設(shè)X為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求X的分布列。1.一批零件有９件合格品，３件次品，安裝機(jī)器時(shí)，從中任取一個(gè)，直到取到正品，就下列兩種取樣方式a)放回取樣；b)不放回取樣，計(jì)算抽取次數(shù)Ｘ的概率分布．解：

a)放回取樣Ｘ可?。保?，３，…

，概率分布為：

b)不放回取樣Ｘ可取１，２，３，４，概率分布為：2.設(shè)某種試驗(yàn)成功的概率為p，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)成功兩次，求試驗(yàn)次數(shù)Ｘ的概率分布．解：Ｘ可?。玻?，…

，概率分布為

3.拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0＜p＜1），

設(shè)X為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求X的分布列。解：Ｘ可?。?，３，…

，概率分布為（二）概率分布已知，相關(guān)問題的計(jì)算４．設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ的概率分布為求（１）α；（２）分布函數(shù)；（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝解：(1)由得α＝0.25(3)Ｐ{０＜Ｘ＜５｝=Ｐ{X=1}+P{X=3}=0.45（三）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計(jì)算５．設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ的分布函數(shù)為求（１）Ｘ的概率分布；（２）Ｐ｛１≤X＜５｝；解：(1)P{X=0}=F(0)-F(0-0)=0.3-0=0.3

P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0.5-0.3=0.2

P{X=3}=F(3)-F(3-0)=0.9-0.5=0.4

P{X=5}=F(5)-F(5-0)=1-0.9=0.1（２）Ｐ｛１≤X＜５｝

=F(5-0)-F(1-0)=0.9-0.3=0.6(四）幾種重要分布６.一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行４次射擊，每次射擊的命中率相同，如果至少命中一次的概率為80/81，求該射手的命中率．解：設(shè)該射手的命中率為p,命中次數(shù)為Ｘ，則Ｘ～B(4,p)

由題意得P{X≥1}=80/81,所以P{X＝0}=1/81即(1-p)4=1/81,所以p=2/37.某商店訂了1000瓶飲料，設(shè)每個(gè)飲料瓶是否被打破相互獨(dú)立，每個(gè)飲料瓶被打破的概率0.003，求商店收到破碎瓶子數(shù)分別是(１)恰有２只；(２)小于２只；(３)至少是１只的概率．已知e-3=0.0498解：設(shè)收到的破碎瓶子數(shù)為Ｘ，則Ｘ～B(1000,0.003)

由于n較大，p較小，可用泊松定理作近似計(jì)算λ＝np=3(1)P{X=2}≈(32/2!)e-3≈0.2241(2)P{X＜2}=P{X=0}+P{X=1}≈(30/0!)e-3+(31/1!)e-3

=4e-3≈0.1992(3)P{X≥1}=1-P{X=0}≈1-e-3≈0.9502二、連續(xù)型隨機(jī)變量（一）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計(jì)算1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的分布函數(shù)為求（１）Ａ和Ｂ；（３）隨機(jī)變量Ｘ的概率密度；解：(1)利用F(+∞)=1,及F(x)在x=0處的連續(xù)性得：A=1A+B=0所以Ａ＝１，B=-1=F(2)(二）概率密度已知，相關(guān)問題的計(jì)算；２．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為求（１）Ａ；解：由概率密度的性質(zhì)得：而所以A=43.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為求分布函數(shù)Ｆ(x)．當(dāng)0≤x＜1時(shí)，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，當(dāng)x≥2時(shí),(三）正態(tài)分布的有關(guān)問題４．某地外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上占考生總數(shù)2.28％，求考生成績?cè)?0分至84分之間的概率．解：由題設(shè)知：外語成績Ｘ近似服從正態(tài)分布X～N（μ,σ2）其中μ＝72，

σ2未知，由于即：查表得：因此